人教B版高中数学必修第三册-7.3.5-已知三角函数值求角-同步练习
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知=-,则tan 2θ=( )
A. B. C. D.
2.函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是( )
A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2
3.若点Msin,cos在角α的终边上,则cos 2α=( )
A.2 B.-2 C. D.-
4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,cos2,则△ABC的形状一定是( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
5.若函数f(x)=cos 2x+sin在(0,α)上恰有2个零点,则α的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx+1(0<ω<1),将f(x)的图象先向左平移个单位长度,然后再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象关于对称,则ω为( )
A. B. C. D.
7.如图,某市人民广场正中央有一座铁塔,为了测量塔高AB,某人先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°,然后从点C处沿南偏东30°方向前进60 m到达点D处,在D处测得塔顶的仰角为30°,则铁塔AB的高度是( )
A.50 m B.30 m C.25 m D.15 m
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<1)的部分图象如图所示,下列结论正确的是( )
A.φ=-
B.将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=2sinx的图象
C.f(x)的图象关于直线x=-1对称
D.若|x1-x2|<4,则|f(x1)-f(x2)|<4
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列式子等于cos的是( )
A.cos B.sin
C. D.2cos2-1
10.如图,某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,且PO为此山的高,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后,到达B处,此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h,且cos∠AOB=-,则( )
A.此山的高PO= km
B.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°
C.PA=2 km
D.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为
11.已知函数f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为的等差数列,把f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则( )
A.g(x)在上单调递增
B.是g(x)的一个对称中心
C.g(x)是奇函数
D.g(x)在区间上的值域为[0,2]
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin B+sin C=2sin A,( )
A.若A=,c=1,则a=1
B.若A=,c=1,则△ABC的面积为π
C.若b=2,则A的最大值为
D.若b=2,则△ABC周长的取值范围为(4,12)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知sin,则sin 2α= .
14.若f(x)=2sin(x+φ)-cos x为奇函数,则φ= .(填写符合要求的一个值)
15.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,且sin A,sin B,sin C成等差数列,则角B的取值范围是 .
16.某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示,线段AB表示角楼的高,C,D,E为三个可供选择的测量点,点B,C在同一水平面内,CD与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案,从以下六组几何量中选择三组进行测量,则可以选择的几何量的编号为 .(只需写出一种方案)
图1
①C,D两点间的距离;②C,E两点间的距离;③由点C观察点A的仰角α;④由点D观察点A的仰角β;⑤∠ACE和∠AEC;⑥∠ADE和∠AED.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b=2c.
(1)求tan B;
(2)求sin.
18.(12分)从①,②,③asin Bsin C-bcos Acos C=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 ,求角B的大小.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(12分)已知函数f(x)=2sin xcos x-cos 2x(x∈R).
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(2)设α∈,且f(α)=,求sin 2α的值.
20.(12分)如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(30-30)海里处有一个小岛C.
(1)求小岛A到小岛C的距离;
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.
21.(12分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin C=sin C+cos C,A=.
(1)求c;
(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件,判断该三角形是否存在 若存在,求出三角形的面积;若不存在,请说明理由.
①BC边上的中线长为,②AB边上的中线长为,③三角形的周长为6.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
22.(12分)已知四边形ABCD,A,B,C,D四点共圆,AB=5,BC=2,cos∠ABC=-.
(1)若sin∠ACD=,求AD的长;
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
参考答案与解析
1.B 解析 因为=-,所以tan θ=,
所以tan 2θ=.
2.C 解析 f(x)=sin,故函数f(x)的最小正周期T==6π,函数f(x)的最大值为.故选C.
3.C 解析 因为sin=sin=-sin=-,cos=cos,即M,
所以cos α=-,则cos 2α=2cos2α-1=.
4.B 解析 因为cos2,所以,所以cos A=,即cos Asin C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=0,因为sin A≠0,所以cos C=0,因为C∈(0,π),所以C=,即△ABC是直角三角形.
