新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量x，z由观测数据得散点图2.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，x与z正相关 B．变量x与y负相关，x与z正相关
C．变量x与y负相关，x与z负相关 D．变量x与y正相关，x与z负相关
2．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为 若价格定为1.9万元，则预测需求量大约为( )
A．6.25t B．5t C．4.65 t D．3.25 t
3．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知 的展开式的二项式系数的和为64，则展开式中二项式系数最大的项为 ( )
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
4．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知随机变量 X~N(2，σ2)，P(X≤0)=0.4， 则P(X<4)=( )
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6
5．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为 ( )
A．81种 B．64种 C．24种 D．12种
6．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）根据下表中的数据可以得到经验回归方程 则实数m，n应满足( )
x 3 m 5 6
y 2.5 3 4 n
A．n-0.7m=1.7 B．n-0.7m=1.5 C．n+0.7m=1.7 D．n+0.7m=1.5
8．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）下列说法中，正确的是( )
A．已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.7，则其成功的概率为0.3
B．已知数据x1，x2，……的平均数为2，方差为3，那么数据 …的平均数和方差分别为5，13
C．在经验回归方程. 中，相对于样本点(2，1.2)的残差为-0.8
D．样本相关系数r∈(-1，1)
9．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）设a为实数，若函数. 在x=1处取得极小值，则a=( )
A．1 B．-1 C．0 D．
10．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）在 的展开式中，x3项的系数为( )
A．252 B．210 C．126 D．120
11．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知离散型随机变量X 服从二项分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，则 的最小值为( )
A．2 B． C． D．4
12．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）设对于曲线 上任一点处的切线l1，总存在曲线y=g(x)=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l. l1⊥l2，则实数a的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数，求得数值依次为0.57，-0.93，0.89，则这三组数据中，线性相关性最强的是 组数据.
14．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知函数 则a的值为 .
15．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）随机变量ξ的分布列如下表所示，且m+3n=1.6，则E(ξ)的值为 .
ξ 0 1 2 3
p 0.1 m n 0.1
16．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）有11名演员，其中9人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌、2人伴舞的节目，则不同的选派方法共有 种(写出具体数字结果).
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知函数
（1）求f(x)在x=0处的切线方程；
（2）求f(x)的单调区间和极值.
18．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）（1）求的值；
（2）若等式成立，求正整数的值.
19．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知 的展开式中，所有项的系数之和是220.
（1）求展开式中的有理项有几项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项.
20．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）为弘扬五四爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一个有关历史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率是 .甲、丙两人都回答正确的概率是. 乙、丙两人都回答正确的概率是 .
（1）若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率；
（2）若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 求这个问题被回答正确的概率.
21．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取本校 30名高中学生进行问卷调查，其中感兴趣的人数占70%.
附 其中
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值( 的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关；
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12
女生 5
合计 30
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
22．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知函数.
（1）已知直线l过点( 且直线l与曲线 )在x=-1处的切线方程平行，求直线l的方程；
（2）证明：
（3）若函数 )有且只有两个零点，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】变量相关关系；散点图
【解析】【解答】解：由图1可知，y随x增大整体呈现下降趋势，即x与y负相关；同理，x与z正相关.
故选：B.
【分析】由两个变量的相关关系结合散点图整体趋势判断即可.
2．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：令x=1.9代入回归方程
∴此时预测需求量大约为6.25t，
故选：A.
【分析】根据经验回归方程代入计算大约需求量y即可.
3．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：∵ 二项式系数的和为64，
∴，
由n>0，解得n=6，
此时，
由二项式系数的对称性分析，其最大的项为第四项，即；
故选：C.
【分析】由二项式系数和求出指数n，根据二项式系数对称性分析其系数最大项即可.
4．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由 随机变量 X~N(2，σ2)，
∴该正态分布曲线的对称轴为x=2，
∵ P(X≤0)=0.4，
∴ P(X≥4)=0.4，
∴ P(X<4)= 1-P(X≥4)=0.6.
故选：D.
【分析】结合正态分布曲线对称性分析求出其概率即可.
5．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：依题意，3个旅游爱好者均有4种不同选择，
故不同的选择方法有=4×4×4=64（种）
故选：B.
