云南省2024年初中学业水平考试模拟(四)数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题只有一个正确选项,每小题3分,共36分)
1．（2024·云南模拟）七年级(1)班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作-3分，表示得了( )
A．86分 B．83分 C．87分 D．80分
2．（2024·云南模拟）滇池亦称昆明湖、昆明池、滇南泽、滇海，位于昆明市西山区，是云南省面积最大的高原湖泊，也是全国第六大淡水湖，有着“高原明珠”之称.滇池的蓄水量大约为1290000000m3.数字1290000000用科学记数法可以表示为( )
A．1.29×109 B．12.9×108 C．0.129×1010 D．1.29×1010
3．（2024·云南模拟）如图所示，圆锥的主视图是( )
A． B． C． D．
4．（2024·云南模拟）如图所示，AB∥CD，∠A+∠E=80°，则∠C为( )
A．60° B．65° C．80° D．75°
5．（2024·云南模拟）下列运算正确的是( )
A．x6÷x3=x2 B．(x3)2=x5 C．=±2 D．=-2
6．（2024·云南模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为( )
A．x>-1 B．x≥-1 C．x≥-1且x≠0 D．x≠0
7．（2024·云南模拟）已知正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是( )
A．九 B．八 C．七 D．六
8．（2024·云南模拟）按一定规律排列的一列数依次为-a2，a5，-a8，a11，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第10个数是( )
A．a23 B．-a26 C．a29 D．a32
9．（2024·云南模拟）某校为了了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制两幅不完整的统计图(A：不太了解，B：基本了解，C：比较了解，D：非常了解)，根据图中信息可知，下列结论错误的是( )
A．本次调查的样本容量是50
B．“非常了解”的人数为10人
C．“基本了解”的人数为15人
D．“比较了解”部分所对应的圆心角度数为120°
10．（2024·云南模拟）已知x(x-3)=2，那么多项式-2x2+6x+9的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
11．（2024·云南模拟）现在5G手机非常流行，5G手机下载速度很快，比4G手机下载速度多120M/s，下载一部900MB的电影，5G比4G要快200s，那么5G手机的下载速度是多少 若设5G手机的下载速度为xM/s，则根据题意可列方程为( )
A．-=200 B．-=200
C．+=200 D．+200=
12．（2024·云南模拟）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，则BF的长为( )
A． B．4 C． D．
二、填空题(本大题共4小题,每小题2分,共8分)
13．（2024·云南模拟）已知反比例函数y=的图象经过(3，-2)，则a= .
14．（2024·云南模拟）如图所示，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC=90°，若BC=12，AC=8，则DF的长为 .
15．（2024·云南模拟）因式分解：x3-9x= .
16．（2024·云南模拟）在直径为1000mm的圆柱形油罐内装进一些油，其横截面如图所示.油面宽AB=600mm，如果再注入一些油后，油面宽变为800mm，此时油面上升了 .
三、解答题(本大题共8小题,共56分)
17．（2024·云南模拟）计算：+(4-π)0+(-1)-1-6sin30°.
18．（2024·云南模拟）如图所示，已知AB∥CD，∠B=∠D，AE=CF，求证：△ABF≌△CDE.
19．（2024·云南模拟）在推进城乡生活垃圾分类的行动中，某校数学兴趣小组为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况，对A，B两小区各600名居民进行测试，从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
[信息一]A小区50名居民成绩的频数分布直方图如图所示(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)；
[ERRORIMAGE:http://tikupic.21cnjy.com/2024/06/13/34/a3/34a3fb34e84e29b52090cdf69f73c817.jpeg]
[信息二]上图中，从左往右第四组成绩如下：
75 77 77 79 79 79 80 80
81 82 82 83 83 84 84 84
[信息三]A，B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(80分及以上为优秀)、方差等数据如下(部分空缺)：
小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
A 75.1 ▲ 79 40% 277
B 75.1 77 76 45% 211
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求A小区50名居民成绩的中位数；
（2）请估计A小区600名居民成绩能超过平均数的人数；
（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况.
