第5章 函数概念与性质——2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第一册单元测试卷（含解析）

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第5章 函数概念与性质——2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第一册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．下列函数中，最小正周期为的奇函数是( )
A. B.
C. D.
2．若函数的定义域为,值域为,则函数的图像可能是( )
A. B.
C. D.
3．若函数是定义在上的偶函数,则( )
A. B. C. D.2
4．若函数是定义在上的偶函数,则( )
A.34 B.25 C.16 D.9
5．已知函数,则( )
A.1 B. C.2D.-D.-1
6．若函数是定义在R上的奇函数，则( )
A.3 B.2 C. D.
7．已知偶函数的定义域为R,当时,单调递增,则,,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8．已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且（其中为的前n项和），则( ).
A.3 B.0 C.-3 D.6
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．成人心率的正常范围为60~100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速.观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后心率，其随时间的变化如图所示，则该患者( )
A.服了药物后心率会马上恢复正常
B.服药后初期药物起效速度会加快
C.所服药物约15个小时后失效（服药后心率下降期间为有效期）
D.一天需服用该药1至2次
10．若偶函数在上单调递增,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其命名的函数,称为狄利克雷函数,则关于,下列说法正确的是( )
A.的值域为 B.的定义域为R
C.为周期函数 D.为偶函数
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若函数定义域为I，若，有，且，则称函数为_________（“奇”或“偶”）函数.
13．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________.
14．已知是定义域为R的奇函数，且时，，当时，的解析式为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元()满足关系式(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件.已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元.(注：利润=销售收入-生产投入-促销费用)
(1)将y表示为x的函数；
(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？
16．已知函数是指数函数.
(1)求的表达式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明
(3)解不等式：.
17．证明函数在区间上是增函数.
18．已知函数,.
(1)求,的值;
(2)求的值.
19．已知函数的定义域为R.
(1)求a的取值范围;
(2)当时,判断的奇偶性,并解关于t的不等式.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，函数的周期为，
因为，，所以是非奇非偶函数，A不正确；
因为，函数的周期为，B不正确；
因为，函数的周期为，是偶函数，C不正确；
因为，函数的周期为，是奇函数，D正确；
故选：D.
2．答案：B
解析：对于A选项,当时,没有对应的图像,不符合题意;
对于B选项,根据函数的定义本选项符合题意;
对于C选项,出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,不符合题意;
对于D选项,值域当中有的元素在集合M中没有对应的实数,不符合题意.
故选：B.
3．答案：D
解析：函数是定义在上的偶函数,则解得所以,所以.故选D.
4．答案：A
解析：因为是定义在上的偶函数,
所以,得到,
显然,由图象关于轴对称,得到,解得,
所以,满足要求,
得到.
故选：A.
5．答案：D
解析：由于函数,
则其导函数为:,
代入,可得:,
解得:,所以,
所以.
故选:D.
6．答案：A
解析：设，则，即，
即，所以.
因为，所以，.
故选：A
7．答案：B
解析：因为为偶函数,所以,.又当时,单调递增,且,所以,即.
故选：B.
8．答案：A
解析：，可得
，即
又是奇函数，
即
将代入上式，有
是周期为3的周期函数.
又，
，①
当时，有②
，得，
即()
()
()
是首项为，公比为2的等比数列，
，
，，
定义在R上的奇函数是周期为3的周期函数，
.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：对于A，服药后2小时心率恢复正常，故A错误，
对于B，服药后初期心率下降速率增大，故B正确，
对于C，服药15小时后心率开始回升，故C正确，
对于D，服药22小时后心率过速，需再次服药，故D正确.
故选：BCD.
10．答案：AD
解析：因为函数为偶函数,所以,即,化简得;
又因为偶函数在上单调递增,则,
所以,所以,故A正确;
又,,所以,故D正确;
故选：AD.
11．答案：BCD
解析：因为,所以的值域为,定义域为R,故A错误,B正确;
对于任何一个非零有理数T,若x为有理数,则也为有理数,
则,
若x为无理数,则也为无理数,则,
即任何一个非零有理数T都是函数的周期,即为周期函数,故C正确;
当x为有理数时,为有理数,则,
当x为无理数时,为无理数,则,
故为偶函数,故D正确;
故选：BCD.
12．答案：偶
解析：若函数定义域为I,若,有,且,则称函数为偶函数.
故答案为：偶.
13．答案：
解析：函数在上单调递增,
在上单调递增,且大于0恒成立,
则,解得.
a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：设，则，所以.
是奇函数，所以，
因此当时，.
故答案为：
15．答案：(1)，
(2)月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为6万元
解析：(1)由题意知当时，，代入
则，解得，.
利润，
又因为，
所以，.
(2)由(1)知，
因为时，，
因为，当且仅当时等号成立.
所以，
故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为6万元.
16．答案：（1）；
（2）见证明；
（3）
解析：（1）函数是指数函数，且，
，可得或（舍去），；
（2）由（1）得，
，，是奇函数；
（3）不等式：，以2为底单调递增，
即，
，解集为.
17．答案：证明见解析
解析：任取，且，
则.
，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
18．答案：(1)8
(2)
解析：(1)因为,所以.因为,所以.
(2)依题意,知.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为函数的定义域为R,
所以恒成立,
令,则,所以在上恒成立,
即当时,恒成立,
函数在上单调递增,在上单调递减,
所以,所以.
(2)当时,,易知的定义域为R,
因为,
所以为偶函数.
当时,,
令,
因为函数在上单调递增,且在定义域上为增函数,
所以函数在上单调递增,
又因为函数在定义域上为偶函数,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
因为,
所以,即,解得.
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