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《8.1 数与形（一）》教学设计
课题 数与形（一） 单元 第八单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 例1是通过数形结合，让学生探索从1开始的连续奇数之和与“正方形数”（即平方数）之间的关系。教材引导学生观察正方形图中的小正方形数的规律、并把正方形图与下面的算式对照，寻找它们之间的关系。使学生通过观察，发现算式左边的加数正好与正方形图中以颜色区分的“”形图形中的小正方形数相对应。把这些加数加起来，和就是正方形图中包含的小正方形数，即每边小正方形数的平方。有几个奇数相加，每边的小正方形数就是几。在学生发现这一规律以后，让学生学会应用这一规律继续填下去，即从1开始，几个连续奇数相加，和即是几的平方。
学习目标 1.学习目标描述：通过自主研究，发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。2.学习内容分析：数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中比比皆是。有时候，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题，比如：利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。对小学生来说，虽然难度大一些，但数形结合是重要的数学思想，用形解决数的问题，可使复杂的问题变得简单，使抽象的问题变得直观。3.学科素养核心分析：用数解析图形，体会和掌握数形结合、归纳推理类比等基本的数学思想。感悟数与形结合的妙趣，激发应用数形解决问题的热情，养成积极探索的科学精神及喜爱数学的感情。
重点 沟通“数”“形”之间的联系，发展推理联想能力。
难点 体验感悟数学思想方法。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：提到“数学”，你会想到什么 师：如果把刚才同学们说的内容分类，一类可称为“数”，另一类是“形”，“数”和“形”是数学中两类最主要的研究对象。那么，数与形之间有没有关系呢？这节课就让我们带着对数与形的思考和疑惑一起走进今天的课堂。板书课题：数与形（一） 学生1：我想到了数字、图形。 学生2：我想到了分数、小数…… 通过课前交流，点出“借助图形发现规律”，既激发了学生的学习兴趣，又指明了学习的方向，一举两得。
讲授新课 任务一：画图感悟，初步感知数与形的关系师：请大家拿出1个绿色的正方形。课件出示：师：这个正方形的边长看作1，还可以怎么表示？师：1×1也可以写成12。课件出示：1=12师：请再拿出3个蓝色的正方形，想想与之前的正方形可以组成什么图形？根据学生的回答，课件出示：师：现在一共有几个小正方形？怎样用算式表示？师：还可以怎么表示？师：请再拿出5个红色的小正方形，与原来的图形还能组成一个大正方形吗？根据学生的回答，课件出示：师：你能用算式表示小正方形的个数吗？ 学生拿出1个正方形摆在桌子上。学生：1×1。学生拿出正方形摆一摆，然后反馈：刚好可以排列成正方形。学生：一共有4个，可以用1+3表示。学生：每列或每行都有2个小正方形，还可以用2×2表示，即22。学生拿出正方形摆一摆，然后回答：可以摆成一个大正方形。学生1：可以用加法算式1+3+5表示。学生2：每列或每行都有3个小正方形，还可以用32表示。 让学生亲自经历摆图形的过程，并借助图形列出算式，让学生充分经历探究计算的规律及方法的过程，获得成功的经验，初步体会“以形助数”的好处。
任务二：对比观察，借助图形发现计算的规律师：观察图形与对应的算式，你又发现了什么？根据学生的回答，师小结：算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“”形图中所包含的小正方形的个数，它们的和正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方。师：观察上面的算式，你发现了什么？分组交流。师：谁来说说你们的发现？师：是否所有这样的算式，都具有这样的规律，都可以这样计算？课件出示：你能利用规律直接写一写吗？如果有困难，可以画图来帮助。1+3+5+7=（ ）21+3+5+7+9+11+13=（ ）2______________________________=92师利用图形说明计算的合理性。师：10的平方呢？师：这样的算式有什么规律呢？你能用一句话概括一下吗？师小结：从1开始，有几个连续奇数相加，就可排成行、列都是几的正方形，和就是几的平方。师：把图形与算式结合起来，是发现规律的关键。数和形之间有着密切的联系，借助数或者算式发现图形的规律，可从较小数据的图形中探索规律…… 学生独自观察，然后自由说说。学生分组交流。学生1：1+3，从1开始，有2个连续奇数相加，就能排列成行、列都是2的大正方形，和就是22。学生2：1+3+5，从1开始，有3个连续奇数相加，就能排列成行、列都是3的大正方形，和就是32。学生独自完成，然后展示反馈。学生：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102。学生自由说说。 通过对比观察，引导学生发现数与形、数与数之间的关系，为利用图形解决更复杂的问题打下基础。通过验证规律的普遍性，让学生进一步明确从1开始的连续奇数之和与“正方形数”（即平方数）之间的关系。
