广东省深圳市科学2023-2024学年高中高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·深圳月考）已知复数满足是虚数单位，则( )
A． B． C． D．
2．（2024高二下·深圳月考） 若角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2024高二下·深圳月考）若数列满足，，且，则( )
A． B． C． D．
4．（2024高二下·深圳月考）若向量满足，，且，则在上的投影向量为( )
A． B． C． D．
5．（2024高二下·深圳月考） 在的展开式中，的系数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
6．（2024高二下·深圳月考） “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·深圳月考）若斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为( )
A． B． C． D．或
8．（2024高二下·深圳月考） 已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，为左支上一点，与的右支交于点中点为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·深圳月考） 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．是图像的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最小值为
10．（2024高二下·深圳月考） 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面
B．
C．直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离为1
11．（2024高二下·深圳月考） 已知数列的首项为，且，数列、数列数列的前项和分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·深圳月考） 已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为 ．
13．（2024高二下·深圳月考） 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，每天有且仅有一人值班，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出不同的值班表数为 ．
14．（2024高二下·深圳月考） 若函数有两个零点，则正整数的最小值为 ．（其中是自然对数的底数，参考数据：，）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·深圳月考）已知等差数列的各项均为正数，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求的通项公式及其前项和．
16．（2024高二下·深圳月考） 已知的内角的对边分别为，角的平分线交于点，且．
（1）求角；
（2）若的周长为15，求的长．
17．（2024高二下·深圳月考）如图所示，在三棱锥中，，，
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2024高二下·深圳月考）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交椭圆于，两点，，，三点不共线，且直线和直线关于对称．
(ⅰ)证明：直线过定点；
(ⅱ)求面积的最大值．
19．（2024高二下·深圳月考） 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为
（1）已知函数，
①求函数在点处的曲率的平方；
②求函数的曲率的最大值．
（2）函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再结合复数求模公式得出复数z的模.
2．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为角的终边经过点，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】由角的终边经过点求得，再利用同角三角函数基本关系化弦为切求值即可.
3．【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为数列满足，，且，
则
，所以数列的周期性为6，则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数列的递推公式和数列的周期性，进而得出数列第100项的值.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量满足，，且，
则，则，
所以，，则，
则在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值，再结合数量积求出在上的投影向量.
5．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
当取时，，解得，则，此时系数为；
当取时，，解得，则，此时系数为；
所以的系数为.
故答案为：B.
【分析】写出二项式展开式的通项，再分取和分别求，即可求得的系数.
6．【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：分别取线段、、、的中点，记为、、、，如图所示：
易知四边形为等腰梯形，设，因为，所以，
设棱台的高为，体积为，棱台的高为，体积为，
则，，
所以，又因为，所以，
故该“方斗”可盛米的总质量为112kg.
故答案为：D.
【分析】分别取线段、、、的中点，记为、、、，利用台体的体积公式计算棱台与棱台的体积之比，从而得出原“方斗”可盛米的总质量即可.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解： 因为斜率为的直线与曲线和圆都相切，
所以，设直线：，联立得出，
则，所以，，
因为，所以，，所以，，所以，，
又因为切点坐标为，所以，曲线的切线方程为，
当b=1时，则-1+a=1，则a=2；当b=-1时，则-1+a=-1，则a=0；
综上所述，实数的值为0或2.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直线与圆相切位置关系判断方法和判别式法得出直线的纵截距，再结合直线的斜截式方程得出直线方程，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，从而由点斜式方程得出切线方程，再根据分类讨论的方法得出实数a的值.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意可得：垂直平分，则，
由双曲线定义可得：，故，又因为，
所以，
因为是的中点，所以是的中位线，，
又因为，所以，所以，
在中，由余弦定理可得，化简得，
即，故．
故答案为：D.
【分析】由题意结合双曲线的定义可得，再由，可得，最后利用余弦定理化简即可求得双曲线的离心率.
9．【答案】A,B
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为的最小正周期为，所以，解得，故；
A、由函数的最小正周期为 ，即，解得，故A正确；
B、因为，所以是图象的一条对称轴，故B正确；
C、当时，则，又函数在上不单调，故C错误；
D、当时，则，所以，故D错误。
故答案为：AB.
【分析】根据已知条件可得函数，再结合三角函数的性质逐项分析判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、假设四点共面，连接，在正方体中，
平面平面，又平面平面，平面平面，所以，
又，则四边形为平行四边形，故，所以，与与不平行矛盾，
故四点不共面，故A错误；
B、以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，
因为，所以，则，故B正确；
C、由B选项可知，则，因为异面直线所成角的范围为，
所以直线与所成角的余弦值为，故C正确；
D、，则，
故点到直线的距离为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】假设四点共面，根据面面平行的性质定理推出矛盾即可判断A；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，利用空间向量的数量积、空间角的向量求法以及空间距离的向量求法求解即可判断BCD.