【分析】结合分步乘法计数原理即可得出3个旅游爱好者的所有选择方案.
6．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
令，则，．
故答案为：C
【分析】先求出导函数，求导的时候应注意是个常数，求导之后再令，可列出方程，解方程可求出的值.
7．【答案】A
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：∵，，
代入经验回归方程可得：
整理得 n-0.7m=1.7 ，
故选：A.
【分析】由经验回归方程分析，其过点，根据表格计算平均数并代入整理即可.
8．【答案】C
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A，因为 随机变量X服从两点分布， 设其成功的概率为p，
则有，
∴成功的概率为0.7，故A错误，不符合题意；
对于B，由，，故B错误，不符合题意；
对于C，残差，故C正确，符合题意；
对于D， 样本相关系数r∈[-1，1]，故D错误，不符合题意.
故选：C.
【分析】由两点分布的性质计算其成功概率判断A；由平均数及方差的性质判断B；由残差定义及计算公式判断C；由样本相关系数取值范围判断D.
9．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵在x=1处取得极小值 ，
∴，解得a=，
故选：D.
【分析】由极值与导函数的关系，故而通过对原函数求导代入即可建立等量关系解出a.
10．【答案】B
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：依题意，的展开通项为：，
其中含 x3项，其n≥3，r=3，
当n=3时，含 x3项，，其系数为；
当n=4时，含 x3项，，其系数为；
当n=5时，含 x3项，，其系数为；
当n=6时，含 x3项，，其系数为；
当n=7时，含 x3项，，其系数为；
当n=8时，含 x3项，，其系数为；
当n=9时，含 x3项，，其系数为；
∴含 x3项的系数和=1+4+10+20+35+56+84=210
故选：B.
【分析】由形态一致的多项式展开式分析其通项，逐一求出含 x3项的系数并加和计算即可.
11．【答案】C
【知识点】基本不等式；二项分布
【解析】【解答】解：∵ 离散型随机变量X 服从二项分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，
∴E(X)=np=4，D(X)=np(1-p)=q，
∴q+4p=4，即，
∴；
故选：C.
【分析】由二项分布的性质可列出期望与方差的等量关系，后整理利用基本不等式构造求出最小值即可.
12．【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；利用导数研究曲线上某点切线方程；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：∵， g(x)=3ax+2cosx ，
∴，g'(x)=3a-2sinx，
设曲线切线上l1与l2的两点分别为，
此时切线l1斜率，切线l2斜率，
∴，，
∴
又∵l1⊥l2，
∴，
即，
依题意，可得，即，
∴，解得a的取值范围是.
故选：B.
【分析】由导数分析函数切线，由切线的关系得出导数与切线斜率关系，进而利用存在性问题分别分析函数值域问题得出不等关系解之即可.
13．【答案】乙
【知识点】线性相关
【解析】【解答】解：∵，
∴乙组线性相关最强.
【分析】由线性相关数值绝对值大小比较，绝对值越大其相关线越强.
14．【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴解得：a=1，
故填：1.
【分析】利用导函数求导法则对原函数求导得出其导函数代入即可得出a的值.
15．【答案】1.5
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：依题意，解得.
∴E(ξ) =0×0.1+1×0.4+2×0.4+3×0.1=1.5
【分析】由概率加和为1进一步结合已知条件解方程组得出m，n的值，代入公式计算数学期望即可.
16．【答案】267
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：依题意，在11名演员中，既会唱歌又会跳舞的人数为(9+5)-11=3(人)，
故仅会唱歌的人数为：6人，仅会跳舞的人数为：2人.
①若选派仅会跳舞人数为2人，此时选派方式=(种)；
②若选派仅会跳舞人数为1人，此时选派方式=(种)；
③若选派仅会跳舞人数为0人，此时选派方式=(种)；
由分类加法计数原理可知，总的选派方式有=36+168+63=267(种)
故填：267.
【分析】根据题意，需将既会唱歌又会跳舞的人数推理计算出，后结合分步乘法和分类加法计数原理选人即可.
17．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
即 f(x)在x=0处的切线斜率k=，切点，
∴切线方程为，即.