5.B 解析 由题意,函数f(x)=cos 2x+sinsin,因为0
又由f(x)在(0,α)上恰有2个零点,
所以2π<2α+≤3π,解得<α≤,
所以α的取值范围为.
6.A 解析 f(x)=sin+1,f(x)的图象先向左平移个单位长度,然后再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)=sin2ωx+-=sin2ωx+π的图象,
故gsinπ=sin=0,
所以π=kπ,k∈Z,ω=k+,k∈Z,
由于0<ω<1,所以ω=.
7.B 解析 设塔高AB的高度为h m,在Rt△ABC中,
因为∠ACB=45°,所以BC=h.
在Rt△ABD中,因为∠ADB=30°,所以BD=h.
在△BCD中,∠BCD=60°,BC=h,BD=h,
根据余弦定理可得,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 60°,
即(h)2=h2+602-2h×60×,
解得h=30或h=-60(舍去).
8.D 解析 由图可知A=2,函数f(x)的最小正周期为T=4×(5-3)=8,则ω=,f(5)=2sin=-2,得sin=-1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<1,得φ=,
所以f(x)=2sin,故A项错误;
若要得到函数y=2sinx的图象,需将f(x)的图象向右平移1个单位长度,故B项错误;
f(-1)=2sin=0,故C项错误;
f(x)的最小正周期为T=8,所以若|x1-x2|<4=,
则|f(x1)-f(x2)|<4,故D项正确.
9.CD 解析 cos=cos=-cos≠cos,故A不正确;
sin=sinx-=-cos≠cos,故B不正确;
cos x+sin x=cos,故C正确;
2cos2-1=cos=cos,故D正确.
10.BCD 解析 由题意可得∠OAP=30°,∠OBP=45°,设OP=x km,OP⊥OA,OP⊥OB,则OA=x km,OB=x km.因为AB=7.5××20= km,所以由余弦定理可知cos∠AOB==-,解得x=1(负值舍去),从而PA=2 km.因为sin∠AOB=,
所以由等面积法可得O到AB的距离h= km,
则最大仰角的正切值为.
又AO>BO,所以最小仰角为30°.
11.AB 解析 因为f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx(ω>0),所以f(x)=2sin 2ωx+cos 2ωx=2sin,
因为函数f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为的等差数列,所以,所以ω=1,
所以f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到g(x)=2sin=2sin=-2cos 2x的图象,即g(x)=-2cos 2x的图象,
对于A,当x∈时,2x∈,因为y=cos x在上单调递减,所以g(x)在上单调递增,故A正确;
对于B,g=-2cos=-2cos=0,故是g(x)的一个对称中心,故B正确;
对于C,g(x)为偶函数,故C错误;
对于D,因为x∈,所以2x∈,所以cos 2x∈,所以g(x)∈[-1,2],故D错误.
12.ACD 解析 因为sin B+sin C=2sin A,所以b+c=2a.
对于A和B,若c=1,则b=2a-1,cos A=,解得a=1,△ABC的面积S=bcsin A=,A正确,B错误;
对于C,若b=2,
则c=2a-2,cos A=a-1++2-1≥-1=,当且仅当a=2时,等号成立,所以A的最大值为,C正确;
对于D,若b=2,则根据三边长度关系可得解得△ABC的周长为a+b+c=3a,则4<3a<12,故△ABC周长的取值范围为(4,12),D正确.
13. 解析 sin=-sin,
所以sin=-,
所以sin 2α=cos=cos=1-2sin2=1-2×.
14.(答案不唯一,符合题意均可) 解析 f(x)=2sin(x+φ)-cos x=2(sin xcos φ+cos xsin φ)-cos x=2cos φsin x+(2sin φ-1)cos x,因为f(x)为奇函数,且定义域为R,所以f(0)=0.所以2sin φ-1=0,即sin φ=,所以φ=2kπ+或φ=2kπ+,k∈Z,所以φ的值可以是.
