郑州一中2022～2023学年下学期期中考试
24届 高二（数学）试题
说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分。
2．考试时间：120分钟。
3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。
1．已数列是等比数列，，，则公比q等于( )
A. B. C. 3 D.
2．函数的导数为( )
A. B.
C. D.
3．2025年河南省实行“”新高考模式，学生选科时语文、数学 英语三科必选，物理 历史两科中选择1科，政治 地理 化学 生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有( )
A. 8种 B. 12种 C. 15种 D. 20种
4．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )
A. B.
C. D.
5. 已知数列满足， 且 ，则等于( )
A. B. C. D.
6. 杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》．在欧洲，帕斯卡于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是( )
A. 153 B. 171 C. 190 D. 210
7. 已知正项数列满足，，则它的通项公式为( )
A. B.
C. D.
8. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 下列说法正确的是( )
A. 是等差数列，，，…的第8项
B. 在等差数列中，公差，则数列单调递增
C. 存在实数a，b，使1，a，，b，4成等比数列
D. 若等比数列的前n项和为，则，，成等比数列
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 在区间上，函数是增函数
B. 在区间上，函数是减函数
C. 为函数的极小值点
D. 2为函数的极大值点
11. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等.显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，下列说法正确的是( )
A. 四位回文数有90个
B. 四位回文数有45个
C. 位回文数有个
D. 位回文数有个
12. 已知函数，且当时，，则( )
A. 只有4个极值点
B. 在上是增函数
C. 当时，
D. 实数a的最小值为1
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知曲线在点处的切线方程是，则的值为__________.
14. 已知等差数列的通项公式，记其前n项和为，
那么当__________时，取得最小值．
15. 某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只来测试，直到这4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是______用数字作答
16. 定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17. 本小题10分
用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？
组成五位偶数；
组成千位数字和十位数字是奇数的偶数．
18. 本小题12分
已知数列的前n项和为，且满足
求证：数列为等比数列；
求数列的前n项和.
19. 本小题12分
已知，函数
当时，求曲线在点处的切线方程．
求在区间上的最小值．
20. 本小题12分
记为等差数列的前n项和，已知，
求的通项公式；
令，，若对一切成立，求实数m的最大值．
21. 本小题12分
已知数列中，，
证明数列是等差数列，并求的通项公式;
设，求的前n项和
22. 本小题12分
已知函数
求出函数的极值；
若对于任意的，都有，求整数k的最大值.郑州一中2022～2023学年下学期期中考试
24届 高二（数学）参考答案
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B C A C B C BD BD AC BCD
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． ， 14． ，
15． ， 16．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题满分10分，其他题每题满分12分，每个考题考生都必须作答.
17.解：末位是0，有个， ………………2分
末位是2或4，有个， ………………4分
故满足条件的五位数共有个. ………………5分
法一：可分两类，0是末位数，有个， ………………7分
2或4是末位数，则个. ………………9分
故共在个. ………………10分
法二：分步：第一步：千位数字和十位数字位从奇数1，3中取，有；
第二步：首位从2，4中取，有个；第三步：余下的排在剩下的两位，
有个；
故共有个. ……………10分
18. 解：证明：当时，，解得 ……………1分
当时，，①，
，②
①-②得，，即， ………………3分
即，又 ………………5分
所以是以2为首项，2为公比的等比数列. ………………6分
法一：由(1)可知， ………………8分
………………12分
法二：由(1)可知， ………………8分
又由题知： ………………10分
将代入上式可得 ……………12分
19. 解：当时，，，
所以，， ……………2分
因此，
即曲线在点处的切线斜率为，
又因为， ……………4分
所以曲线在点处的切线方程为，
即 ……………5分
因为，所以，……………6分
令，得
①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值；
②若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值；
③若，则当时，，函数在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最小值；
综上可知，当时，函数在区间上无最小值； ……………8分
当时，函数在区间上的最小值为； ……………10分
当时，函数在区间上的最小值为 ……………12分
20. 解：等差数列中，，
，解得， ………………2分
，
……………5分
， ……………6分
， ……………8分
是递增数列，
(法二：是递增数列)
，
对于一切恒成立，
即对于一切恒成立， ……………10分
，
实数m的最大值为 ……………12分
21.证明：当时，
， ……………2分
，
又，，
故是以2为首项，3为公差的等差数列， ……………4分
，
……………6分
解：， ……………8分
， ……………9分
令，①
则，②
①-②得：，
，
……………11分
……………12分
22.解：的定义域为，
求导得：， ………………1分
令，则，令，则， ………………2分
则在上单调递增，在上单调递减；
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为 …………4分
，， …………5分
令，，则， ……………6分
由知，在上单调递增，
且， ……………8分
则在区间内存在唯一的零点，使，
即， ……………9分
则当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
则，…………11分
因此，，
所以整数k的最大值为 …………12分