20．（2024·云南模拟）在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个(除颜色外完全相同)，其中白球2个，红球、黄球各1个.
（1）从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是_ ；
（2）若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分.甲同学随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学摸球得分之和至少为4分的概率.
21．（2024·云南模拟）某商场投入资金购买甲、乙两种矿泉水共400箱，矿泉水的进价与售价(单位：元/箱)如下表所示：
类别 进价 售价
甲 24 36
乙 32 48
（1）若某商场为购买甲、乙两种矿泉水共投入资金为11520元，则该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱
（2）若商场再次购买甲、乙两种矿泉水共400箱，其中甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，请设计一个方案：商场第二次进货中，购买甲种矿泉水多少箱时获得最大利润，最大利润是多少
22．（2024·云南模拟）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CED.
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=2，DE=3，求菱形ABCD的面积.
23．（2024·云南模拟）如图所示，以AB为直径的☉O交∠BAD的平分线于点C，过点C作CD⊥AD于点D，交AB的延长线于点E.
（1）求证：CD为☉O的切线.
（2）若=，求cos∠DAB.
24．（2024·云南模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-bx(b是常数)经过点(2，0).点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m≠0).以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ=2|m|，且PQ⊥x轴.
（1）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧.过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接BC.当BC=4时，求点B的坐标；
（2）若m>0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 小亮得了90分，记作+7分，
-3分表示比平均成绩低3分，
小英的成绩为83-3=80分，
故答案为：D.
【分析】由正负数表示的实际意义以及小亮得了90分，记作+7分，从而求解.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1290000000 = 1.29×109
故答案为：A.
【分析】将一个大于10的数记为的形式，其中，，这样的记数方法称为科学记数法.
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 圆锥的主视图是 ，
故答案为：A.
【分析】根据简单几何体的三视图的定义进行求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，由∠BFE为△AEF的外角，故∠BFE=∠A+∠E=80°，
而AB||CD，故∠C=∠BFE=80°
故答案为：80°.
【分析】结合三角形外角的性质和平行的性质即可得∠C的度数.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；幂的乘方运算
6．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，解得 x≥-1且x≠0
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数和分母不为0即可得结果.
7．【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，则由题意得解得n=9
故答案为：A.
【分析】由正多边形的内角和除以边数即为每个内角的度数，解方程即可.
8．【答案】C
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：以上代数式的系数为-1，1，-1......第n个代数式的符号为(-1)n，而其指数为2，5，8，11，第n个代数式的指数为3n-1，故第10个代数式的为 a29
故答案为：C.
【分析】分别观察其系数和指数的变化规则并表达其规律，即可求出第10项的代数式.
9．【答案】D
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：由统计图知A的人数为5，所占比例为10%，故总人数为5÷10%=50，故A正确；B所占比例为30%，对应的人数为50×30%=15人，故C正确，非常了解即D对应的人数为50-5-15-20=10人，故B正确；C对应的比例为20÷50=40%，其圆心角为360°×40%=144°，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据条形统计图与扇形统计图之间的联系进行验证即可.
10．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： 由x(x-3)=2得x2-3x=2，而-2x2+6x+9=-2(x2-3x)+9=-2×2+9=5
故答案为：B.
【分析】由已知和所求多项式的联系，整体代入即可求值.
11．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：5G手机的下载速度为x，则4G手机的下载速度为x-120，则由时间关系可列分式方程-=200.
故答案为：B.
【分析】先表示出4G手机下载的速度，由时间关系即可列出方程.
12．【答案】D
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：ABCD为矩形，则∠DAB=90°，由勾股定理得BD=，E为CD的中点，故DE=2，又由DE||AB得，得BF=BD=
故答案为：D.
【分析】先由勾股定理得BD的长，由DE||AB可得BF=BD即可得BF的长.
13．【答案】-6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将(3，-2)代入反比例函数解析式得得a=-6
故答案为：-6.
【分析】将点直接代入反比例函数解析式即可得a的值.
14．【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：D、E分别为AB、AC的中点，故DE=BC=6，而AFC=90，E为AC的中点，故EF=AC=4，DF=DE-EF=6-4=2，即DF=2
故答案为：2.
