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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册、第13章
课标要求 (1)三角形①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念。②探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。③证明三角形的任意两边之和大于第三边。④理解等腰三角形的概念,⑤了解三角形重心的概念。(2)定义、命题、定理①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。③知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式。④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。⑤通过实例体会反证法的含义。新课标的要求，在“图形与几何”方面指出:利用图形描述和分析问题的意识与习惯，能够感知各种图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类;根据语言描述画出相应的图形。利用图形探索解决问题的思路。并会用数学的眼光观察现实世界——几何直观、空间观念与创新意识.
内容分析 《三角形中的边角关系、命题与证明》是“图形与几何”领域的内容。本章主要学习三角形有关知识和认识符号语言，是在学生已学过一些三角形知识的基础上，进一步研究它的概念、分类、性质和应用。本章另一内容是形式逻辑训练的开始，让学生学习命题的概念与结构、以及简单证明，第一次比较规范地用几何语言来表述一个几何命题证明的过程.本章介绍的命题与证明，开始强调以几何语言进行形式化的推理，比较抽象，实现由感性到理性认识的逐步过渡.通过本单元的学习，学生能够掌握比较全面的三角形基本概念及边角关系,感受几何语言的逻辑性和严谨性，为学习下一章全等三角形及其证明奠定基础，同时也是后续研究其他几何图形的基础和前提。因此本单元的学习重点是:三角形的有关知识及命题的结构与证明。
学情分析 学生通过以前的学习和生活经验，对三角形已经有了直观的认识，对于三角形内角和定理等都有了一定的了解,但命题与证明，是学生首次比较规范的使用形式化的几何语言证明几何命题，学生对证明思路的寻求，证明过程必须步步有依据的理解还要有一个适应过程。八年级学生已经具有一定的自主学习、能力和独立思考能力，积累了一定的数学学习活动经验。但是，学生的思维方式和思维习惯还不够完善，几何语言以及证明过程的推演能力尚不足。应加强几何直观与逻辑推理两者之间联系的应用练习，通过运用三角形和命题证明等知识提升学生的符号表达，几何推理等能力。因此，本单元的难点是:简单反例的构造及几何命题综合法证明思路的分析和证明过程的规范表述.
单元目标 （一）教学目标1.了解三角形、边、内角、外角、以及三条重要的线段概念;理解三角形中的边、角关系、三条重要线段中存在的数量关系；理解三角形内角与外角的关系.2.掌握定义、命题、基本事实、定理、推论的意义。能正确区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题。知道原命题成立其逆命题不一定成立。建立符号意识和空间观念，初步形成几何直观，发展合情推理和演绎推理能力。教学重点、难点教学重点:三角形的边角关系,及区分一个命题的题设和结论,综合法证明一个几何命题的方法和步骤。教学难点:简单反例的构造;一个几何命题综合法证明思路的分析和证明过程的规范表述。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1三角形中的边角关系3课时13.2命题与证明4课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1.1三角形中的边角关系1.知道三角形及三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；2.会按三边的特殊关系，对三角形进行分类；3.掌握三角形的三边关系，会判断三条线段构成三角形的条件.1.掌握三角形及其相关的概念，会用符号表示三角形2.会按边对三角形进行分类3.掌握三角形的三边关系并会解决相关问题任务一：展示生活中的图片，引出新课任务二：三角形的概念任务三：三角形的分类任务四：三角形的三边关系13.1.2三角形中角的关系1.会按角将三角形分类.2.掌握三角形内角和定理.3.能用三角形内角和定理解决相关问题.1.会按角将三角形分类2.掌握三角形内角和定理3.能用三角形内角和定理解决相关问题任务一：复习三角形按边分类，引出新课任务二：按角将三角形分类任务三：三角形内角和定理13.1.3三角形中几条重要线段1.掌握三角形的高、中线与角平分线的概念和画法.2.知道三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质.3.明确重心的概念. 1.掌握三角形的高、中线与角平分线的概念和画法2.知道三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质.3.了解三角形重心的概念及定义的概念.任务一：观察图片，引出新课任务二：三角形中的特殊线段任务三：三角形的重心与定义.13.2.1命题与证明1.理解命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件与结论.2.通过具体实例，了解原命题及其逆命题的意义，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.3.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.1.掌握命题、真命题、假命题的意义2.知道命题的结构和一般格式，会区分命题的条件与结论.3.了解原命题及其逆命题的意义，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.3.