河北省邯郸市2024年4月第十三中学九年级中考第三次模拟考试数学试卷

河北省邯郸市2024年4月第十三中学九年级中考第三次模拟考试数学试卷
一、选择题本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024九下·邯郸模拟）面积为9的正方形，其边长等于（　　）
A．9的平方根 B．9的算术平方根
C．9的立方根 D．的算术平方根
2．（2024九下·邯郸模拟）将2024×2026变形正确的是（　　）
A．20252﹣1 B．20252+1
C．20252+2×2025+1 D．20252﹣2×2025+1
3．（2024九下·邯郸模拟）为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点M在观测台B的南偏东46°的方向上，点A表示另一处观测台，若AM⊥BM，那么起火点M在观测台A的（　　）
A．南偏东44° B．南偏西44° C．北偏东46° D．北偏西46°
4．（2024九下·邯郸模拟）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　）
A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ
5．（2024九下·邯郸模拟）在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下则（　　）
甲： 乙：
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
6．（2024九下·邯郸模拟）某楼盘推出面积为118m2的三室两厅的户型，以0.7万元/m2的均价对外销售，其总价用科学记数法表示为（　　）
A．8.26×104元 B．8.26×105元 C．8.26×106元 D．8.26×107元
7．（2024九下·邯郸模拟）如图所示的几何体由六块相同的小正方体搭成，若移走一块小正方体几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
8．（2024九下·邯郸模拟）3月12日植树节，某单位组织职工开展植树活动，如图是根据植树情况绘制的条形统计图，下面说法错误的是（　　）
A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵
9．（2024九下·邯郸模拟）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°根据图中圆规作图的痕迹，可用无刻度直尺画一条直线将△ABC的周长分成相等两部分的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·邯郸模拟）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了（　　）
A．10mL B．15mL C．20mL D．25mL
11．（2024九下·邯郸模拟）如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若MN=a，则表示实数a的点落在数轴上（如图）标有四段中的（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
12．（2024九下·邯郸模拟）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2024九下·邯郸模拟）演示课上，王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的BC边固定，并测得∠B＝60°，则在此变化过程中结论错误的是（　　）
A．AB长度不变，为4cm
B．A C长度变小， 减少
C．BD长度变大，增大4
D．ABCD面积变小，减少
14．（2024九下·邯郸模拟）如图，△ABC的面积为12，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长可能是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
15．（2024九下·邯郸模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x=-1；③当-3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a-b（m为任意实数），其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2024九下·邯郸模拟）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18、19小题各4分，每空2分）
17．（2024九下·邯郸模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为　 　．
18．（2024九下·邯郸模拟）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是　 　cm；
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，　 　（填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为3：2且面积为30cm2的长方形纸片．
19．（2024九下·邯郸模拟）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（-1，0），现将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1.写出点C1的坐标是　 　；若函数（x＞0，k为常数）的图象经过点C1，且P为该函数图象上的动点，当P在直线AC1的上方且△APC1的面积为时，则P点的横坐标为　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2024九下·邯郸模拟）按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）
（1）当输入的数是10时，请求出输出的结果；
（2）当输入的数是x时，经过第二次运算，结果即符合要求
21．（2024九下·邯郸模拟）在矩形ABCD中，AB的长度为a，BC的长度为b（a＜b），将矩形ABCD进行如图所示顺序的折叠．第三步折叠后，点C与点D的对应点分别为C'，D'．
（1）①若点C'落在点D'下方，则C'D'＝ ▲ ；（用含a，b的代数式表示）
②若点C'，D'重合，求的值；
（2）如果b的值保持不变，改变a的值，且点C'始终落在点D'下方．若四边形C'D'EF的面积的最大值为3 ，求b的值．
22．（2024九下·邯郸模拟）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为　 　；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
23．（2024九下·邯郸模拟）某校“综合与实践”小组的同学把“民心河护坡的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度 （结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41）．
课题 民心河护坡的调研与计算
调查方式 资料查阅、实地查看了解
调查内容 功能 护坡是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
材料 所需材料为石料、混凝土等
护坡时剖面图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD=135°，∠EDC=60°，ED=6m，AE=1.5m，CD=3.5m.
