郑州一中2021～2022学年下学期期中考试
24届 高一（数学）试题
说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分。
2．考试时间：120分钟。
3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．，则（ ）
A． B．
C． D．
2．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，角的对边分别是已知，则=（ ）
A． B． C． D．
4．在矩形中，为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．复数满足（i为虚数单位），则实数＝（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
6．已知是平面，是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数是（ ）．
①若，，，，则；
②若，，则；
③若点不在直线上，且到的距离相等，则直线；
④若三条直线两两相交，则直线共面；
⑤若，，，则；
⑥若，，，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．在高为的直三棱柱中，△ABC是以为直角的等腰三角形，且，其中为棱的中点，为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知三棱锥中，平面，，，点，分别是线段的中点，直线相交于点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
12．在钝角△中，分别是△的内角所对的边，点是
△的重心，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，是复数，给出下列四个说法：
①；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中所有正确说法的序号是______．
14．已知则使得的实数___________.
15．已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为___________.
16．如图所示，在正方体中，点在棱上，，分别是棱的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面截得的上、下两部分面积比值为_________．
三、解答题：本题共6大题，17题10分，其余每题12分，共70分。
17．已知复数，其中是虚数单位，m为实数．
(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；
(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
18．已知△中是直角，，点是的中点，为上一点．
（1）设，，当，请用，来表示，；
（2）当时，试求．
19．如图所示，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，过点作，交于点，点分别为线段的中点．
(1)证明：⊥平面；
(2)求三棱锥的体积．
20．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
在△中，角的对边分别是，为△的面积，若__________（填条件序号）
（1）求角的大小；
（2）若边长，求△的周长的最大值．
21．如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥底面，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面⊥平面；
(3)设，，三棱锥的体积，求点到平面的距离.
22．在锐角△中，，，点为△的外心.
(1) 求证：；
(2) 求的取值范围.郑州一中2021～2022学年下学期期中考试
24届 高一（数学）参考答案
选择题
ABBDC BBDAB CA
填空题
13．②③ 14． 15． 16．
三、解答题
17．(1)因为为纯虚数,
所以，解得或，且且
综上可得,当为纯虚数时;……………………………………………5分
(2)因为在复平面内对应的点位于第三象限,，解得或，且
即,故的取值范围为.………………………………………10分
18．（1），，点是的中点，，
，…………………………………………………….3分
．………………………6分
（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，设，点坐标为，另设点坐标为，点是的中点，点坐标为，又，，
，，所以，，所以．………………………………………………12分
19．(1)证明：，所以，又，，，，
又，，，点为线段的中点，
，又平面，平面，，
，又，，平面，平面..6分
(2)解：由（1）可知且
又平面平面
所以三棱锥．………………………………12分
20（1）若选①：因为，所以，所以，所以且，所以，所以；
若选②：因为，所以且，
所以，所以且，所以；
若选③：因为，，所以且，所以且，所以；…………………………………6分
（2）因为，所以，所以，
所以，所以，所以，取等号时，所以的周长的最大值为：.……………………….12分
21．(1)如图，设与的交点为，连接.
因为为矩形，所以为的中点.
又为的中点，所以.因为 平面， 平面，
所以平面. ………………………………………………………4分
(2)∵⊥底面，∴⊥，又底面为矩形，∴⊥，而，∴⊥面，又面，
∴平面⊥平面………………………………………………….. 8分
(3)
由题意得三棱锥的体积.
由，可得.作于，
由题设知⊥平面，所以⊥，故⊥平面.
在中，由勾股定理可得，所以.
所以到平面的距离为.……………………………………12分
22． (1)由题设知：，即，且，
所以，即，
又，而，，
所以，
令与夹角为，则，即，
综上，，得证. ………………………………6分
(2)，
又、、，且，即，
所以且，
则，….12分
