四川省泸州市江阳区2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题

四川省泸州市江阳区2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·江阳期末）已知直线，，若，则(　　)
A． B． C． D．
2．（2024高二下·江阳期末）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程(　　)
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·江阳期末） 已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（　　）
A．3 B．3或7 C．5 D．7
4．（2024高二下·江阳期末）已知等差数列中，，则公差(　　)
A． B． C． D．
5．（2024高二下·江阳期末）甲、乙、丙、丁、戊名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有，，三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为(　　)
A． B． C． D．
6．（2024高二下·江阳期末）函数的图象大致为(　　)
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·江阳期末）下列说法正确的有个
已知一组数据的 方差为，则的方差也为．
对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是．
已知随机变量服从正态分布，若，则．
已知随机变量服从二项分布，若，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2024高二下·江阳期末）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．三棱锥的体积是定值
D．存在点，使得与所成的角为
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·江阳期末）已知，若随机事件，相互独立，则(　　)
A． B． C． D．
10．（2024高二下·江阳期末）若，则(　　)
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·江阳期末）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（　　）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·江阳期末）已知数列满足，，则　 　．
13．（2024高二下·江阳期末）若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立在年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分分，某校高三共有名学生参加考试，全体学生的成绩，则根据上述不等式，可估计分数不低于分的学生不超过　 　人
14．（2024高二下·江阳期末）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·江阳期末）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列{ }的前n项和。
16．（2024高二下·江阳期末）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分，，三大类，其中类有个项目，每项需花费小时，类有个项目，每项需花费小时，类有个项目，每项需花费小时．要求每位员工从中随机选择个项目，每个项目的选择机会均等．
（1）求小张在三类中各选个项目的概率；
（2）设小张所选个项目花费的总时间为小时，求的分布列．
17．（2024高二下·江阳期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
18．（2024高二下·江阳期末）已知双曲线：，点为双曲线右支上一点，、为双曲线的左、右顶点，直线与轴交于点，点在轴正半轴上，点在轴上．
（1）若点，，过点作的垂线交该双曲线于，两点，求的面积；
（2）若点不与重合，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
；；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．（2024高二下·江阳期末）已知函数．
（1）若，求的最大值；
（2）若，其中，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：因为直线，所以，即.
故答案为：B.
【分析】根据两直线垂直列式计算即可.
2．【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解：易知圆的半径，
因为圆心为，所以圆的方程为，
则圆的一般方程为.
故答案为：C.
【分析】根据两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，再化为一般方程即可.
3．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可得：，
设点P到另一个焦点F的距离等于，则，解得或，
因为，可知符合题意，不合题意.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的定义结合三角形的性质分析求解.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得．
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，结合等差数列通项公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：5个人去3个地方，共有种不同的选择；
5人分到3个小区，每个小区至少一名志愿者，则分组为型或型，
当5人被分为型时，有种不同的选择；
当5人被分为型时，有种不同的选择，共有，
因为甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则，
共计种，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，所以甲不在小区的概率为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，先求得所有情况数，再求得甲去的情况数，从而得到甲不去小区的情况数，再结合概率公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
且满足，则函数为奇函数，
当时，，，
设，则在上恒成立，即函数在上单调递增；
又，，
根据零点存在定理可得，，有，
且当时，，，则函数在上单调递增；
当时，，，则函数在上单调递减，
因为，所以C项满足题意.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再根据函数的奇偶性判断函数为奇函数，得到时，，根据导函数判断函数的单调性，并求得极大值点，即可判断.
7．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、设数据的平均数为，方差为，
由题意，可得，，
则的平均数为，
方差为
，故A正确；
B、因为线性回归直线过样本点中心，所以，解得，故B错误；
C、因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又，
而，所以，则，故C正确；
D、因为服从二项分布，所以，
所以，解得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据方差的定义即可判断①；根据样本点中心在回归直线上求得的值即可判断②；根据可得，由对称性求出对称轴可得的值即可判断③；根据二项分布的期望方差的公式期望方差的性质即可判断④.
8．【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：A、在正方体中，，因为P为线段的中点，即为的中点，所以，故不可能平行，故A错误；
B、若为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
，面，则面，
所以存在Q使得平面，故B正确；
C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，
所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，
故三棱锥的体积不是定值，故C错误；
D、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，且，
所以，，若它们夹角为，
则，
令，则，
当，则，；
当则；当，则，；
所以不在上述范围内，故D错误.
故答案为：B.
【分析】由、即可判断A；若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断B；求证与面是否平行即可判断C；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线夹角的范围即可判断D.