（2）解：由（1）得，，
令，即，解得，
若，则，此时 f(x) 在该区间上单调递增，
若，则，此时 f(x) 在该区间上单调递减，
∴当x=-2时，函数 f(x) 取得极大值；当x=5时，函数 f(x) 取得极小值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用切线方程与导数的关系求导得出其切点处的斜率，后代入切点即可得出切线方程；
（2）结合（1）中的导数进行分析，即解方程得出其极值，解不等式得出其单调区间，借助单调性进一步分析极大值或极小值.
18．【答案】（1）解：
（2）解：，则，
因为，所以，
解得或（舍），故.
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）利用组合数的性质计算化简即可；
（2）利用已知式子列式子，求解即可.
19．【答案】（1）解：令x=1，
∴，即，解得n=10，
∴的通项为，
为满足展开式中的有理项，
∴，
∴r=0，3，6，9，
∴展开式中的有理项有4项.
（2）解：由（1），
∴系数绝对值=，
设r+1项的系数最大，
∴，解得，
∵r∈z，
∴r=1，
∴ 展开式中系数绝对值最大的项是第2项.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）由所有项系数和结合赋值法，即x=1，进而得出等量关系求出n，进而对二项式通项进行分析得出符合题意的有理式即可；
（2）在通项的基础上，为进一步分析系数的最大值，为推理第(r+1)项最值，对高次函数进行不等式估算，即选出第r项和(r-1)项，从而列出不等式得出r的取值范围分析整数r的值即可.
20．【答案】（1）解：设乙、丙同学回答正确的概率分别是，
依题意：，解得：，
同理，解得：，
∴三名同学都回答正确的概率=.
（2）解：设事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，
∴，
记该题被答对的事件为B，
依题意
∴.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式
【解析】【分析】（1）由独立事件概率乘法公式计算可计算目标正确概率；
（2）由全概率公式对事件进行表示，代入公式并计算即可.
21．【答案】（1）解：∵ 学校随机抽取本校 30名高中学生进行问卷调查，其中感兴趣的人数占70%，
∴感兴趣的人数=30×70%=21（人），
∴表格如下
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12 4 16
女生 9 5 14
合计 21 9 30
∴
根据表格数据分析，小概率值 α =0.10的的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此认为成立，即认为
学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.
（2）解：由（1）可知， 感兴趣的女生 有9名， 恰有4名是高三学生， 故有5名是非高三学生，
依题意X的可能情况分别是0，1，2，3.且X服从超几何分布，
即，
，
，
，
即
X 0 1 2 3
P
∴数学期望.
【知识点】独立性检验的应用；超几何分布的应用
【解析】【分析】（1）由独立性检验计算并依据表格数据分析得出结论；
（2）根据超几何分布得出分布列并代入公式计算其概率，直接利用公式求得数学期望即可.
22．【答案】（1）解：∵
∴
∴
又∵ 直线l 与曲线 )在x=-1处的切线方程平行，
∴直线l的斜率k=
又∵ 直线l过点(
∴ 直线l的方程为y-5=x+1，即x-y+6=0.
（2）解：设，
∴，
令，即，解得x=0，
若，则x>0，此时函数g(x)单调递增；
若，则x<0，此时函数g(x)单调递减；
故函数g(x)在x=0处取得最小值，，
∴，即，
∴，证毕.
（3）解：依题意，
令h(x)=0，即，
∴h(x)有两个零点，即方程有两个解，
∴，
令，
∴，
令，解得，此时函数m(x)在该区间上单调递增；
令，解得，此时函数m(x)在该区间上单调递减；
当x=e-2时，，此时函数m(x)取得极大值；
，
又∵当x趋近于+∞时，m(x)趋近于0；当x趋近于-2时，m(x)趋近于-∞，
为使得函数y=a与函数m(x)有两个交点，
∴.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）对原函数求导即可得出切点处斜率，进而求出平行直线l的切线方程；
（2）构造函数，利用求导分析该函数，只需求出此时函数的最小值大于等于0，即可得证
（3）为求得函数h(x)由两个零点，分离变量为，从而构造函数，利用求导分析该函数的值域范围，转化为常数函数y=a与函数m(x)有两个交点，即可得出a的取值范围.