【分析】由中位线定理可得DE的长，由直角三角形斜边的中线等于斜边的性质可得EF，即可得DF的长.
15．【答案】x（x+3）（x-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解。
16．【答案】100mm
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理得AH=300mm，直径为1000mm，得OA=500mm，由勾股定理得OH=
当油面宽度为800mm如下图所示，MN=800mm，即MI=400mm，同理由勾股定理得OI=300mm，故上升高度HI=400-300=100mm.
故答案为：100mm.
【分析】根据垂径定理和勾股定理得OH和OI的长，即可得上升高度HI的值.
17．【答案】解：+(4-π)0+(-1)-1-6sin30°
=4+1-1-6×
=4+1-1-3
=1.
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
18．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
【知识点】三角形全等的判定-AAS
19．【答案】（1）∵有50名居民，
∴中位数落在第四组，中位数为=76
（2）600×=300(人).
答：估计A小区600名居民成绩能超过平均数的人数为300人.
（3）解：从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；
从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；
从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数
【知识点】频数（率）分布直方图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
20．【答案】（1）
（2）解：画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲同学摸球得分之和至少为4分的结果有8种，
∴甲同学摸球得分之和至少为4分的概率为=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意得从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解；
（2）根据题意画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，其中甲同学摸球得分之和至少为4分的结果有8种，从而根据等可能事件的概率即可求解。
21．【答案】（1）解：设购买甲种矿泉水a箱，乙种矿泉水b箱.
依题意，得解得
答：购买甲种矿泉水160箱，乙种矿泉水240箱.
（2）解：设再次购买甲种矿泉水x箱，全部售完获利w元.
由题意，得w=(36-24)x+(48-32)(400-x)=-4x+6400，
∵甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，
∴400-x≤x≤400，解得200≤x≤400.
∵w=-4x+6400，w随x的增大而减小，
∴当x=200时，w有最大值-4×200+6400=5600.
答：再次购买甲种矿泉200箱时获得最大利润，最大利润是5600元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据进价和总价两个等量关系列出方程组即可；
(2)求出甲乙两种水的利润表达式，根据x的取值范围即可得最大利润.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，AC⊥BD.
又∵△BOC≌△CED，
∴BO=CE，OC=ED.
∴DO=CE.
∴四边形OCED是平行四边形.
又∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°.
∴四边形OCED是矩形.
（2）解：由(1)，知四边形OCED是矩形，
则OD=CE=2，OC=DE=3.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=6，BD=2OD=4.
∴菱形ABCD的面积为AC·BD=×6×4=12.
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1) 由ABCD为菱形和△BOC≌△CED可得DO=CE，DO||CE且∠DOC=90°，即可得OCED为矩形；
(2)结合矩形和菱形的性质即可得菱形的面积.
23．【答案】（1）证明：如图①所示，连接OC.
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB.
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OCA.
∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
∵OC为☉O半径，
∴CD是☉O的切线.
（2）解：如图②所示，连接BC.
∵AB为直径，∴∠ACB=90°.
∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB.
∵=，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5.
∴==.
∴BC=.
由勾股定理，得AB==.
∴OC=.
∵OC∥AD，∴=.
∴=.
解得AE=.
∴cos∠DAB===.
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线的判定；求余弦值
24．【答案】（1）解：把(2，0)代入y=x2-bx，得b=2，
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x.
如图①所示，
∵y=x2-2x=(x-1)2-1，
∴抛物线的顶点为(1，-1)，对称轴为直线x=1.
由题意，得B，C关于对称轴对称，BC=4.
∴点B的横坐标为-1.
∴B(-1，3).
（2）解：如图②所示，
∵点A的横坐标为m，PQ=2|m|，m>0，
∴PQ=PN=MN=2m.
∴正方形的边MN在y轴上.
当点M与点O重合时，由
解得或
∴A(3，3).
观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大.
如图③所示，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m=，观察图象可知，当0综上所述，满足条件的m的取值范围为0【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)直接将点(2，0)代入抛物线解析式即可得b的值即得解析式，由抛物线的对称性可得点B的坐标；
(2)结合图像，对照二次函数图形对称轴左右两侧画出正方形，即可得m的取值范围.