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.任务一：通过故事，引出新课任务二：理解命题、真命题、假命题的概念.任务三：命题的结构和一般形式任务四：会识别互逆命题、会用举反例判断命题真假13.2.2命题与证明1.理解基本事实、定理、证明的意义.2.了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题.1.理解基本事实、定理、证明的意义2.了解证明的基本步骤和书写格式3.能证明一些简单的几何问题.任务一：通过图片，引出新课任务二：理解基本事实、定理、证明的意义任务三：了解证明的基本步骤和书写格式13.2.3命题与证明1.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处.2.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用3.理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论21.知道辅助线的概念并会利用其解决问题2.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用3.理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2任务一：通过复习，引发学生思考，引出新课任务二：“三角形内角和定理”的证明及其简单应用任务三：掌握三角形内角和定理的推论1和推论213.2.4命题与证明1.知道三角形外角的概念.2.能证明与三角形外角相关的两个推论，知道三角形的外角和为360°.3.能用三角形的外角性质解决相关问题.1.掌握三角形外角的概念.2.会证明与三角形外角相关的两个推论3.知道三角形的外角和为360°4.能用三角形的外角性质解决相关问题.任务一：类比三角形内角和的求法，得到三角形三个外角之和是360°任务二：三角形的外角任务三：三角形内角和定理的推论
《第13章 》三角形中的边角关系、命题与证明 单元教学设计
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分课时教学设计
《13.1.2三角形中角的关系》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课呈现出三角形边角关系，对三角形的分类，以及内角和的证明。本节课的结论学生在小学就已经知道，但对这个结论并没有给出严格证明，在这里要让学生运用已经学过的知识进行说理证明，让学生体会数学的严谨性:学习与三角形有关的角，是为后面学习多边形及其角的性质和平面图形的镶嵌打基础，所以对于这一部分的知识，教师要让学生在猜想、探究、实验、证明的过程中掌握并运用知识，注意培养学生的推理能力，为以后用符号语言证明几何命题打下坚实基础。
学习者分析 本节课的教学对象是八年级的学生。学生在前面刚刚学习了三角形的边的关系,已经会按边对三角形进行分类,初步掌握了分类、转化的数学思想,这为学好本节内容打下了基础。
教学目标 1.会按角将三角形分类； 2.经历相关的折叠探究过程，掌握三角形内角和定理，培养其逻辑推理能力； 3.能用三角形内角和定理解决相关问题； 4.通过带领学生探究三角形的角的数量关系,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲； 5.发展学生的合情推理能力,使学生养成独立思考的习惯.
教学重点 会用三角形内角和进行角度的计算.
教学难点 能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 三角形按边长关系，可分为：
思考：三角形若按角来分类，可分为哪几类？学生活动1： 学生动脑思考，并积极回答.活动意图说明： 回顾复习上节学的三角形按边分类，复习了旧知，引发学生再思考，引出这节课要学的内容. 环节二：按角将三角形分类教师活动2： 画一画：同学们手中有直角三角板，请再画一个内角不是90°的三角形. 三角形按角分类： 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形； 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形； 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 直角三角形： 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“RT△ABC”． 三角形按角的大小，可分为： 学生活动2： 学生动手操作，发现问题。 活动意图说明： 让学生尝试运用学过的知识探究新知，知道如何按照角的大小对三角形进行分类.环节三：三角形内角和定理教师活动3： 在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？ 在小学，我们曾用折叠、剪拼或用量角器度量的方法研究过这个问题． 你还记得有什么结论吗？ 三角形内角和定理： 三角形的内角和等于180°． (本结论将在后面的课程中给出严格证明) 例 2 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数. 解：因为BD⊥AC，(已知) 所以∠ADB=∠CDB=90°. 在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，(三角形的内角和等于180°) ∠ABD=54°，∠ADB=90°，(已知) ∠A=180°–∠ABD–∠ADB=180°–54°–90°=36°. 在△ABC中， ∠C=180°–∠A–(∠ABD+∠DBC) =180°–36°–(54°+18°)=72°.学生活动3： 学生小组讨论，思考回答. 学生独立完成，派代表展示答案。 活动意图说明： 探究三角形的内角和定理，结合小学的探究方法，让学生进一步认识、了解“三角形的内角和等于180°”；通过典型例题的分析和讲解，进一步加深学生对三角形内角和定理的认识和理解，并能进行简单的应用.
