浙江省杭州市部分学校2023-2024学年高一下学期6月阶段性考试数学试题
一、选择题
1．（2024高一下·杭州月考） 若（是虚数单位），则（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2024高一下·杭州月考）某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·杭州月考）已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·杭州月考） 已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高一下·杭州月考）已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·杭州月考）在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ）
A． B．5 C． D．
7．（2024高一下·杭州月考）从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·杭州月考）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024高一下·杭州月考）掷一枚骰子，记事件为掷出的数大于4 ，事件为掷出偶数点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．事件与事件为相互独立事件 D．事件与事件对立
10．（2024高一下·杭州月考）已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与向量平行的单位向量是
D．向量在向量上的投影向量为
11．（2024高一下·杭州月考）今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（ ）
A．《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数
B．《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C．《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差
D．《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数
三、填空题
12．（2024高一下·杭州月考）复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为 ．
13．（2024高一下·杭州月考）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 .
14．（2024高一下·杭州月考）圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．（2024高一下·杭州月考）（1）求方程的根，并判断它们是否共轭；
（2）若复数满足，求的范围.
16．（2024高一下·杭州月考）如图，正方形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱的体积为.
（1）求圆柱的表面积；
（2）若，求点F到平面BDE的距离.
17．（2024高一下·杭州月考）现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率.
18．（2024高一下·杭州月考）直角梯形ABCD中，，，为CD的中点，BE与AC交于点.
（1）用表示；
（2）设，求实数的值；
（3）求.
19．（2024高一下·杭州月考）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.
问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 .
（1）求角C；
（2）若点D满足，且，求的面积的最大值.
（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：∵z·i=2+3i，
∴z＝＝＝3 2i，
所以|z|＝＝．
故选：C．
【分析】 先求得z=3-2i，再根据模长公式即可求解|z|．
2．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】 解：因为这组数据共10个数，
所以10×0.8=8，因此，该组数据的第80百分位数为：.
故选：C．
【分析】 根据百分位数的定义即可求得该组数据的第80百分位数．
3．【答案】C
【知识点】空间几何体的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由题意，可得，
∵，
∴.
故选：C.
【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解： 设α β=m，在平面α内作a⊥m，
因为平面α⊥平面β，所以a⊥β，
因为l⊥β，所以a∥l，
因为l α，a α，
所以l∥α，
而当平面α⊥平面β，直线l α，l∥α时，l与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，
所以“l⊥β”是“l∥α”的充分而不必要条件．
故答案为：A.
【分析】 根据面面垂直的性质并结合充分条件和必要条件的定义分析判断．
5．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据公式平均数为，
方差为
，
故选：C.
【分析】本题考查平均数和方差公式，通过计算可得正确选项答案。
6．【答案】A
【知识点】余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得，
∵，
∴根据余弦定理得，
故选：A．
【分析】本题考查余弦定理，先由三角形面积计算出，再利用公式即可求得答案.
7．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解；根据题意，随机地填涂了1个或2个或3个选项，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14种涂法，然后2分的涂法为BC，BD，CD，B，C，D，共6种，
故能得2分的概率为．
故选：B．
【分析】本题考查古典概型及其概率计算公式，利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，得出总数，然后列举计数能得2分的涂法种数，比值即为所求结果。
8．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球O的半径为R，的外心为，
∵外接圆半径为，
则面积为，
∴，
∵最大值，
∴，
即，
解得，
所以球O的表面积为.
故选：A.
【分析】本题考查球的表面积，通过已知条件求得，再通过三棱锥体积公式求得R值，利用对应球的表面积公式，即可得结果.
9．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：∵事件的概率为，故B项正确；
∵事件的概率为
∴，故A项错误；
∵事件表示“掷出的数大于4”且“掷出偶数点”，即“掷出6”，
∴，
又，故事件与事件为相互独立事件，故C项正确；
∵，故事件与事件不是对立事件，故D项错误.
故选：BC.