11．【答案】B,C,D
【知识点】数列的求和；等比数列的性质；数列的递推公式；数列与不等式的综合；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列满足，两边同时除以，可得，
即，故数列是首项为4，公比为4的等比数列，
所以，即；
A、因为，所以，故A错误；
B、，则，故B正确；
C、因为，
所以，故C正确；
D、因为，则，
错位相减得，
则成立，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】将已知式子变形得数列是首项为4，公比为4的等比数列，求出其通项公式；计算出，即可判断A；分组求和得到即可判断B；，分组求和即可判断C；利用错位相减法并进行放缩即可判断D.
12．【答案】11
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，抛物线的准线为，
分别过点作，垂足为，则，如图所示：
则，当A，P，M三点共线时取等号，
所以周长为.
故答案为：11.
【分析】由题意，结合抛物线的定义求得，即可求周长的最小值.
13．【答案】42
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：当甲排在周六时，有种排法；
当甲不排在周六时，有种排法，
由分类加法计数原理可知，不同的值班表数为种.
故答案为：42.
【分析】根据题意，分甲排在周六与甲不排在周六计算，再由分类加法计数原理计算即可.
14．【答案】18
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，则，
令，求导可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，且恒成立，且，
作出的大致图象，如图所示：
要使有两个零点，则的图象有两个交点，所以或，由于，
故正整数的最小值18.
故答案为：18.
【分析】将问题转化为有两个交点，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性，作出图象，数形结合即可求解.
15．【答案】（1）解： 设的公差为，，，
，
解得，
．
（2）解： 由得，，
，
．
，
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等差数列的通项公式得出公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用数列满足，和数列的通项公式以及递推公式，从而由累乘法得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和．
16．【答案】（1）解：由题意，根据正弦定理得，即，
利用余弦定理可知，
因为中，所以.
（2）解：因为，所以，
在中，由余弦定理可得：，解得，
因为在中，有，
又因为为角的平分线，所以，
所以，即，
解得．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，化角为边，再利用余弦定理求解即可；
（2）在中，利用余弦定理解得，再根据和三角形的面积公式列式求解即可.
17．【答案】（1）证明：因为，所以，
同理可得，故BC，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
故平面平面；
（2）解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，
过作平面，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
因为，
则，，，，，
所以，，．
设为平面的法向量，
则，即，
令，得，
，
，，
可得，，
设直线与平面所成的角为，，
则，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合勾股定理证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，从而由线面垂直证出面面垂直.
(2)以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过作平面，建立空间直角坐标系，再利用向量共线的坐标表示得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，再利用数量积的坐标表示和已知条件以及向量的模的坐标表示，进而由数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的余弦值，再结合直线与平面所成的角的取值范围和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值.
18．【答案】（1）解：因为垂直于轴且，所以，
所以，
将点代入椭圆方程有，，
解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：由题意知，直线的斜率不可能为，设其方程为，，，
联立，整理得，
所以，即，
且，，
由直线和直线关于对称，知，
所以，
所以，
即恒成立，
因为不是恒成立，所以，即，此时直线的方程为，恒过定点，得证．
(ⅱ)解：由可得，直线的方程为，，，，
所以点到直线的距离为，
，
所以面积，
令，则，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以面积的最大值为．
【知识点】基本不等式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用垂直于轴且得出c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和代入法以及椭圆的标准方程，进而建立方程组得出a，b的值，从而得出椭圆的标准方程.
(2)由题意知，直线的斜率不可能为，设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆的方程和判别式法以及韦达定理，从而由两点求斜率公式和不是恒成立，进而得出m 的值，从而得出此时直线的方程为，进而证出直线l恒过定点.
(ⅱ)由可得，直线的方程为，，，再结合判别式法和点到直线的距离公式得出点到直线的距离，再利用两点距离公式和韦达定理以及三角形的面积公式得出三角形面积为，令，则，再结合均值不等式求最值的方法得出三角形面积的最大值．
19．【答案】（1）解：，求导可得，，
①由题意，，所以
②由定义知为非负数，由题意得
，，
所以，令，
所以，令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，即，
所以，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为．
（2）解：因为，
所以，
所以，
因为在两个不同的点处曲率为0，
有两个大于0的实数解，
有两个大于0的实数解．
令，
所以在上单调递增，且值域为，
所以有两个大于0的实数解有两个实数解．
令，则，
令得，时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
所以，
又因为时，；时，；
图象如下图所示：
因为有两个实数解，所以．
所以的取值范围为．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求导可得，，①：代入得，结合曲率公式即可求解；②：先得曲率表达式，再利用换元法，构造函数求导利用导数判断函数的单调性求最值即可；
（2）通过计算得，从而在两个不同的点处曲率为0，等价于有两个大于0的实数解，再证明在上单调递增，将原问题等价于有两个实数解，利用导数研究函数零点求解即可．
1 / 1广东省深圳市科学2023-2024学年高中高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·深圳月考）已知复数满足是虚数单位，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再结合复数求模公式得出复数z的模.