9．【答案】B,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：B、，则，故B正确；
A、，则，故A错误；
C、，，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC；再根据即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：，
A、当时，，解得，故A正确；
B、由二项式定理可知展开式的通项为，
令得，则，故B错误；
C、将代入，
得，
即，故C正确；
D、将代入得，
即①，
将代入得，
即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将，，代入判断ACD；利用二项式展开式的通项公式即可判断B.
11．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角，即可判断D选项.
12．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列满足，
所以，，…，，
当时，；
当时，，满足上式，
则．
故答案为：．
【分析】由题意，利用累加法，结合等比数列前n项和公式求解即可．
13．【答案】10
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：取，，所以或，
又因为，所以，即估计分数不低于100分的学生
不超过.
故答案为：10.
【分析】可令，由题意得出，再结合全体学生的成绩的期望，计算得出，求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，
因为函数在上存在单调递减区间，所以在上有解，
即在上有解，即在上有解，
令，则，，
，
当且仅当，即时等号成立，此时，，则，
即，则的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得的取值范围.
15．【答案】（1）解：设 的公比为q，由题设得
，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
16．【答案】（1）解：记事件为“在三类中各选个项目”，则，
故小张在三类中各选个项目的概率为．
（2）解：由题知的所有可能取值为，，，，，，
则，，
，，
，，
所以的分布列为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用古典概型概率公式求解即可；
（2）先分析可得X的可能取值，求出每个取值对应的概率，即可得的分布列.
17．【答案】（1）证明：在正三棱柱中，取中点，过作，连接，
由平面，得平面，平面，则，，而，
即两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
有，于是，，
即，，而又平面，
所以平面．
（2）解：由知，平面，则是平面的法向量，
设平面的法向量，而，，
则，取，得，
则，设二面角的平面角为，
因此，
所以二面角的正弦值为．
（3）解：由知是平面的法向量，而向量，
所以点到平面的距离为．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断线面垂直即可；
（2）利用空间向量法求二面角的正弦值即可；
（3）利用空间向量法求点到面的距离即可.
18．【答案】（1）解：由已知可得， ， ．
因为点 ，直线 的斜率为 ，
所以直线 的垂线 的方程为 ，
整理可得， ．
设点 ， ，
联立直线 与双曲线的方程 可得， ，
则 ，且 ，
所以， ．
原点 到直线 的距离为 ，
所以， 的面积为 ．
（2）解：如图，
为条件，为结论：
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 ．
又 ，所以点 的坐标为 ，
直线 的斜率为 ．
又 ，所以 ，
设点 ，
则直线 的斜率 ，
所以 ，
所以 ；
为条件，为结论：
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 ．
又 ，所以点 的坐标为 ，
又 ，点在轴正半轴上，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以， ；
为条件，为结论：
令点 ， ，且 ，不妨设 ．
因为 三点共线，
所以 ，且 ．
因为 ，点在轴正半轴上，所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，
所以， ，且 ，
所以， ，即 ．
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先根据已知，得出的方程，再联立与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标的关系，表示出弦长，最后根据面积公式求解即可；
（2）①②为条件，③为结论：易得.又，.然后根据直线的斜率可得出.设点，则，即可得出坐标；①③为条件，②为结论：易得，.又，即可的得出，，求解，整理即可得出证明；②③为条件，①为结论：易得，平方整理可得.根据，得.进而根据，即可求出，平方整理证明即可.
19．【答案】（1）解：当时，，则．
令，则，
在上单调递减．
又，
存在使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
有最大值．
另法：当时，，令，
则，其中，，
当时，单调递增；当时，单调递减，故，即的最大值为
（2）解：令，
由题意知的取值应满足函数有两个零点．
易得，
若，则，在上单调递增，
至多有一个零点，不符合题意，舍去；
若，则当时，单调递减；
当时，单调递增．
要使函数有两个零点，则
易知．
令，则，
令，则，
在上单调递增，
在上单调递减，
由知在和上各有一个零点，
则实数的取值范围为．
另法：令，
由题意知m的取值应满足函数有两个零点，
若，易知单调递增，不符合题意，舍去；
若，由知，，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增．
又，且时，，解得，
故实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）将代入对函数求导得，令，利用导数判断函数的单调性，从而求其最大值；
另法：当时，，令，则 ，利用导数判断函数的单调性，求得，即得的最值；
（2） 令，由题意知的取值应满足函数有两个零点，对求导，然后分、讨论函数的单调性， 要使函数有两个零点，则，即可求，易知．令，通过讨论单调性即可求得m的取值范围；
另法：令，由题意知m的取值应满足函数有两个零点，当易知单调递增，不符合题意，当时，，令，通过导数讨论单调性，从而求取实数的取值范围.