课堂练习 基础题：1.仔细想，认真填。2.根据下图形与数的规律填一填。 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.观察点阵中的规律，画出第五个图形，并在括号中填上适当的算式。
拓展题 4.观察点阵图的规律，第10个图应该由（ ）个点组成。
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 数与形（一） 从1开始，有几个连续奇数相加，就可排成行、列都是几的正方形，和就是几的平方。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图有________个点。2.观察下面的点阵的规律，回答问题。 第5个点阵有（ ）个点。选做题：1.填一填。（1）照这样的规律排列下去，第23粒珠子是______色的。（2）小明照上面的规律排了50粒珠子，其中黑色有______粒，白色有______粒。2.观察前三个点阵的规律，在后面画出第四个点阵，第23个点阵有多少个点？
【综合实践类作业】找找生活中的规律，与同伴交流。
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《数学广角——数与形》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《数学广角——数与形》单元是图形与几何领域第三学段中的重要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“学段目标”的“第三学段”中提出:“尝试在真实的情境中发现和提出问题，探索运用基本的数量关系，以及几何直观、逻辑推理和其他学科的知识、方法分析与解决问题，形成模型意识和初步的应用意识、创新意识。”在“课程内容”的“第二学段”中提出：“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势。”
（二）单元教材内容分析
本单元主要包括两课时的内容，例1主要通过数形结合，让学生探索从1开始的连续奇数之和与“正方形数”（即平方数）之间的关系；例2是让学生能借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。教材在编排上体现了先“数”后“形”的顺序，通过“以形助教”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而为培养学生的逻辑能力而服务。
（三）学生认知情况
在学习本单元知识之前，学生已经学会了逐渐借助推理与知识迁移来完成学习任务，也能借助数形结合的思想解决一些较复杂的问题。学生在前面五年的学习中，逻辑思维能力已有一定发展，但是仍以形象思维为主，所以本单元的学习需要在尊重学生思维发展规律的基础上，以数的运算为载体，运用数形结合思想解决数学问题。
二、单元目标拟定
1.通过自主探究，引导学生发现图形中隐藏着的数的规律，运用数形结合的方法发现的规律。
2.能利用图形来解决一些有关数的问题，渗透数形结合的思想。
3.体会“数”与“图形”之间的关系，让学生在解决数学问题的过程中，掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。
三、关键内容确定
（一）教学重点
借助“数”与“图形”之间的关系发现规律，并正确地运用规律进行计算。
（二）教学难点
经历探索规律及验证规律的过程，掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《义务教育数学课程标准(2022 年版)》中提出：“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用。在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。在运用数学知识和方法解决问题的过程中,认识数学的价值。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.教材在编排上注重突出探索规律、应用规律的编排意图，数学知识的呈现逐渐由借助直观形式过渡到知识的迁移与推理。
2.在利用数形结合解决问题的过程中，帮助学生积累一定的活动经验，培养数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 8
单元主题 单元名称 主要内容 课时
图形与几何 数学广角——数与形 数与形（一） 1
数与形（二） 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
8.1《数与形（一）》 目标： 通过自主研究，发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。 任务一：画图感悟，初步感知数与形的关系 → 任务二：对比观察，借助图形发现计算的规律 → 1.能借助图形列出算式。 2.通过对比观察，能发现数与形、数与数之间的关系，进而利用发现的规律解决问题。
8.2《数与形（二）》 目标： 在学习过程中探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。 任务一：初步探索规律 → 任务二：借助图形探究计算方法 → 1.通过观察，能发现加数的规律，并通过计算，能发现和的规律。 2.会用画图的方式来表示计算的过程和结果，能够发现这些数相加之和为1。
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第一课时
数与形（一）
（人教版）六年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