　 计算结果 …
… …
24．（2024九下·邯郸模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，A（2，2），AC∥y轴，AC=AB=2，抛物线 L：y＝﹣（t＞0）的顶点为M，与y轴交点为N．
（1）设P为BC中点，直接写出直线AP的函数表达式：　 　．
（2）求点N最高时的坐标；
（3）抛物线有可能经过点C吗？请说明理由；
（4）在L的位置随t的值变化而变化的过程中，求点M在△ABC内部所经过路线的长．
25．（2024九下·邯郸模拟）如图，一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB=1500m，BC=300m，CD=2000m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上，已知火车甲沿AB方向匀速行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10s，火车甲通过隧道的时间是20s，如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶的时间为x s，车头与点B的距离是y m.
（1）火车甲的速度和火车甲的长度；
（2）求y关于x的函数解析式（写出x的取值范围），并求当x为何值时，车头差500米到达D点．
（3）若长度相等的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲乙不在隧道内会车（会车时两车均不在隧道内），火车甲先进隧道，当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过地点多少？若不能到达，至少距离D点多少m？
26．（2024九下·邯郸模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点O在射线AC上（点O不与点A重合），过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径画半圆O，分别交射线AC于E、F两点，设OD=x.
（1）如图1，当点O为AC边的中点时，求x的值；
（2）如图2，当点O与点C重合时，连接DF，求弦DF的长；
（3）当半圆O与BC无交点时，直接写出x的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为9，
∴边长=.
故答案为B.
【分析】根据算术平方根的定义解答即可.
2．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得2024×2026=（2025-1）×（2025+1）=20252﹣1
故答案为：A
【分析】根据平方差公式结合题意题意进行计算，进而即可求解。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；方位角
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∵南北方向的直线平行，
∴
∴，
∴，
∴起火点M在观测台A的南偏西，
故答案为：B
【分析】先根据垂直得到，进而根据平行线的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，取与格线的交点，则，
而，
∴四边形不是平行四边形，
∴，不平行，故A不符合题意；
如图，取格点，连接，
由勾股定理可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，故B符合题意；
如图，取格点，
由题意得，
∴，都错误，C，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据勾股定理结合平行四边形的判定与性质即可求解。
5．【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】甲第①步中没有通分，故计算错误；乙第③步中，同分母分式相加，分母应保持不变，故计算错误.
故答案为：A．
【分析】根据分式的加减乘除运算法则即可求解.
6．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得总价为元=元，
故答案为：B
【分析】先根据题意计算出总价，进而根据科学记数法表示数据即可求解。
7．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据几何体，得它的左视图如下，
∵去掉①既没有改变几何体的行数，也没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图不会改变，
∴①不符合题意；
∵去掉②改变了几何体的行数，没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图改变，
∴②符合题意；
∵去掉③既没有改变几何体的行数，也没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图不会改变，
∴③不符合题意；
∵去掉④既没有改变几何体的行数，也没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图不会改变，
∴④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
8．【答案】D
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、∵4+10+8+6+2=30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，A正确，不符合题意；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，B正确，不符合题意；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，C正确，不符合题意；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，D不正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据条形统计图和众数、中位数、平均数的定义对选项逐一分析，进而即可求解。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴作图为的角平分线，将的周长分成相等两部分，
A、作图是的角平分线，不符合题意；