1 / 1新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量x，z由观测数据得散点图2.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，x与z正相关 B．变量x与y负相关，x与z正相关
C．变量x与y负相关，x与z负相关 D．变量x与y正相关，x与z负相关
【答案】B
【知识点】变量相关关系；散点图
【解析】【解答】解：由图1可知，y随x增大整体呈现下降趋势，即x与y负相关；同理，x与z正相关.
故选：B.
【分析】由两个变量的相关关系结合散点图整体趋势判断即可.
2．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为 若价格定为1.9万元，则预测需求量大约为( )
A．6.25t B．5t C．4.65 t D．3.25 t
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：令x=1.9代入回归方程
∴此时预测需求量大约为6.25t，
故选：A.
【分析】根据经验回归方程代入计算大约需求量y即可.
3．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知 的展开式的二项式系数的和为64，则展开式中二项式系数最大的项为 ( )
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：∵ 二项式系数的和为64，
∴，
由n>0，解得n=6，
此时，
由二项式系数的对称性分析，其最大的项为第四项，即；
故选：C.
【分析】由二项式系数和求出指数n，根据二项式系数对称性分析其系数最大项即可.
4．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知随机变量 X~N(2，σ2)，P(X≤0)=0.4， 则P(X<4)=( )
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由 随机变量 X~N(2，σ2)，
∴该正态分布曲线的对称轴为x=2，
∵ P(X≤0)=0.4，
∴ P(X≥4)=0.4，
∴ P(X<4)= 1-P(X≥4)=0.6.
故选：D.
【分析】结合正态分布曲线对称性分析求出其概率即可.
5．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为 ( )
A．81种 B．64种 C．24种 D．12种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：依题意，3个旅游爱好者均有4种不同选择，
故不同的选择方法有=4×4×4=64（种）
故选：B.
【分析】结合分步乘法计数原理即可得出3个旅游爱好者的所有选择方案.
6．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
令，则，．
故答案为：C
【分析】先求出导函数，求导的时候应注意是个常数，求导之后再令，可列出方程，解方程可求出的值.
7．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）根据下表中的数据可以得到经验回归方程 则实数m，n应满足( )
x 3 m 5 6
y 2.5 3 4 n
A．n-0.7m=1.7 B．n-0.7m=1.5 C．n+0.7m=1.7 D．n+0.7m=1.5
【答案】A
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：∵，，
代入经验回归方程可得：
整理得 n-0.7m=1.7 ，
故选：A.
【分析】由经验回归方程分析，其过点，根据表格计算平均数并代入整理即可.
8．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）下列说法中，正确的是( )
A．已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.7，则其成功的概率为0.3
B．已知数据x1，x2，……的平均数为2，方差为3，那么数据 …的平均数和方差分别为5，13
C．在经验回归方程. 中，相对于样本点(2，1.2)的残差为-0.8
D．样本相关系数r∈(-1，1)
【答案】C
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A，因为 随机变量X服从两点分布， 设其成功的概率为p，
则有，
∴成功的概率为0.7，故A错误，不符合题意；
对于B，由，，故B错误，不符合题意；
对于C，残差，故C正确，符合题意；
对于D， 样本相关系数r∈[-1，1]，故D错误，不符合题意.
故选：C.
【分析】由两点分布的性质计算其成功概率判断A；由平均数及方差的性质判断B；由残差定义及计算公式判断C；由样本相关系数取值范围判断D.
9．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）设a为实数，若函数. 在x=1处取得极小值，则a=( )
A．1 B．-1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵在x=1处取得极小值 ，
∴，解得a=，
故选：D.
【分析】由极值与导函数的关系，故而通过对原函数求导代入即可建立等量关系解出a.
10．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）在 的展开式中，x3项的系数为( )
A．252 B．210 C．126 D．120
【答案】B
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：依题意，的展开通项为：，
其中含 x3项，其n≥3，r=3，
当n=3时，含 x3项，，其系数为；
当n=4时，含 x3项，，其系数为；
当n=5时，含 x3项，，其系数为；
当n=6时，含 x3项，，其系数为；
当n=7时，含 x3项，，其系数为；
当n=8时，含 x3项，，其系数为；
当n=9时，含 x3项，，其系数为；
∴含 x3项的系数和=1+4+10+20+35+56+84=210
故选：B.