通过自主研究，发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。
01
02
用数解析图形，体会和掌握数形结合、归纳推理类比等基本的数学思想。
03
感悟数与形结合的妙趣，激发应用数形解决问题的热情，养成积极探索的科学精神及喜爱数学的感情。
新知导入
提到“数学”，你会想到什么
我想到了数字、图形。
我想到了分数、小数……
新知导入
你知道吗？
如果把刚才同学们说的内容分类，一类可称为“数”，另一类是“形”，“数”和“形”是数学中两类最主要的研究对象。
学习任务一
画图感悟，初步感知数与形的关系
探究新知
1
这个正方形的边长看作1，还可以怎么表示？
=1×1
=12
思考：
请再拿出3个蓝色的正方形，想想与之前的正方形可以组成什么图形？
探究新知
1
=1×1
=12
刚好可以排列成正方形。
现在一共有几个小正方形？怎样用算式表示？
1+3
=2×2
=22
探究新知
思考：
请再拿出5个红色的小正方形，与原来的图形还能组成一个大正方形吗？
探究新知
1
=1×1
=12
1+3
=2×2
=22
可以摆成一个大正方形。
你能用算式表示小正方形的个数吗？
1+3+5
=3×3
=32
学习任务二
对比观察，借助图形发现计算的规律
探究新知
观察图形与对应的算式，你发现了什么？
算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“ ”形图中所包含的小正方形的个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方。
探究新知
观察下面的算式，你发现了什么？
1+3，从1开始，有2个连续奇数相加。
排列成行、列都是2的大正方形。
和就是22
探究新知
观察下面的算式，你发现了什么？
1+3+5，从1开始，有3个连续奇数相加。
排列成行、列都是3的大正方形。
和就是32
探究新知
你能利用规律直接写一写吗？如果有困难，可以画图来帮助。
1+3+5+7=（ ）2
1+3+5+7+9+11+13=（ ）2
______________________________=92
4
7
1+3+5+7+9+11+13+15+17
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102
探究新知
这样的算式有什么规律呢？你能用一句话概括一下吗？
从1开始，有几个连续奇数相加，就可排成行、列都是几的正方形，和就是几的平方。
探究新知
把图形与算式结合起来，是发现规律的关键。数和形之间有着密切的联系，借助数或者算式发现图形的规律，可先从较小数据的图形中探索规律……
课堂练习
基础题：
1.仔细想，认真填。
（ ）=1×1
1+2+1=（ ）=（ ）×（ ）
1+2+3+2+1=（ ）=（ ）×（ ）
____________________=（ ）=（ ）×（ ）
1
4
2
2
9
3
3
1+2+3+4+3+2+1
16
4
4
课堂练习
基础题：
2.根据下图形与数的规律填一填。
1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
1+2+3+4+5
15
1+2+3+4+5+6
21
课堂练习
提高题：
3.观察点阵中的规律，画出第五个图形，并在括号中填上适当的算式。
（1×2）（ ） （ ） （ ） （ ）
2×3
3×4
4×5
5×6
课堂练习
拓展题：
4.观察点阵图的规律，第10个图应该由（ ）个点组成。
1+1×4
1+2×4
1+3×4
第10个图形的点数就可以写作1+10×4。
41
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我发现把图形与算式结合起来，是发现规律的关键。
我还知道借助数或者算式发现图形的规律，可从较小数据的图形中探索规律。
板书设计
数与形（一）
从1开始，有几个连续奇数相加，就可排成行、列都是几的正方形，和就是几的平方。
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
1.观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图有________个点。
1+2+3=6
2+3+4=9
3+4+5=12
所以第9个图有：9+10+11=30
30
分层作业
【知识技能类作业】
必做题
2. 观察下面的点阵的规律，回答问题。
第5个点阵有（ ）个点。
第1个图形：1
第2个图形：1+2
第3个图形：1+2+3
第4个图形：1+2+3+4
第5个图有：1+2+3+4+5=15（个）
15
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
1.填一填。
（1）照这样的规律排列下去，第23粒珠子是______色的。
（2）小明照上面的规律排了50粒珠子，其中黑色有______粒，白色有______粒。
白
26
24
【知识技能类作业】
选做题：
2.观察前三个点阵的规律，在后面画出第四个点阵，第23个点阵有多少个点？
第一个图点的个数是：1个
第二个图点的个数是：1+4×1=5（个）
第三个图点的个数是：1+4×2=9（个）
第n个图点的个数是1+4（n-1）（个）
当n=23时，1+4×（23-1）=89（个）
答：第23个点阵有89个点。
分层作业
作业布置
找找生活中的规律，与同伴交流。
【综合实践类作业】
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