B、作图是的角平分线，不符合题意；
C、作图是∠BAC的角平分线，符合题意；
D、作图是的垂直平分线，不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据三角形内角和定理得到∠C的度数，进而根据等腰三角形的性质得到，从而即可得到作图为的角平分线，将的周长分成相等两部分，再对选项逐一分析即可求解。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设关于的函数解析式为，
把点代入得：，
关于的函数解析式为，
当时，则，
当时，则，
压强由加压到，则气体体积压缩了；
故答案为：C
【分析】先根据物理知识设关于的函数解析式为，进而将点代入即可求出反比例函数的解析式，进而结合题意根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解。
11．【答案】C
【知识点】无理数的估值；平行线的判定；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，如图所示：
∵正六边形的每个中心角都是60°，
∴每条边和点O的三角形都是等边三角形，
∴BE=4，
∵正六边形的每个内角都是120°，
∴∠EDC=120°，∠ECD=∠CED30°，
∴∠ECB=90°，
由勾股定理得，
∵∠EFO=∠AOF=60°，
∴BA∥EF，
∵∠EFO=∠BCO=60°，
∴CB∥EF，
∴EF∥DA∥CB，
∵EB=2OB，
∴EM=2NM，
∵CE＜ME＜BE，即，
∴．
∵
∴1.73故答案为： C
【分析】连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，先根据正多边形的性质结合题意进行角的运算得到∠BCE=120°-30°=90°，进而根据勾股定理即可求出CE，再根据平行线的判定证明AB∥EF，BC∥EF，进而根据平行公理及其推论得到EF∥AD∥BC，从而根据平行线分线段比例结合题意即可求解。
12．【答案】B
【知识点】点的坐标；函数的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴N、P关于y轴对称，A、C不符合题意，
∵在同一个函数图象上，
∴当时，y随x的增大而增大，B符合题意，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据点N和点P得到N、P关于y轴对称，进而可排除A选项和C选项，再根据点M和点N即得到时，y随x的增大而增大，从而即可排除D选项。
13．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
四边形是正方形，
，，，，
，正方形面积，
，
在菱形中，连接，，过作于点，
，，，
，
是等边三角形，
，，，
，，
菱形面积，
不符合题意；
，
不符合题意；
，
不符合题意；
，
符合题意；
故答案为：D
【分析】连接，，根据正方形的性质得到，，，，进而即可得到，连接，，过作于点，根据菱形的性质得到，，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，，，再根据勾股定理求出BD和AH，从而结合题意对四个选项逐一判断即可求解。
14．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，如图所示：
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C'处，
∴∠C'AB=∠BAC，
∴MB=NB，
∵△ABC的面积等于12，边AC=3，
∴×CA×NB=12，
∴NB=8，
∴MB=8，
故点B到AD的最短距离是8，
∴BP的长不小于8，
故答案为：D
【分析】过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，先根据折叠的性质得到∠C'AB=∠BAC，进而根据等腰三角形的性质得到MB=NB，再根据三角形的面积求出NB，进而即可得到MB，故点B到AD的最短距离是8，BP的长不小于8，对比选项即可求解。
15．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，
②正确；
∴，
∴，
∴，
①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，
③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，
④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，
⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故答案为：C
【分析】根据开口方向，对称轴位置以及与y轴的交点坐标可判断①；根据二次函数的对称性和对称轴即可判断②；根据二次函数的图象即可判断③④，根据二次函数的最值即可判断⑤。
16．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：在边长为1的菱形中，，
，，
将沿射线的方向平移得到，
，，
四边形是菱形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
的最小值的最小值，
点在过点且平行于的定直线上，
作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，
在中，
，，
，，
，
，
，
，
作，
过点D作垂足为G，
在中，
．
故答案为：C
【分析】先根据菱形的性质得到，，进而根据平移的性质得到，，证明四边形是平行四边形得到，再结合题意即可得到的最小值的最小值，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，进而解直角三角形（含30°角）即可得到，，进而结合题意得到，过点D作垂足为G，在中利用余弦函数的定义结合题意即可求解。
17．【答案】45°
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接、、、，如图所示：
∵正六边形是的内接正六边形，
，
∵点是的中点，
，
，
．
故答案为：
【分析】连接、、、，先根据圆内接正多边形的性质得到，根据弧的中点定义可证，得进可求出∠QOC的度数，再根据圆周角定理即可求解。
18．【答案】（1）6
（2）否
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）由大正方形的面积，