15. 解析 因为2sin B=sin A+sin C,由正弦定理得b=,由余弦定理得cos B=,将b=代入整理得cos B=,因为≥2,当且仅当a=c时取“=”号,所以cos B=,又因为016.①③④或②③⑤ 解析 经分析可知,若选①③④,在△ACD中,∠ACD=-α,∠ADC=+β,∠CAD=α-β,
所以,所以AC=·CD,
所以AB=AC·sin α=·CD,其中各个量均已知.
若选②③⑤,
已知∠ACE和∠AEC,则∠CAE=π-∠ACE-∠AEC,
由,
所以AC=·CE,所以AB=ACsin α=·CE,其中各个量均已知.
其他选择方案均不可求得AB长.
17.解 (1)∵A=,b=2c,A+B+C=π,由正弦定理得sin B=2sin C,∴sin B=2sin,化简得2sin B=cos B,即tan B=.
(2)由tan B=,∴B是锐角,且sin B=.
∵sin B=2sin C,∴sin C=.
又b=2c,∴C∴sin 2C=,cos 2C=.∴sin=sin 2Ccos+cos 2Csin.
18.解 若选①:,2sin Acos B=sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,sin A≠0,∴cos B=,又0若选②:,由正弦定理得,整理得b2=a2+c2-ac,由余弦定理得cos B=,又0若选③:asin Bsin C-bcos Acos C=b,sin Asin Bsin C-sin Bcos Acos C=sin B,
-cos(A+C)=cos B=,又019.解 (1)∵f(x)=2sin xcos x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin,由-+2kπ≤2x-+2kπ,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,又x∈[0,π],∴0≤x≤≤x≤π,
∴函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为.
(2)∵f(α)=2sin,可得sin,
∵α∈,则-<2α-,
∴cos,
因此sin 2α=sinsincos.
20.解 (1)在△ABC中,AB=60,BC=30-30,∠ABC=180°-75°+15°=120°,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=602+(30-30)2-2×60×(30-30)·cos 120°=5 400,AC=30,
故小岛A到小岛C的距离是30海里.
(2)根据正弦定理得,
∴,解得sin∠ACB=.
在△ABC中,∵∠ABC=120°,∴∠ACB为锐角,
∴∠ACB=45°,∴∠CAB=180°-120°-45°=15°.
由75°-15°=60°,得游船应该沿北偏东60°的方向航行.
21.解 (1)由bsin C=sin C+cos C得csin B=2sin,
又A=,A+B+C=π,所以csin B=2sin(π-B)=2sin B,
而0(2)选①,
(方法一)设BC边上的中线为AD,则AD=,
由cos∠ADB=-cos∠ADC,得=-,即-4=--b2,即a2=2b2+6,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得a2=b2-2b+4,即b2+2b+2=0,
该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.
(方法二)设BC边上的中线为AD,则),两边平方得+2),
即×4+2×2b×+b2,即b2+2b+2=0,易知该方程无实数解,
故符合条件的三角形不存在.
(方法三)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.
故C点坐标为,即,B点坐标为(2,0),
所以BC边的中点坐标为1+b,b,由BC边上的中线长为得1+b2+,整理得b2+2b+2=0,该方程无实数解,故符合条件的三角形不存在.
选②,
设AB边上的中线为CF,则CF=.在△ACF中,由余弦定理得CF2=AF2+AC2-2AC·AFcos A,即7=1+AC2-2×1×ACcos,整理得AC2-AC-6=0,解得AC=3或AC=-2(舍去),故△ABC的面积S=AC·ABsin A=×3×2×.
选③,
依题意得AB+BC+CA=6,由(1)知AB=2,所以BC+CA=4,在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+CA2-2AB·CAcos A,所以CB2=22+CA2-2×2×CA,即CB2=4+CA2-2CA,所以(4-CA)2=4+CA2-2CA,解得BC=CA=2,所以△ABC的面积S=AC·ABsin A=×2×2×.
22.解 (1)在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=52+22-2×5×2×=45,得AC=3.