板书设计 课题：13.1.2三角形中角的关系 1.三角形按角分类： 2.三角形内角和定理:
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.三角形按角分类可以分为( A ) A.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C.直角三角形、 等腰直角三角形 D.以上答案都不正确. 2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数是( C ) A.45° B.60° C.75° D.90° 3.填空. (1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40 °，则△ABC是 钝角 三角形. (2)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是 直角 三角形. 4.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：因为∠A+∠ADE=180°， 所以AB∥DE，所以∠CED=∠B=78°． 又因为∠C=60°， 所以∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°）=42°． 选做题： 5.在△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C＝3∠A，则这个三角形( A ) A.一定有一个内角为45° B.一定有一个内角为60° C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形 6.如图,在△ABC中,∠C=50° ,按图中虚线将C剪去后,则∠1+∠2的度数为 230° . 【综合拓展类作业】 如图①,线段AB,CD相交于点0,连接AD,CB. 求证:∠A+∠D=∠ B+∠C; (2)如图②,延长AD,CB交于点E,分别在CD,AB的延长线上取点F ,G,连接FG分别交AE,CE于点M,N.求∠A+∠C+∠G+∠E+∠F的度数; 解:(1) ∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC, ∴∠A+∠D=∠B+∠C; (2)连接AC. ∵∠F+∠G+∠FOG=∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°,∠AOC=∠FOG, ∴∠F+∠G=∠OAC+∠OCA. ∠EAC+∠ ECA+∠E= 180° ∴∠EAO+∠OAC+∠ECO+∠OCA+∠E= 180°， ∴∠EAO+∠ECO+∠G+∠E+∠F= 180°, 即∠A+∠C+∠G+∠E+∠F= 180°.
课堂总结 1.三角形按角分类： 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形； 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形； 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 2.三角形内角和定理： 三角形的内角和等于 １８０°．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如果一个三角形的三个内角的度数分别为36° ,72° ,72° ,那么这个三角形是( B ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 2.已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（ B ） A．40° B．50° C．60° D．70° 3.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠ADE＝40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠C的大小是( C ) A．46° B．66° C．54° D．80° 选做题： 4．两个三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α等于( A ) A.105° B.115° C.120° D.135° 5．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F=45°，∠FBA=75°， 求∠C的度数. 解：因为∠F=45°，∠FBA=75°， 所以在△AFB中，∠A=180°-75°-45°=60°， 又因为CE⊥AF， 所以△ACE中，∠C=180°-90°-60°=30°. 【综合拓展类作业】 6.当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”恰好是直角三角形,求这个“特征角”的度数. 解:①当“特征角”的度数的2倍是90° 时，“特征角”的度数是，×90°=45°. ②当“特征角”的度数的2倍与“特征角”的度数都不是90°时,设“特征角”的度数是x. 由题意,得x+2x+90°= 180° ,解得x=30°,即“特征角”的度数是30°. 综上所述,这个“特征角”的度数为45°或30°.
教学反思 让学生亲自动手，通过量、剪、拼等活动发现、证实三角形内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题:让学生在动手获取知识的过程中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力.并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向学生渗透“转化”的数学思想，使学生体验成功的喜悦，激发学生主动学习数学的兴趣.
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（沪科版）八年级
上
13.1.2三角形中角的关系
三角形中的边角关系、命题与证明
第13章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.会按角将三角形分类；
2.经历相关的折叠探究过程，掌握三角形内角和定理，培养其逻辑推理能力；
3.能用三角形内角和定理解决相关问题；
4.通过带领学生探究三角形的角的数量关系,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲；
5.发展学生的合情推理能力,使学生养成独立思考的习惯.
新知导入
思考：三角形若按角来分类，可分为哪几类？
三角形按边长关系，可分为：
不等边三角形
等腰三角形
三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
任务一：按角将三角形分类
新知讲解
画一画：同学们手中有直角三角板，请再画一个内角不是90°的三角形.