1 / 1云南省2024年初中学业水平考试模拟(四)数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题只有一个正确选项,每小题3分,共36分)
1．（2024·云南模拟）七年级(1)班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作-3分，表示得了( )
A．86分 B．83分 C．87分 D．80分
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 小亮得了90分，记作+7分，
-3分表示比平均成绩低3分，
小英的成绩为83-3=80分，
故答案为：D.
【分析】由正负数表示的实际意义以及小亮得了90分，记作+7分，从而求解.
2．（2024·云南模拟）滇池亦称昆明湖、昆明池、滇南泽、滇海，位于昆明市西山区，是云南省面积最大的高原湖泊，也是全国第六大淡水湖，有着“高原明珠”之称.滇池的蓄水量大约为1290000000m3.数字1290000000用科学记数法可以表示为( )
A．1.29×109 B．12.9×108 C．0.129×1010 D．1.29×1010
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1290000000 = 1.29×109
故答案为：A.
【分析】将一个大于10的数记为的形式，其中，，这样的记数方法称为科学记数法.
3．（2024·云南模拟）如图所示，圆锥的主视图是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 圆锥的主视图是 ，
故答案为：A.
【分析】根据简单几何体的三视图的定义进行求解即可.
4．（2024·云南模拟）如图所示，AB∥CD，∠A+∠E=80°，则∠C为( )
A．60° B．65° C．80° D．75°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，由∠BFE为△AEF的外角，故∠BFE=∠A+∠E=80°，
而AB||CD，故∠C=∠BFE=80°
故答案为：80°.
【分析】结合三角形外角的性质和平行的性质即可得∠C的度数.
5．（2024·云南模拟）下列运算正确的是( )
A．x6÷x3=x2 B．(x3)2=x5 C．=±2 D．=-2
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；幂的乘方运算
6．（2024·云南模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为( )
A．x>-1 B．x≥-1 C．x≥-1且x≠0 D．x≠0
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，解得 x≥-1且x≠0
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数和分母不为0即可得结果.
7．（2024·云南模拟）已知正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是( )
A．九 B．八 C．七 D．六
【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，则由题意得解得n=9
故答案为：A.
【分析】由正多边形的内角和除以边数即为每个内角的度数，解方程即可.
8．（2024·云南模拟）按一定规律排列的一列数依次为-a2，a5，-a8，a11，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第10个数是( )
A．a23 B．-a26 C．a29 D．a32
【答案】C
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：以上代数式的系数为-1，1，-1......第n个代数式的符号为(-1)n，而其指数为2，5，8，11，第n个代数式的指数为3n-1，故第10个代数式的为 a29
故答案为：C.
【分析】分别观察其系数和指数的变化规则并表达其规律，即可求出第10项的代数式.
9．（2024·云南模拟）某校为了了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制两幅不完整的统计图(A：不太了解，B：基本了解，C：比较了解，D：非常了解)，根据图中信息可知，下列结论错误的是( )
A．本次调查的样本容量是50
B．“非常了解”的人数为10人
C．“基本了解”的人数为15人
D．“比较了解”部分所对应的圆心角度数为120°
【答案】D
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：由统计图知A的人数为5，所占比例为10%，故总人数为5÷10%=50，故A正确；B所占比例为30%，对应的人数为50×30%=15人，故C正确，非常了解即D对应的人数为50-5-15-20=10人，故B正确；C对应的比例为20÷50=40%，其圆心角为360°×40%=144°，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据条形统计图与扇形统计图之间的联系进行验证即可.
10．（2024·云南模拟）已知x(x-3)=2，那么多项式-2x2+6x+9的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： 由x(x-3)=2得x2-3x=2，而-2x2+6x+9=-2(x2-3x)+9=-2×2+9=5
故答案为：B.
【分析】由已知和所求多项式的联系，整体代入即可求值.
