郑州一中2022—2023学年上学期期中考试
24届 高二数学（文）试题
说明：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分.
2. 考试时间120分钟．
3．将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡中．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的焦点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.已知直线，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
3.设向量，，不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
4.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5.万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，赵老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）
A．30cm B．20cm C．10cm D．cm
6.空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7.设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且点到两个焦点的距离之差为1，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A． B． C． D．
10.已知直线和圆，下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆被轴截得的弦长为
C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为
D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为
11.已知曲线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则是圆
B．若，，且，则是椭圆
C．若，则是双曲线，且渐近线方程为
D．若，，，则是椭圆，其离心率为
12．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”. 下列说法正确的是（ ）
A．若是黄金椭圆，则
B．若焦距为4，且点在以、为焦点的黄金椭圆上，则的周长为
C．若是黄金双曲线的左焦点，是右顶点，点，则
D．若是黄金双曲线的弦，离心率是，是的中点，若和的斜率均存在，则
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.焦点在轴上，短轴长为，离心率为的椭圆的标准方程是___________.
14.已知向量，，则在上的投影向量的模是______________.
15.已知双曲线的焦点为，，点在上且其关于原点的对称点为,，四边形的面积为6，则双曲线的方程为______________．
16.直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点， 为坐标原点，则面积的最小值为____________，当面积取最小值时，直线的一般式方程是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）在空间直角坐标系中，，，，，点满足.
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）若，求的值．
18.（12分）若直线的方程为.
（1）若直线与直线垂直，求的值；
（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.
19.（12分）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点,,分别是,,的中点．设，，.
（1）求证：；
（2）求异面直线和所成角的余弦值．
20.(12分)已知双曲线的左 右焦点分别为，，若，双曲线的虚轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点且斜率为3的直线与相交于，两点，求.
21．（12分）已知圆经过点，，且_________.请从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答以下问题. ①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线的交点.
（1）求圆的方程；
（2）求过点的圆的切线方程，并求切线长.
22.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，
为椭圆上一动点，当直线与圆相切于点，且是线段的中点时，的面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点（点不在轴上）作圆的两条切线，，切点分别为，，直线交椭圆于点、两点，求面积的取
值范围．郑州一中2022—2023学年上学期期中考试
24届 高二数学（文）答案
一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有--项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A A B B C B
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 AD ABD BC BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16． ；
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）因为，，所以，因为，
所以，
所以点的坐标为.……………………………………………………5分
（2）因为，，
所以，即，解得.…………10分
18. 解：（1）直线与直线垂直，，解得．……4分
（2）当时，直线化为：．不满足题意．…………………………………6分
当时，可得直线与坐标轴的交点，．
直线在两轴上的截距相等，，解得：．…………………11分
该直线的方程为：，．………………………………………12分
19.解：（1）证明：连接，因为空间四边形的每条边和对角线长都等于1，且
，分别是，的中点，所以，，故，，
又因为，平面，所以平面，因为平面
，所以. ……………………………………………6分
（2）由题意得：，，均为等边三角形且边长为1，
所以，，，
所以
，
设异面直线AG和CE所成角为，
………………………………………12分
20. 解：(1)由已知得，，由，得，，
所以，所以双曲线的标准方程为.………………………4分
(2)由（1）得，所以直线的方程为，设，，
联立得，，所以
.…………12分
21.解：（1）选①：设圆E的方程为，
由题意可得，解得，则圆E的方程为；
选②：直线恒过，而圆E恒被直线平分，
所以恒过圆心，因为直线过定点，
所以圆心为，可设圆的标准方程为，
由圆E经过点，得，则圆E的方程为；
选③：由条件易知，设圆的方程为，
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即…………………………………6分
（2）因为，所以点P在圆E外，
若直线斜率存在，设切线的斜率为，则切线方程为，即
所以，解得，所以切线方程为；
若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意.
综上过点的圆E的切线方程为或，切线长是3. ………12分
22．解：（1）连接，由且，所以为的中位线，所以且，所以根据椭圆的定义可得：，
所以，解得，所以，
所以，解得，所以，
故椭圆C的方程为． …… ……………………4分
（2）设，则，由几何性质可知P、M、O、N四点共圆，且PO为该圆直径，则以线段OP为直径的圆的方程为，又圆O的方程为，两式相减得直线MN的方程为．
由消去y整理得．
因为直线MN交椭圆C于D、E两点，设，
所以，，，
则
．
又原点到直线DE的距离为，所以三角形ODE 的面积为
．
设，因为所以，
因为在单调递增，所以
所以． …………………………………12分