得大正方形的边长；
故答案为：6；
（2）设长方形纸片长为，宽为，
由题意得，
解得，
故，
∴不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．
故答案为：否．
【分析】（1）根据正方形的面积公式结合题意即可求解；
（2）设长方形纸片长为，宽为，进而根据矩形的面积公式几何题意即可求出x，结合题意即可得到不能剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．
19．【答案】；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得即是绕点A顺时针旋转后的图形，则的坐标是；
反比例函数过点，
，
反比例函数解析式为：，
作轴垂足为D，轴垂足为E，设，
，
，
整理得，
解得（舍），
，
点P的横坐标为：，
故答案为：，．
【分析】先根据旋转的性质结合点的坐标变化得到的坐标是，进而运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，作轴垂足为D，轴垂足为E，设，进而根据即可求出t，从而即可得到点P的横坐标。
20．【答案】（1）解：由题意得，2×10﹣4＝20﹣5＝16，
∵16＞10，
∴输出的结果是16；
（2）解：由题意得，
，
解得＜x≤7，
∴x的最小整数值是6．
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-程序框图
【解析】【分析】（1）根据题意代入数据计算即可求解；
（2）根据题意得到不等式组，进而解不等式组即可求解。
21．【答案】（1）解：①3a﹣2b；
②若点C'，D'重合，
∴5a﹣2b＝0，5a＝2b，
∴＝．
（2）解：
，
若四边形的面积的最大值为3，即，
（负值舍去）．
【知识点】二次函数的最值；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①由折叠得，
，
若点落在点下方，
则；
故答案为：3a﹣2b；
【分析】（1）①先根据折叠的性质得到，进而即可得到，再结合题意即可表示出C'D'；
②根据题意得到5a﹣2b＝0，5a＝2b，进而化简即可求解；
（2）根据四边形的面积得到，进而代入即可得到，再根据二次函数的最值即可求解。
22．【答案】（1）
（2）解：树状图如下：
由上可得，一共有16种等可能性，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，
∴从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解；
（2）根据题意画树状图，进而得到一共有16种等可能性，进而根据等可能事件的概率即可求解。
23．【答案】解：过点E作EF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AE＝FG＝1.5m，AG＝EF，
在Rt△EFD中，ED＝5m，
∴EF＝ED sin60°＝6×＝3，
DF＝ED cos60°＝5×＝5（cm），
∴AG＝EF＝3（m），
∵CD＝4.5m，
∴CG＝FG+DF﹣CD＝1.6+3﹣3.5＝1（m），
∵∠BCD＝135°，
∴∠BCG＝180°﹣∠BCD＝45°，
在Rt△BCG中，BG＝CG tan45°＝1（m），≈1.4（m），
∴AB＝AG﹣BG＝8﹣1≈4.2（m），
∴BC的长度约为1.7m，AB的长度约为4.2m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点E作EF⊥CD，垂足为F，先根据题意得到AE＝FG＝1.5m，AG＝EF，进而解直角三角形求出EF和DF，从而即可得到AG和EF，再结合题意求出∠BCG的度数，再解直角三角形即可得到BG和BC，最后根据AB=AG-BG即可求解。
24．【答案】（1）y＝x
（2）解：当时，
即的最大值为，
点最高时的坐标为；
（3）解：不可能，理由如下：
把点C（2，4）代入，
得，
化简为t2﹣8t+12＝0，
∵△＝（﹣6）2﹣4×1×12＜5，
∴方程没有实数根，
即抛物线不可能经过点C；
（4）解：由，知顶点，
在的位置随的值变化而变化的过程中，点都在直线上移动，且经过直线上的点，，
点在内部所经过路线的长为的长度，
即点在内部所经过路线的长为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）∵，，轴，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又为的中点，
∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，
代入，得，，解得：，
∴直线的函数表达式为，
故答案为：；
【分析】（1）先根据题意得到点B和点C的坐标，进而根据中点坐标得到点P的坐标，从而根据待定系数法即可求出直线AP的函数解析式；
（2）根据二次函数的最值结合题意即可求解；
（3）根据题意将点C代入函数解析式，化简得一元二次方程的一般式，根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（4）根据题意得到的位置随的值变化而变化的过程中，点都在直线上移动，且经过直线上的点，，进而结合题意得到点在内部所经过路线的长为的长度，从而根据坐标系中两点间的距离公式即可求解。
25．【答案】（1）解：设火车甲的速度是a m/s，火车甲的长是b m，
由是题意得：，
解得：，
答：火车甲的速度是30m/s，火车甲的长是300m；
（2）解：当车头到达B点前，即x＜40时；
当车头在B点时，y＝0，
当车头经过B点后，即x＞40时，
y＝（x﹣40）×30＝30x﹣1200，
综上，y＝，
当车头差500米未到达D点时，y＝1800，
解得：x＝100，
所以当x＝100时，车头差500米未到达D点；
（3）解：火车甲从车头到达点，到车尾离开隧道，共用时，
因此要使两列火车不在隧道内会车，则当火车甲车头到达点时，火车乙的车头距点至少要有的车程，也就是，
，
所以当火车甲车头到达点时，火车乙车头不能到达点， 至少距离点．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设火车甲的速度是a m/s，火车甲的长是b m，进而根据题意即可列出二元一次方程组，从而解方程组即可求解；
（2）分类车头到达B点前、车头在B点时、车头经过B点后三种情况写函数解析式，并求出y= 1800时x的值即可；