1 / 1四川省泸州市江阳区2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·江阳期末）已知直线，，若，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：因为直线，所以，即.
故答案为：B.
【分析】根据两直线垂直列式计算即可.
2．（2024高二下·江阳期末）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解：易知圆的半径，
因为圆心为，所以圆的方程为，
则圆的一般方程为.
故答案为：C.
【分析】根据两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，再化为一般方程即可.
3．（2024高二下·江阳期末） 已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（　　）
A．3 B．3或7 C．5 D．7
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可得：，
设点P到另一个焦点F的距离等于，则，解得或，
因为，可知符合题意，不合题意.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的定义结合三角形的性质分析求解.
4．（2024高二下·江阳期末）已知等差数列中，，则公差(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得．
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，结合等差数列通项公式求解即可.
5．（2024高二下·江阳期末）甲、乙、丙、丁、戊名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有，，三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：5个人去3个地方，共有种不同的选择；
5人分到3个小区，每个小区至少一名志愿者，则分组为型或型，
当5人被分为型时，有种不同的选择；
当5人被分为型时，有种不同的选择，共有，
因为甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则，
共计种，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，所以甲不在小区的概率为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，先求得所有情况数，再求得甲去的情况数，从而得到甲不去小区的情况数，再结合概率公式求解即可.
6．（2024高二下·江阳期末）函数的图象大致为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
且满足，则函数为奇函数，
当时，，，
设，则在上恒成立，即函数在上单调递增；
又，，
根据零点存在定理可得，，有，
且当时，，，则函数在上单调递增；
当时，，，则函数在上单调递减，
因为，所以C项满足题意.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再根据函数的奇偶性判断函数为奇函数，得到时，，根据导函数判断函数的单调性，并求得极大值点，即可判断.
7．（2024高二下·江阳期末）下列说法正确的有个
已知一组数据的 方差为，则的方差也为．
对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是．
已知随机变量服从正态分布，若，则．
已知随机变量服从二项分布，若，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、设数据的平均数为，方差为，
由题意，可得，，
则的平均数为，
方差为
，故A正确；
B、因为线性回归直线过样本点中心，所以，解得，故B错误；
C、因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又，
而，所以，则，故C正确；
D、因为服从二项分布，所以，
所以，解得，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据方差的定义即可判断①；根据样本点中心在回归直线上求得的值即可判断②；根据可得，由对称性求出对称轴可得的值即可判断③；根据二项分布的期望方差的公式期望方差的性质即可判断④.
8．（2024高二下·江阳期末）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．三棱锥的体积是定值
D．存在点，使得与所成的角为
【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：A、在正方体中，，因为P为线段的中点，即为的中点，所以，故不可能平行，故A错误；
B、若为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
，面，则面，
所以存在Q使得平面，故B正确；
C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，
所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，
故三棱锥的体积不是定值，故C错误；
D、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，且，
所以，，若它们夹角为，
则，
令，则，
当，则，；
当则；当，则，；
所以不在上述范围内，故D错误.
故答案为：B.
【分析】由、即可判断A；若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断B；求证与面是否平行即可判断C；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线夹角的范围即可判断D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·江阳期末）已知，若随机事件，相互独立，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：B、，则，故B正确；
A、，则，故A错误；
C、，，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC；再根据即可判断D.
10．（2024高二下·江阳期末）若，则(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：，
A、当时，，解得，故A正确；
B、由二项式定理可知展开式的通项为，
令得，则，故B错误；
C、将代入，
得，
即，故C正确；
D、将代入得，
即①，
将代入得，
即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将，，代入判断ACD；利用二项式展开式的通项公式即可判断B.
11．（2024高二下·江阳期末）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（　　）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角，即可判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·江阳期末）已知数列满足，，则　 　．
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列满足，
所以，，…，，
当时，；
当时，，满足上式，
则．
故答案为：．
【分析】由题意，利用累加法，结合等比数列前n项和公式求解即可．
13．（2024高二下·江阳期末）若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立在年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分分，某校高三共有名学生参加考试，全体学生的成绩，则根据上述不等式，可估计分数不低于分的学生不超过　 　人
【答案】10
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：取，，所以或，
又因为，所以，即估计分数不低于100分的学生
不超过.
故答案为：10.
【分析】可令，由题意得出，再结合全体学生的成绩的期望，计算得出，求解即可.