【分析】由形态一致的多项式展开式分析其通项，逐一求出含 x3项的系数并加和计算即可.
11．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知离散型随机变量X 服从二项分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，则 的最小值为( )
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】基本不等式；二项分布
【解析】【解答】解：∵ 离散型随机变量X 服从二项分布X~B(n，p)，且E(X)=4，D(X)=q，
∴E(X)=np=4，D(X)=np(1-p)=q，
∴q+4p=4，即，
∴；
故选：C.
【分析】由二项分布的性质可列出期望与方差的等量关系，后整理利用基本不等式构造求出最小值即可.
12．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）设对于曲线 上任一点处的切线l1，总存在曲线y=g(x)=3ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l. l1⊥l2，则实数a的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；利用导数研究曲线上某点切线方程；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：∵， g(x)=3ax+2cosx ，
∴，g'(x)=3a-2sinx，
设曲线切线上l1与l2的两点分别为，
此时切线l1斜率，切线l2斜率，
∴，，
∴
又∵l1⊥l2，
∴，
即，
依题意，可得，即，
∴，解得a的取值范围是.
故选：B.
【分析】由导数分析函数切线，由切线的关系得出导数与切线斜率关系，进而利用存在性问题分别分析函数值域问题得出不等关系解之即可.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数，求得数值依次为0.57，-0.93，0.89，则这三组数据中，线性相关性最强的是 组数据.
【答案】乙
【知识点】线性相关
【解析】【解答】解：∵，
∴乙组线性相关最强.
【分析】由线性相关数值绝对值大小比较，绝对值越大其相关线越强.
14．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知函数 则a的值为 .
【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴解得：a=1，
故填：1.
【分析】利用导函数求导法则对原函数求导得出其导函数代入即可得出a的值.
15．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）随机变量ξ的分布列如下表所示，且m+3n=1.6，则E(ξ)的值为 .
ξ 0 1 2 3
p 0.1 m n 0.1
【答案】1.5
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：依题意，解得.
∴E(ξ) =0×0.1+1×0.4+2×0.4+3×0.1=1.5
【分析】由概率加和为1进一步结合已知条件解方程组得出m，n的值，代入公式计算数学期望即可.
16．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）有11名演员，其中9人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌、2人伴舞的节目，则不同的选派方法共有 种(写出具体数字结果).
【答案】267
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：依题意，在11名演员中，既会唱歌又会跳舞的人数为(9+5)-11=3(人)，
故仅会唱歌的人数为：6人，仅会跳舞的人数为：2人.
①若选派仅会跳舞人数为2人，此时选派方式=(种)；
②若选派仅会跳舞人数为1人，此时选派方式=(种)；
③若选派仅会跳舞人数为0人，此时选派方式=(种)；
由分类加法计数原理可知，总的选派方式有=36+168+63=267(种)
故填：267.
【分析】根据题意，需将既会唱歌又会跳舞的人数推理计算出，后结合分步乘法和分类加法计数原理选人即可.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知函数
（1）求f(x)在x=0处的切线方程；
（2）求f(x)的单调区间和极值.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
即 f(x)在x=0处的切线斜率k=，切点，
∴切线方程为，即.
（2）解：由（1）得，，
令，即，解得，
若，则，此时 f(x) 在该区间上单调递增，
若，则，此时 f(x) 在该区间上单调递减，
∴当x=-2时，函数 f(x) 取得极大值；当x=5时，函数 f(x) 取得极小值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用切线方程与导数的关系求导得出其切点处的斜率，后代入切点即可得出切线方程；
（2）结合（1）中的导数进行分析，即解方程得出其极值，解不等式得出其单调区间，借助单调性进一步分析极大值或极小值.
18．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）（1）求的值；
（2）若等式成立，求正整数的值.
【答案】（1）解：
（2）解：，则，
因为，所以，
解得或（舍），故.
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）利用组合数的性质计算化简即可；
（2）利用已知式子列式子，求解即可.
19．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知 的展开式中，所有项的系数之和是220.