【分析】根据古典概型的概率公式可得，，所以B正确，利用相互独立事件的定义判断C正确，利用概率的加法公式可判断A项结果错误，不符合，利用对立事件的定义可判断D项错误，不符合。
10．【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：根据A选项：∵，，
∴，故A正确；
根据B选项：∵，
∴，故B错误；
根据C选项：∵，
∴与向量平行的单位向量是或，故C错误；
根据D选项：向量在向量上的投影向量为，故D正确；
故选：AD
【分析】本题考查平面向量数量积的坐标表示，平面向量的数量积的运算，通过判断可得正确答案
11．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球日票房，
∴《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A正确；
由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，故B正确.
《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差，故C错误；
因为，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第个数，
因为，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第个数，
《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，故D正确.
故选：ABD.
【分析】通过图表信息结合平均数，方差等数据判断即可得到正确答案
12．【答案】5
【知识点】复数在复平面中的表示；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由复数在复平面内对应的点分别为，
∵三点是共线的，
即．
故填：5
【分析】根据复数的复平面等性质可求得a.
13．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：在正方体中，
∵，
∴和所成角即为异面直线与所成角或其补角，
在中，，
∴异面直线与所成角的大小，
故填：
【分析】利用平移，找到异面直线与所成角或其补角，最后求得答案.
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设中点，的中点为，
则垂直平分，垂直平分，
∴.
以为圆心，1为半径作圆，则在该圆的四分之一圆弧上变化，如下图，
为中垂线交点，连接，由三角形为锐角三角形，
根据临界位置及图形可知，而，
∴，
即范围是．
故填：.
【分析】本题综合了向量的线性运算与锐角三角形外接圆的相关性质，通过对应公式可求的结果.
15．【答案】解：（1）∵，
∴，
∴，
即，，
∴方程的根为，，
它们是共轭复数.
（2）设，
∵，
∴，
即，所以，
∴需求点到圆上点的距离的范围，
∵到圆圆心的距离为
，
∴点到圆距离的最大值为，
点到圆距离的最大值为，
故的范围为
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【分析】（1）本题考察配方法的应用和共轭复数的定义的应用；
（2）本题时将问题转化为点到圆距离的范围，利用距离公式求解即可.
16．【答案】（1）（1）解：设圆柱的底面半径为，则，解得.
则圆柱的表面积为.
（2）（2）根据题意连接，
∵，
∴，设点F到平面BDE的距离为，
得，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴，
即，
，，
利用等体积法，，
得.
即，
解得.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）需利用圆柱体积求得半径，再有表面积公式求解；
（2）需利用等体积法得出点F到平面BDE的距离.
17．【答案】（1）解：由，解得.
则这200条鱼汞含量的样本平均数为
（2）样本中汞含量在内的频率为.
则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标.
（3）由题意可知，样本中汞含量在内的频率为.
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，
顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为.
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】（1）考查利用平均数的公式求解即可；
（2）考查利用频率进行估计；
（3）考查概率的乘法公式，通过计算所求概率结果。
18．【答案】（1）
（2），由三点共线，有，得.
（3），
，
则，所以.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】（1）考查向量的线性运算，即用表示；
（2）考查三点共线，通过三点共线求实数的值；
（3）考查向量数量积求向量的夹角.
19．【答案】（1）若选①：由正弦定理得，
在中，，
∴，
即，
∴，又，有，
∴，由，得.
若选②：由正弦定理得，
在中，，
∴
即，
∴，又，有，
即，由，得.
（2）方法一：由，可得，两边平方可得，
即，
∴，当且仅当时取“＝”，
即，
∴.
方法二：由角C余弦定理可得③，
由结合余弦定理可得
，整理得④，
由③可得，当且仅当时取“＝”，
即，
∴即.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）考查利用正弦定理和两角和的正弦公式化简，通过计算可得结果；
（2）考查余弦定理和基本不等式，通过计算求得的面积的最大值.