因为cos∠ABC=-,0<∠ABC<π,所以sin∠ABC=.因为A,B,C,D四点共圆,所以∠ABC与∠ADC互补,
所以sin∠ADC=,cos∠ADC=,
在△ACD中,由正弦定理得,
所以AD==5.
(2)因为四边形ABCD的周长为DC+DA+BC+BA=DC+DA+7,在△ACD中,由余弦定理得AC2=DA2+DC2-2DA·DC·cos∠ADC,
即45=DA2+DC2-DA·DC=(DA+DC)2-DA·DC≥(DA+DC)2-(DA+DC)2,
所以(DA+DC)2≤450,所以DA+DC≤15,
当且仅当DA=DC=时,(DA+DC)max=15,
所以四边形ABCD周长的最大值为15+7.
7(共21张PPT)
7.3.5 已知三角函数值求角
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
最新课程标准：
(1)掌握已知三角函数值用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角．
(2)熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)
新知初探·自主学习
知识点一 已知正弦值，利用正弦线或者正弦曲线求角．
知识点二 已知余弦值，利用余弦线或者余弦曲线求角．
知识点三 已知正切值，利用正切线或者正切曲线求角．
[基础自测]
1．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝( )
A． B．
C． D．
解析：因为x∈(π，2π)且cos x＝－，∴x＝.
答案：B
2．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝( )
A． B．
C．或 D．或
解析：因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝时，α＝或，故选D.
答案：D
3．已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________．
解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].
∵tan 2x＝－，∴2x＝或2x＝，
∴x＝或.
答案：或
4．若cos x＝cos ，求x的值．
解析：在同一个周期[－π，π]内，
满足cos x＝cos 的角有两个：和－.
又y＝cos x的周期为2π，所以满足cos x＝cos 的x为2kπ±(k∈Z)．
课堂探究·素养提升
题型一 已知正弦值求角
例1 已知sin x＝.
(1)当x∈[－]时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合．
尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．
【解析】 (1)∵y＝sin x在[－]上是增函数，且sin ＝，∴x＝，∴{}是所求集合．
(2)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin ＝sin ＝，
∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝π，
∴x的取值集合为{}．
(3)当x∈R时，x的取值集合为
{x|x＝2kπ＋，或x＝2kπ＋，k∈Z}．
方法归纳
(1)给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．
(2)对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．
跟踪训练1 已知sin α＝，根据所给范围求角α.
(1)α为锐角；(2)α∈R.
解析：(1)由于sin α＝，且α为锐角，即α∈，
所以α＝.
(2)由于sin α＝，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋，k∈Z，α2＝2kπ＋，k∈Z.
题型二 已知余弦值求角
例2 已知cos x＝－，
(1)当x∈[0，π]时，求值x；
(2)当x∈R时，求x的取值集合．
解答本题可先求出锐角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．
【解析】 (1)∵cos x＝－且x∈[0，π]，∴x＝.
(2)当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解．
∵cos x＝－，故x是第二或第三象限角．
所以，由余弦函数的周期性知，
当x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)时，
cos x＝－，即所求x值的集合是
{x|x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)}．
方法归纳
cos x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．
跟踪训练2 已知cos x＝－且x∈[0，2π)，求x的取值集合．
解析：由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x是第二或第三象限的角，由cos ＝－cos ＝－，所以在区间[0，2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－＝.又cos ＝－cos ＝－，所以在区间[0，2π)内符合条件的第三象限的角是x＝＋π＝.
故所求角的集合为.
题型三 已知正切值求角
例3 已知tan α＝1.
(1)若α∈，求角α；
(2)若α∈R，求角α.
【解析】 (1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝1的角只有一个，即α＝.
(2)α＝kπ＋(k∈Z)．
方法归纳
(1)已知角的正切值求角，可先求出内的角α，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角．
(2)tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋α，k∈Z}．
跟踪训练3 已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
解析：∵tan x＝－1＜0，
∴x是第二或第四象限的角．
由tan ＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－.
又由tan (－π)＝－tan ＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－π，
∴在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.