2．（2024高二下·深圳月考） 若角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为角的终边经过点，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】由角的终边经过点求得，再利用同角三角函数基本关系化弦为切求值即可.
3．（2024高二下·深圳月考）若数列满足，，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为数列满足，，且，
则
，所以数列的周期性为6，则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数列的递推公式和数列的周期性，进而得出数列第100项的值.
4．（2024高二下·深圳月考）若向量满足，，且，则在上的投影向量为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量满足，，且，
则，则，
所以，，则，
则在上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值，再结合数量积求出在上的投影向量.
5．（2024高二下·深圳月考） 在的展开式中，的系数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
当取时，，解得，则，此时系数为；
当取时，，解得，则，此时系数为；
所以的系数为.
故答案为：B.
【分析】写出二项式展开式的通项，再分取和分别求，即可求得的系数.
6．（2024高二下·深圳月考） “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：分别取线段、、、的中点，记为、、、，如图所示：
易知四边形为等腰梯形，设，因为，所以，
设棱台的高为，体积为，棱台的高为，体积为，
则，，
所以，又因为，所以，
故该“方斗”可盛米的总质量为112kg.
故答案为：D.
【分析】分别取线段、、、的中点，记为、、、，利用台体的体积公式计算棱台与棱台的体积之比，从而得出原“方斗”可盛米的总质量即可.
7．（2024高二下·深圳月考）若斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为( )
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程
【解析】【解答】解： 因为斜率为的直线与曲线和圆都相切，
所以，设直线：，联立得出，
则，所以，，
因为，所以，，所以，，所以，，
又因为切点坐标为，所以，曲线的切线方程为，
当b=1时，则-1+a=1，则a=2；当b=-1时，则-1+a=-1，则a=0；
综上所述，实数的值为0或2.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直线与圆相切位置关系判断方法和判别式法得出直线的纵截距，再结合直线的斜截式方程得出直线方程，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，从而由点斜式方程得出切线方程，再根据分类讨论的方法得出实数a的值.
8．（2024高二下·深圳月考） 已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，为左支上一点，与的右支交于点中点为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意可得：垂直平分，则，
由双曲线定义可得：，故，又因为，
所以，
因为是的中点，所以是的中位线，，
又因为，所以，所以，
在中，由余弦定理可得，化简得，
即，故．
故答案为：D.
【分析】由题意结合双曲线的定义可得，再由，可得，最后利用余弦定理化简即可求得双曲线的离心率.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·深圳月考） 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．是图像的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最小值为
【答案】A,B
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为的最小正周期为，所以，解得，故；
A、由函数的最小正周期为 ，即，解得，故A正确；
B、因为，所以是图象的一条对称轴，故B正确；
C、当时，则，又函数在上不单调，故C错误；
D、当时，则，所以，故D错误。
故答案为：AB.
【分析】根据已知条件可得函数，再结合三角函数的性质逐项分析判断即可.
10．（2024高二下·深圳月考） 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面
B．
C．直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离为1
【答案】B,C,D
【知识点】平面与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、假设四点共面，连接，在正方体中，
平面平面，又平面平面，平面平面，所以，
又，则四边形为平行四边形，故，所以，与与不平行矛盾，
故四点不共面，故A错误；
B、以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，
因为，所以，则，故B正确；
C、由B选项可知，则，因为异面直线所成角的范围为，
所以直线与所成角的余弦值为，故C正确；
D、，则，
故点到直线的距离为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】假设四点共面，根据面面平行的性质定理推出矛盾即可判断A；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，利用空间向量的数量积、空间角的向量求法以及空间距离的向量求法求解即可判断BCD.
11．（2024高二下·深圳月考） 已知数列的首项为，且，数列、数列数列的前项和分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】数列的求和；等比数列的性质；数列的递推公式；数列与不等式的综合；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列满足，两边同时除以，可得，
即，故数列是首项为4，公比为4的等比数列，
所以，即；
A、因为，所以，故A错误；
B、，则，故B正确；
C、因为，
所以，故C正确；
D、因为，则，
错位相减得，
则成立，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】将已知式子变形得数列是首项为4，公比为4的等比数列，求出其通项公式；计算出，即可判断A；分组求和得到即可判断B；，分组求和即可判断C；利用错位相减法并进行放缩即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·深圳月考） 已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为 ．
【答案】11
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，抛物线的准线为，
分别过点作，垂足为，则，如图所示：
则，当A，P，M三点共线时取等号，
所以周长为.
故答案为：11.
【分析】由题意，结合抛物线的定义求得，即可求周长的最小值.