三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
三角形按角分类：
新知讲解
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边
叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“RT△ABC”．
直角三角形：
新知讲解
直角边
直角边
斜边
A
B
C
三角形按角的大小，可分为：
新知讲解
三角形
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
锐角
三角形
钝角
三角形
也可分为：
在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？
新知讲解
任务二：三角形内角和定理
在小学，我们曾用折叠、剪拼或用量角器度量的方法研究过这个问题． 你还记得有什么结论吗？
三角形的内角和等于180°．
三角形内角和定理：
新知讲解
本结论将在后面的课程中给出严格证明
例 2 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.
新知讲解
解：因为BD⊥AC，(已知)
所以∠ADB=∠CDB=90°.
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，(三角形的内角和等于180°)
∠ABD=54°，∠ADB=90°，(已知)
∠A=180°–∠ABD–∠ADB=180°–54°–90°=36°.
例 2 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.
新知讲解
在△ABC中，
∠C=180°–∠A–(∠ABD+∠DBC)
=180°–36°–(54°+18°)=72°.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.三角形按角分类可以分为( )
A.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C.直角三角形、 等腰直角三角形
D.以上答案都不正确.
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数是( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
C
课堂练习
3.填空.
(1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40 °，则△ABC是 三角形.
(2)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是 三角形.
钝角
【知识技能类作业】必做题：
直角
4．如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：因为∠A+∠ADE=180°，
所以AB∥DE，所以∠CED=∠B=78°．
又因为∠C=60°，
所以∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）=42°．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.在△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C＝3∠A，则这个三角形( )
A.一定有一个内角为45°
B.一定有一个内角为60°
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形
A
6.如图,在△ABC中,∠C=50° ,按图中虚线将C剪去后,则∠1+∠2的度数为 .
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
230°
7.如图①,线段AB,CD相交于点0,连接AD,CB.
(1)求证:∠A+∠D=∠ B+∠C;
解:(1) ∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D=∠B+∠C;
【综合拓展类作业】
课堂练习
(2)如图②,延长AD,CB交于点E,分别在CD,AB的延长线上取点F ,G,连接FG分别交AE,CE于点M,N.求∠A+∠C+∠G+∠E+∠F的度数;
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：(2)连接AC.
∵∠F+∠G+∠FOG=∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°,∠AOC=∠FOG,
∴∠F+∠G=∠OAC+∠OCA.
∠EAC+∠ ECA+∠E= 180°
(2)如图②,延长AD,CB交于点E,分别在CD,AB的延长线上取点F ,G,连接FG分别交AE,CE于点M,N.求∠A+∠C+∠G+∠E+∠F的度数.
【综合拓展类作业】
课堂练习
∴∠EAO+∠OAC+∠ECO+∠OCA+∠E= 180°，
∴∠EAO+∠ECO+∠G+∠E+∠F= 180°,
即∠A+∠C+∠G+∠E+∠F= 180°.
课堂总结
1.三角形按角分类：
三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
2.三角形内角和定理：
三角形的内角和等于 １８０°．
板书设计
1.三角形按角分类：
2.三角形内角和定理:
课题：13.1.2三角形中角的关系
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．如果一个三角形的三个内角的度数分别为36° ,72° ,72° ,那么这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2． 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（ ）
A．40° B．50°
C．60° D．70°
B
A
B
C
E
D
3.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠ADE＝40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠C的大小是( )
A．46° B．66° C．54° D．80°
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
4.两个三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α等于
( )
A.105° B.115° C.120° D.135°
A
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F=45°，∠FBA=75°， 求∠C的度数.
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
解：因为∠F=45°，∠FBA=75°，
所以在△AFB中，∠A=180°-75°-45°=60°，
又因为CE⊥AF，
所以△ACE中，∠C=180°-90°-60°=30°.
A
B
C
D
E
F
6.当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”恰好是直角三角形,求这个“特征角”的度数.
【综合拓展类作业】
作业布置
解:①当“特征角”的度数的2倍是90° 时，“特征角”的度数是，90°=45°.
6.当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”恰好是直角三角形,求这个“特征角”的度数.
【综合拓展类作业】
作业布置
解:②当“特征角”的度数的2倍与“特征角”的度数都不是90°时,设“特征角”的度数是x.
由题意,得x+2x+90°= 180° ,解得x=30°,即“特征角”的度数是30°.
综上所述,这个“特征角”的度数为45°或30°.
Thanks!
2
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