11．（2024·云南模拟）现在5G手机非常流行，5G手机下载速度很快，比4G手机下载速度多120M/s，下载一部900MB的电影，5G比4G要快200s，那么5G手机的下载速度是多少 若设5G手机的下载速度为xM/s，则根据题意可列方程为( )
A．-=200 B．-=200
C．+=200 D．+200=
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：5G手机的下载速度为x，则4G手机的下载速度为x-120，则由时间关系可列分式方程-=200.
故答案为：B.
【分析】先表示出4G手机下载的速度，由时间关系即可列出方程.
12．（2024·云南模拟）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，则BF的长为( )
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：ABCD为矩形，则∠DAB=90°，由勾股定理得BD=，E为CD的中点，故DE=2，又由DE||AB得，得BF=BD=
故答案为：D.
【分析】先由勾股定理得BD的长，由DE||AB可得BF=BD即可得BF的长.
二、填空题(本大题共4小题,每小题2分,共8分)
13．（2024·云南模拟）已知反比例函数y=的图象经过(3，-2)，则a= .
【答案】-6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将(3，-2)代入反比例函数解析式得得a=-6
故答案为：-6.
【分析】将点直接代入反比例函数解析式即可得a的值.
14．（2024·云南模拟）如图所示，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC=90°，若BC=12，AC=8，则DF的长为 .
【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：D、E分别为AB、AC的中点，故DE=BC=6，而AFC=90，E为AC的中点，故EF=AC=4，DF=DE-EF=6-4=2，即DF=2
故答案为：2.
【分析】由中位线定理可得DE的长，由直角三角形斜边的中线等于斜边的性质可得EF，即可得DF的长.
15．（2024·云南模拟）因式分解：x3-9x= .
【答案】x（x+3）（x-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解。
16．（2024·云南模拟）在直径为1000mm的圆柱形油罐内装进一些油，其横截面如图所示.油面宽AB=600mm，如果再注入一些油后，油面宽变为800mm，此时油面上升了 .
【答案】100mm
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理得AH=300mm，直径为1000mm，得OA=500mm，由勾股定理得OH=
当油面宽度为800mm如下图所示，MN=800mm，即MI=400mm，同理由勾股定理得OI=300mm，故上升高度HI=400-300=100mm.
故答案为：100mm.
【分析】根据垂径定理和勾股定理得OH和OI的长，即可得上升高度HI的值.
三、解答题(本大题共8小题,共56分)
17．（2024·云南模拟）计算：+(4-π)0+(-1)-1-6sin30°.
【答案】解：+(4-π)0+(-1)-1-6sin30°
=4+1-1-6×
=4+1-1-3
=1.
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
18．（2024·云南模拟）如图所示，已知AB∥CD，∠B=∠D，AE=CF，求证：△ABF≌△CDE.
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
【知识点】三角形全等的判定-AAS
19．（2024·云南模拟）在推进城乡生活垃圾分类的行动中，某校数学兴趣小组为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况，对A，B两小区各600名居民进行测试，从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
[信息一]A小区50名居民成绩的频数分布直方图如图所示(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)；
[信息二]上图中，从左往右第四组成绩如下：
75 77 77 79 79 79 80 80
81 82 82 83 83 84 84 84
[信息三]A，B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(80分及以上为优秀)、方差等数据如下(部分空缺)：
小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
A 75.1 ▲ 79 40% 277
B 75.1 77 76 45% 211
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求A小区50名居民成绩的中位数；
（2）请估计A小区600名居民成绩能超过平均数的人数；
（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况.
【答案】（1）∵有50名居民，
∴中位数落在第四组，中位数为=76
（2）600×=300(人).
答：估计A小区600名居民成绩能超过平均数的人数为300人.
（3）解：从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；
从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；
从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数
【知识点】频数（率）分布直方图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
20．（2024·云南模拟）在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个(除颜色外完全相同)，其中白球2个，红球、黄球各1个.