13．（2024高二下·深圳月考） 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，每天有且仅有一人值班，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出不同的值班表数为 ．
【答案】42
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：当甲排在周六时，有种排法；
当甲不排在周六时，有种排法，
由分类加法计数原理可知，不同的值班表数为种.
故答案为：42.
【分析】根据题意，分甲排在周六与甲不排在周六计算，再由分类加法计数原理计算即可.
14．（2024高二下·深圳月考） 若函数有两个零点，则正整数的最小值为 ．（其中是自然对数的底数，参考数据：，）
【答案】18
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，则，
令，求导可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，且恒成立，且，
作出的大致图象，如图所示：
要使有两个零点，则的图象有两个交点，所以或，由于，
故正整数的最小值18.
故答案为：18.
【分析】将问题转化为有两个交点，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性，作出图象，数形结合即可求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·深圳月考）已知等差数列的各项均为正数，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求的通项公式及其前项和．
【答案】（1）解： 设的公差为，，，
，
解得，
．
（2）解： 由得，，
，
．
，
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等差数列的通项公式得出公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用数列满足，和数列的通项公式以及递推公式，从而由累乘法得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和．
16．（2024高二下·深圳月考） 已知的内角的对边分别为，角的平分线交于点，且．
（1）求角；
（2）若的周长为15，求的长．
【答案】（1）解：由题意，根据正弦定理得，即，
利用余弦定理可知，
因为中，所以.
（2）解：因为，所以，
在中，由余弦定理可得：，解得，
因为在中，有，
又因为为角的平分线，所以，
所以，即，
解得．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，化角为边，再利用余弦定理求解即可；
（2）在中，利用余弦定理解得，再根据和三角形的面积公式列式求解即可.
17．（2024高二下·深圳月考）如图所示，在三棱锥中，，，
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为，所以，
同理可得，故BC，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
故平面平面；
（2）解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，
过作平面，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
因为，
则，，，，，
所以，，．
设为平面的法向量，
则，即，
令，得，
，
，，
可得，，
设直线与平面所成的角为，，
则，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合勾股定理证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，从而由线面垂直证出面面垂直.
(2)以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过作平面，建立空间直角坐标系，再利用向量共线的坐标表示得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量，再利用数量积的坐标表示和已知条件以及向量的模的坐标表示，进而由数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的余弦值，再结合直线与平面所成的角的取值范围和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值.
18．（2024高二下·深圳月考）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交椭圆于，两点，，，三点不共线，且直线和直线关于对称．
(ⅰ)证明：直线过定点；
(ⅱ)求面积的最大值．
【答案】（1）解：因为垂直于轴且，所以，
所以，
将点代入椭圆方程有，，
解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：由题意知，直线的斜率不可能为，设其方程为，，，
联立，整理得，
所以，即，
且，，
由直线和直线关于对称，知，
所以，
所以，
即恒成立，
因为不是恒成立，所以，即，此时直线的方程为，恒过定点，得证．
(ⅱ)解：由可得，直线的方程为，，，，
所以点到直线的距离为，
，
所以面积，
令，则，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以面积的最大值为．
【知识点】基本不等式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用垂直于轴且得出c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和代入法以及椭圆的标准方程，进而建立方程组得出a，b的值，从而得出椭圆的标准方程.
(2)由题意知，直线的斜率不可能为，设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆的方程和判别式法以及韦达定理，从而由两点求斜率公式和不是恒成立，进而得出m 的值，从而得出此时直线的方程为，进而证出直线l恒过定点.
(ⅱ)由可得，直线的方程为，，，再结合判别式法和点到直线的距离公式得出点到直线的距离，再利用两点距离公式和韦达定理以及三角形的面积公式得出三角形面积为，令，则，再结合均值不等式求最值的方法得出三角形面积的最大值．
19．（2024高二下·深圳月考） 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为
（1）已知函数，
①求函数在点处的曲率的平方；
②求函数的曲率的最大值．
（2）函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，求导可得，，
①由题意，，所以
②由定义知为非负数，由题意得
，，
所以，令，
所以，令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，即，
所以，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为．
（2）解：因为，
所以，
所以，
因为在两个不同的点处曲率为0，
有两个大于0的实数解，
有两个大于0的实数解．
令，
所以在上单调递增，且值域为，
所以有两个大于0的实数解有两个实数解．
令，则，
令得，时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
所以，
又因为时，；时，；
图象如下图所示：
因为有两个实数解，所以．
所以的取值范围为．
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对函数求导可得，，①：代入得，结合曲率公式即可求解；②：先得曲率表达式，再利用换元法，构造函数求导利用导数判断函数的单调性求最值即可；
（2）通过计算得，从而在两个不同的点处曲率为0，等价于有两个大于0的实数解，再证明在上单调递增，将原问题等价于有两个实数解，利用导数研究函数零点求解即可．
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