14．（2024高二下·江阳期末）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，
因为函数在上存在单调递减区间，所以在上有解，
即在上有解，即在上有解，
令，则，，
，
当且仅当，即时等号成立，此时，，则，
即，则的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·江阳期末）已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列{ }的前n项和。
【答案】（1）解：设 的公比为q，由题设得
，即 .
解得 （舍去）或q=4.
因此 的通项公式为 .
（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。
16．（2024高二下·江阳期末）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分，，三大类，其中类有个项目，每项需花费小时，类有个项目，每项需花费小时，类有个项目，每项需花费小时．要求每位员工从中随机选择个项目，每个项目的选择机会均等．
（1）求小张在三类中各选个项目的概率；
（2）设小张所选个项目花费的总时间为小时，求的分布列．
【答案】（1）解：记事件为“在三类中各选个项目”，则，
故小张在三类中各选个项目的概率为．
（2）解：由题知的所有可能取值为，，，，，，
则，，
，，
，，
所以的分布列为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用古典概型概率公式求解即可；
（2）先分析可得X的可能取值，求出每个取值对应的概率，即可得的分布列.
17．（2024高二下·江阳期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：在正三棱柱中，取中点，过作，连接，
由平面，得平面，平面，则，，而，
即两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
有，于是，，
即，，而又平面，
所以平面．
（2）解：由知，平面，则是平面的法向量，
设平面的法向量，而，，
则，取，得，
则，设二面角的平面角为，
因此，
所以二面角的正弦值为．
（3）解：由知是平面的法向量，而向量，
所以点到平面的距离为．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断线面垂直即可；
（2）利用空间向量法求二面角的正弦值即可；
（3）利用空间向量法求点到面的距离即可.
18．（2024高二下·江阳期末）已知双曲线：，点为双曲线右支上一点，、为双曲线的左、右顶点，直线与轴交于点，点在轴正半轴上，点在轴上．
（1）若点，，过点作的垂线交该双曲线于，两点，求的面积；
（2）若点不与重合，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
；；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）解：由已知可得， ， ．
因为点 ，直线 的斜率为 ，
所以直线 的垂线 的方程为 ，
整理可得， ．
设点 ， ，
联立直线 与双曲线的方程 可得， ，
则 ，且 ，
所以， ．
原点 到直线 的距离为 ，
所以， 的面积为 ．
（2）解：如图，
为条件，为结论：
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 ．
又 ，所以点 的坐标为 ，
直线 的斜率为 ．
又 ，所以 ，
设点 ，
则直线 的斜率 ，
所以 ，
所以 ；
为条件，为结论：
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 ．
又 ，所以点 的坐标为 ，
又 ，点在轴正半轴上，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以， ；
为条件，为结论：
令点 ， ，且 ，不妨设 ．
因为 三点共线，
所以 ，且 ．
因为 ，点在轴正半轴上，所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，
所以， ，且 ，
所以， ，即 ．
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先根据已知，得出的方程，再联立与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标的关系，表示出弦长，最后根据面积公式求解即可；
（2）①②为条件，③为结论：易得.又，.然后根据直线的斜率可得出.设点，则，即可得出坐标；①③为条件，②为结论：易得，.又，即可的得出，，求解，整理即可得出证明；②③为条件，①为结论：易得，平方整理可得.根据，得.进而根据，即可求出，平方整理证明即可.
19．（2024高二下·江阳期末）已知函数．
（1）若，求的最大值；
（2）若，其中，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，则．
令，则，
在上单调递减．
又，
存在使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
有最大值．
另法：当时，，令，
则，其中，，
当时，单调递增；当时，单调递减，故，即的最大值为
（2）解：令，
由题意知的取值应满足函数有两个零点．
易得，
若，则，在上单调递增，
至多有一个零点，不符合题意，舍去；
若，则当时，单调递减；
当时，单调递增．
要使函数有两个零点，则
易知．
令，则，
令，则，
在上单调递增，
在上单调递减，
由知在和上各有一个零点，
则实数的取值范围为．
另法：令，
由题意知m的取值应满足函数有两个零点，
若，易知单调递增，不符合题意，舍去；
若，由知，，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增．
又，且时，，解得，
故实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）将代入对函数求导得，令，利用导数判断函数的单调性，从而求其最大值；
另法：当时，，令，则 ，利用导数判断函数的单调性，求得，即得的最值；
（2） 令，由题意知的取值应满足函数有两个零点，对求导，然后分、讨论函数的单调性， 要使函数有两个零点，则，即可求，易知．令，通过讨论单调性即可求得m的取值范围；
另法：令，由题意知m的取值应满足函数有两个零点，当易知单调递增，不符合题意，当时，，令，通过导数讨论单调性，从而求取实数的取值范围.
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