（1）从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是_ ；
（2）若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分.甲同学随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学摸球得分之和至少为4分的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲同学摸球得分之和至少为4分的结果有8种，
∴甲同学摸球得分之和至少为4分的概率为=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意得从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解；
（2）根据题意画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，其中甲同学摸球得分之和至少为4分的结果有8种，从而根据等可能事件的概率即可求解。
21．（2024·云南模拟）某商场投入资金购买甲、乙两种矿泉水共400箱，矿泉水的进价与售价(单位：元/箱)如下表所示：
类别 进价 售价
甲 24 36
乙 32 48
（1）若某商场为购买甲、乙两种矿泉水共投入资金为11520元，则该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱
（2）若商场再次购买甲、乙两种矿泉水共400箱，其中甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，请设计一个方案：商场第二次进货中，购买甲种矿泉水多少箱时获得最大利润，最大利润是多少
【答案】（1）解：设购买甲种矿泉水a箱，乙种矿泉水b箱.
依题意，得解得
答：购买甲种矿泉水160箱，乙种矿泉水240箱.
（2）解：设再次购买甲种矿泉水x箱，全部售完获利w元.
由题意，得w=(36-24)x+(48-32)(400-x)=-4x+6400，
∵甲种矿泉水的箱量大于等于乙种矿泉水的箱量，
∴400-x≤x≤400，解得200≤x≤400.
∵w=-4x+6400，w随x的增大而减小，
∴当x=200时，w有最大值-4×200+6400=5600.
答：再次购买甲种矿泉200箱时获得最大利润，最大利润是5600元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据进价和总价两个等量关系列出方程组即可；
(2)求出甲乙两种水的利润表达式，根据x的取值范围即可得最大利润.
22．（2024·云南模拟）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CED.
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=2，DE=3，求菱形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，AC⊥BD.
又∵△BOC≌△CED，
∴BO=CE，OC=ED.
∴DO=CE.
∴四边形OCED是平行四边形.
又∵AC⊥BD，
∴∠DOC=90°.
∴四边形OCED是矩形.
（2）解：由(1)，知四边形OCED是矩形，
则OD=CE=2，OC=DE=3.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=6，BD=2OD=4.
∴菱形ABCD的面积为AC·BD=×6×4=12.
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1) 由ABCD为菱形和△BOC≌△CED可得DO=CE，DO||CE且∠DOC=90°，即可得OCED为矩形；
(2)结合矩形和菱形的性质即可得菱形的面积.
23．（2024·云南模拟）如图所示，以AB为直径的☉O交∠BAD的平分线于点C，过点C作CD⊥AD于点D，交AB的延长线于点E.
（1）求证：CD为☉O的切线.
（2）若=，求cos∠DAB.
【答案】（1）证明：如图①所示，连接OC.
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB.
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OCA.
∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
∵OC为☉O半径，
∴CD是☉O的切线.
（2）解：如图②所示，连接BC.
∵AB为直径，∴∠ACB=90°.
∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB.
∵=，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5.
∴==.
∴BC=.
由勾股定理，得AB==.
∴OC=.
∵OC∥AD，∴=.
∴=.
解得AE=.
∴cos∠DAB===.
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线的判定；求余弦值
24．（2024·云南模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-bx(b是常数)经过点(2，0).点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m≠0).以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ=2|m|，且PQ⊥x轴.
（1）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧.过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接BC.当BC=4时，求点B的坐标；
（2）若m>0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围.
【答案】（1）解：把(2，0)代入y=x2-bx，得b=2，
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x.
如图①所示，
∵y=x2-2x=(x-1)2-1，
∴抛物线的顶点为(1，-1)，对称轴为直线x=1.
由题意，得B，C关于对称轴对称，BC=4.
∴点B的横坐标为-1.
∴B(-1，3).
（2）解：如图②所示，
∵点A的横坐标为m，PQ=2|m|，m>0，
∴PQ=PN=MN=2m.
∴正方形的边MN在y轴上.
当点M与点O重合时，由
解得或
∴A(3，3).
观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大.
如图③所示，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m=，观察图象可知，当0综上所述，满足条件的m的取值范围为0【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)直接将点(2，0)代入抛物线解析式即可得b的值即得解析式，由抛物线的对称性可得点B的坐标；
(2)结合图像，对照二次函数图形对称轴左右两侧画出正方形，即可得m的取值范围.
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