1 / 1浙江省杭州市部分学校2023-2024学年高一下学期6月阶段性考试数学试题
一、选择题
1．（2024高一下·杭州月考） 若（是虚数单位），则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：∵z·i=2+3i，
∴z＝＝＝3 2i，
所以|z|＝＝．
故选：C．
【分析】 先求得z=3-2i，再根据模长公式即可求解|z|．
2．（2024高一下·杭州月考）某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】 解：因为这组数据共10个数，
所以10×0.8=8，因此，该组数据的第80百分位数为：.
故选：C．
【分析】 根据百分位数的定义即可求得该组数据的第80百分位数．
3．（2024高一下·杭州月考）已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间几何体的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由题意，可得，
∵，
∴.
故选：C.
【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解.
4．（2024高一下·杭州月考） 已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解： 设α β=m，在平面α内作a⊥m，
因为平面α⊥平面β，所以a⊥β，
因为l⊥β，所以a∥l，
因为l α，a α，
所以l∥α，
而当平面α⊥平面β，直线l α，l∥α时，l与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，
所以“l⊥β”是“l∥α”的充分而不必要条件．
故答案为：A.
【分析】 根据面面垂直的性质并结合充分条件和必要条件的定义分析判断．
5．（2024高一下·杭州月考）已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据公式平均数为，
方差为
，
故选：C.
【分析】本题考查平均数和方差公式，通过计算可得正确选项答案。
6．（2024高一下·杭州月考）在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得，
∵，
∴根据余弦定理得，
故选：A．
【分析】本题考查余弦定理，先由三角形面积计算出，再利用公式即可求得答案.
7．（2024高一下·杭州月考）从2023年6月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案，每种答案都等可能（例如，选A，AB，ABC是等可能的），则该题得2分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解；根据题意，随机地填涂了1个或2个或3个选项，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14种涂法，然后2分的涂法为BC，BD，CD，B，C，D，共6种，
故能得2分的概率为．
故选：B．
【分析】本题考查古典概型及其概率计算公式，利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，得出总数，然后列举计数能得2分的涂法种数，比值即为所求结果。
8．（2024高一下·杭州月考）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球O的半径为R，的外心为，
∵外接圆半径为，
则面积为，
∴，
∵最大值，
∴，
即，
解得，
所以球O的表面积为.
故选：A.
【分析】本题考查球的表面积，通过已知条件求得，再通过三棱锥体积公式求得R值，利用对应球的表面积公式，即可得结果.
二、多选题
9．（2024高一下·杭州月考）掷一枚骰子，记事件为掷出的数大于4 ，事件为掷出偶数点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．事件与事件为相互独立事件 D．事件与事件对立
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：∵事件的概率为，故B项正确；
∵事件的概率为
∴，故A项错误；
∵事件表示“掷出的数大于4”且“掷出偶数点”，即“掷出6”，
∴，
又，故事件与事件为相互独立事件，故C项正确；
∵，故事件与事件不是对立事件，故D项错误.
故选：BC.
【分析】根据古典概型的概率公式可得，，所以B正确，利用相互独立事件的定义判断C正确，利用概率的加法公式可判断A项结果错误，不符合，利用对立事件的定义可判断D项错误，不符合。
10．（2024高一下·杭州月考）已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与向量平行的单位向量是
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：根据A选项：∵，，
∴，故A正确；
根据B选项：∵，
∴，故B错误；
根据C选项：∵，
∴与向量平行的单位向量是或，故C错误；
根据D选项：向量在向量上的投影向量为，故D正确；
故选：AD
【分析】本题考查平面向量数量积的坐标表示，平面向量的数量积的运算，通过判断可得正确答案
11．（2024高一下·杭州月考）今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（ ）
A．《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数
B．《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C．《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差
D．《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球日票房，
∴《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A正确；
由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，故B正确.
《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差，故C错误；
因为，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第个数，
因为，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第个数，
《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，故D正确.
故选：ABD.