（1）求展开式中的有理项有几项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项.
【答案】（1）解：令x=1，
∴，即，解得n=10，
∴的通项为，
为满足展开式中的有理项，
∴，
∴r=0，3，6，9，
∴展开式中的有理项有4项.
（2）解：由（1），
∴系数绝对值=，
设r+1项的系数最大，
∴，解得，
∵r∈z，
∴r=1，
∴ 展开式中系数绝对值最大的项是第2项.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）由所有项系数和结合赋值法，即x=1，进而得出等量关系求出n，进而对二项式通项进行分析得出符合题意的有理式即可；
（2）在通项的基础上，为进一步分析系数的最大值，为推理第(r+1)项最值，对高次函数进行不等式估算，即选出第r项和(r-1)项，从而列出不等式得出r的取值范围分析整数r的值即可.
20．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）为弘扬五四爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一个有关历史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率是 .甲、丙两人都回答正确的概率是. 乙、丙两人都回答正确的概率是 .
（1）若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率；
（2）若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 求这个问题被回答正确的概率.
【答案】（1）解：设乙、丙同学回答正确的概率分别是，
依题意：，解得：，
同理，解得：，
∴三名同学都回答正确的概率=.
（2）解：设事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，
∴，
记该题被答对的事件为B，
依题意
∴.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式
【解析】【分析】（1）由独立事件概率乘法公式计算可计算目标正确概率；
（2）由全概率公式对事件进行表示，代入公式并计算即可.
21．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取本校 30名高中学生进行问卷调查，其中感兴趣的人数占70%.
附 其中
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值( 的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关；
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12
女生 5
合计 30
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：∵ 学校随机抽取本校 30名高中学生进行问卷调查，其中感兴趣的人数占70%，
∴感兴趣的人数=30×70%=21（人），
∴表格如下
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12 4 16
女生 9 5 14
合计 21 9 30
∴
根据表格数据分析，小概率值 α =0.10的的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此认为成立，即认为
学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.
（2）解：由（1）可知， 感兴趣的女生 有9名， 恰有4名是高三学生， 故有5名是非高三学生，
依题意X的可能情况分别是0，1，2，3.且X服从超几何分布，
即，
，
，
，
即
X 0 1 2 3
P
∴数学期望.
【知识点】独立性检验的应用；超几何分布的应用
【解析】【分析】（1）由独立性检验计算并依据表格数据分析得出结论；
（2）根据超几何分布得出分布列并代入公式计算其概率，直接利用公式求得数学期望即可.
22．（2024高二下·巴音郭楞蒙古期末）已知函数.
（1）已知直线l过点( 且直线l与曲线 )在x=-1处的切线方程平行，求直线l的方程；
（2）证明：
（3）若函数 )有且只有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）解：∵
∴
∴
又∵ 直线l 与曲线 )在x=-1处的切线方程平行，
∴直线l的斜率k=
又∵ 直线l过点(
∴ 直线l的方程为y-5=x+1，即x-y+6=0.
（2）解：设，
∴，
令，即，解得x=0，
若，则x>0，此时函数g(x)单调递增；
若，则x<0，此时函数g(x)单调递减；
故函数g(x)在x=0处取得最小值，，
∴，即，
∴，证毕.
（3）解：依题意，
令h(x)=0，即，
∴h(x)有两个零点，即方程有两个解，
∴，
令，
∴，
令，解得，此时函数m(x)在该区间上单调递增；
令，解得，此时函数m(x)在该区间上单调递减；
当x=e-2时，，此时函数m(x)取得极大值；
，
又∵当x趋近于+∞时，m(x)趋近于0；当x趋近于-2时，m(x)趋近于-∞，
为使得函数y=a与函数m(x)有两个交点，
∴.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）对原函数求导即可得出切点处斜率，进而求出平行直线l的切线方程；
（2）构造函数，利用求导分析该函数，只需求出此时函数的最小值大于等于0，即可得证
（3）为求得函数h(x)由两个零点，分离变量为，从而构造函数，利用求导分析该函数的值域范围，转化为常数函数y=a与函数m(x)有两个交点，即可得出a的取值范围.
1 / 1