【分析】通过图表信息结合平均数，方差等数据判断即可得到正确答案
三、填空题
12．（2024高一下·杭州月考）复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为 ．
【答案】5
【知识点】复数在复平面中的表示；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由复数在复平面内对应的点分别为，
∵三点是共线的，
即．
故填：5
【分析】根据复数的复平面等性质可求得a.
13．（2024高一下·杭州月考）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 .
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：在正方体中，
∵，
∴和所成角即为异面直线与所成角或其补角，
在中，，
∴异面直线与所成角的大小，
故填：
【分析】利用平移，找到异面直线与所成角或其补角，最后求得答案.
14．（2024高一下·杭州月考）圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设中点，的中点为，
则垂直平分，垂直平分，
∴.
以为圆心，1为半径作圆，则在该圆的四分之一圆弧上变化，如下图，
为中垂线交点，连接，由三角形为锐角三角形，
根据临界位置及图形可知，而，
∴，
即范围是．
故填：.
【分析】本题综合了向量的线性运算与锐角三角形外接圆的相关性质，通过对应公式可求的结果.
四、解答题
15．（2024高一下·杭州月考）（1）求方程的根，并判断它们是否共轭；
（2）若复数满足，求的范围.
【答案】解：（1）∵，
∴，
∴，
即，，
∴方程的根为，，
它们是共轭复数.
（2）设，
∵，
∴，
即，所以，
∴需求点到圆上点的距离的范围，
∵到圆圆心的距离为
，
∴点到圆距离的最大值为，
点到圆距离的最大值为，
故的范围为
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【分析】（1）本题考察配方法的应用和共轭复数的定义的应用；
（2）本题时将问题转化为点到圆距离的范围，利用距离公式求解即可.
16．（2024高一下·杭州月考）如图，正方形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱的体积为.
（1）求圆柱的表面积；
（2）若，求点F到平面BDE的距离.
【答案】（1）（1）解：设圆柱的底面半径为，则，解得.
则圆柱的表面积为.
（2）（2）根据题意连接，
∵，
∴，设点F到平面BDE的距离为，
得，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴，
即，
，，
利用等体积法，，
得.
即，
解得.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）需利用圆柱体积求得半径，再有表面积公式求解；
（2）需利用等体积法得出点F到平面BDE的距离.
17．（2024高一下·杭州月考）现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率.
【答案】（1）解：由，解得.
则这200条鱼汞含量的样本平均数为
（2）样本中汞含量在内的频率为.
则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标.
（3）由题意可知，样本中汞含量在内的频率为.
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，
顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为.
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】（1）考查利用平均数的公式求解即可；
（2）考查利用频率进行估计；
（3）考查概率的乘法公式，通过计算所求概率结果。
18．（2024高一下·杭州月考）直角梯形ABCD中，，，为CD的中点，BE与AC交于点.
（1）用表示；
（2）设，求实数的值；
（3）求.
【答案】（1）
（2），由三点共线，有，得.
（3），
，
则，所以.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】（1）考查向量的线性运算，即用表示；
（2）考查三点共线，通过三点共线求实数的值；
（3）考查向量数量积求向量的夹角.
19．（2024高一下·杭州月考）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.
问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 .
（1）求角C；
（2）若点D满足，且，求的面积的最大值.
（注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
【答案】（1）若选①：由正弦定理得，
在中，，
∴，
即，
∴，又，有，
∴，由，得.
若选②：由正弦定理得，
在中，，
∴
即，
∴，又，有，
即，由，得.
（2）方法一：由，可得，两边平方可得，
即，
∴，当且仅当时取“＝”，
即，
∴.
方法二：由角C余弦定理可得③，
由结合余弦定理可得
，整理得④，
由③可得，当且仅当时取“＝”，
即，
∴即.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）考查利用正弦定理和两角和的正弦公式化简，通过计算可得结果；
（2）考查余弦定理和基本不等式，通过计算求得的面积的最大值.
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