（3）先根据题意求出火车甲从车头到达点，到车尾离开隧道的用时，进而要使两列火车不在隧道内会车，则当火车甲车头到达点时，火车乙的车头距点至少要有的车程，也就是，从而相减即可求解。
26．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB＝10，
根据勾股定理得，，
∵点O为AC边的中点，
∴AO＝AC＝，
∵OD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADO＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ABC．
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图2，∵点O与点C重合，
∴S△ABC＝OD AB＝，
即10x＝8×6，
∴．
过点D作DH⊥AC于H，
∴∠DHO＝∠ACB＝90°，
∴∠DOH+∠BOD＝∠BOD+∠ABC，
∴∠DOH＝∠ABC，
∴△DOH∽△ABC．
∴，
∴，
∴，．
∵OF＝OD＝，
∴FH＝OH+OF＝．
∴在Rt△DFH中，根据勾股定理得，
∴
（3）解：满足条件的x取值范围为：0＜x＜3或x＞12．
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（3）解：当点O在边AC上，且半圆O与AB相切，如图3﹣1，
∴OC＝OD＝x，
∴AO＝AC﹣OC＝2﹣x，
∵∠ADO＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴，
∴，
∴x＝6，
∴0＜x＜3，
当点O在AC的延长线上，且半圆O与AB相切，如图5﹣2，
∴OC＝OD＝x，
∴AO＝AC+OC＝8+x，
∵∠ADO＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴，
∴，
∴x＝12，
即满足条件的x取值范围为：0＜x＜3或x＞12．
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC，进而根据中点得到AO＝AC＝，再根据垂直等量代换得到∠ADO＝∠ACB，从而根据相似三角形的判定与性质证明△AOD∽△ABC得到，再代入即可求解；
（2）先根据三角形的面积求出x，过点D作DH⊥AC于H，进而根据题意等量代换得到∠DOH＝∠ABC，再根据相似三角形的判定与性质证明△DOH∽△ABC得到，从而代入数值得到，．再结合题意求出FH，在Rt△DFH中运用勾股定理即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当点O在边AC上，且半圆O与AB相切，当点O在AC的延长线上，且半圆O与AB相切，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解。
1 / 1河北省邯郸市2024年4月第十三中学九年级中考第三次模拟考试数学试卷
一、选择题本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024九下·邯郸模拟）面积为9的正方形，其边长等于（　　）
A．9的平方根 B．9的算术平方根
C．9的立方根 D．的算术平方根
【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为9，
∴边长=.
故答案为B.
【分析】根据算术平方根的定义解答即可.
2．（2024九下·邯郸模拟）将2024×2026变形正确的是（　　）
A．20252﹣1 B．20252+1
C．20252+2×2025+1 D．20252﹣2×2025+1
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得2024×2026=（2025-1）×（2025+1）=20252﹣1
故答案为：A
【分析】根据平方差公式结合题意题意进行计算，进而即可求解。
3．（2024九下·邯郸模拟）为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点M在观测台B的南偏东46°的方向上，点A表示另一处观测台，若AM⊥BM，那么起火点M在观测台A的（　　）
A．南偏东44° B．南偏西44° C．北偏东46° D．北偏西46°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；方位角
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∵南北方向的直线平行，
∴
∴，
∴，
∴起火点M在观测台A的南偏西，
故答案为：B
【分析】先根据垂直得到，进而根据平行线的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解。
4．（2024九下·邯郸模拟）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　）
A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，取与格线的交点，则，
而，
∴四边形不是平行四边形，
∴，不平行，故A不符合题意；
如图，取格点，连接，
由勾股定理可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，故B符合题意；
如图，取格点，
由题意得，
∴，都错误，C，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据勾股定理结合平行四边形的判定与性质即可求解。
5．（2024九下·邯郸模拟）在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下则（　　）
甲： 乙：
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】甲第①步中没有通分，故计算错误；乙第③步中，同分母分式相加，分母应保持不变，故计算错误.
故答案为：A．
【分析】根据分式的加减乘除运算法则即可求解.
6．（2024九下·邯郸模拟）某楼盘推出面积为118m2的三室两厅的户型，以0.7万元/m2的均价对外销售，其总价用科学记数法表示为（　　）
A．8.26×104元 B．8.26×105元 C．8.26×106元 D．8.26×107元
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得总价为元=元，
故答案为：B
【分析】先根据题意计算出总价，进而根据科学记数法表示数据即可求解。
7．（2024九下·邯郸模拟）如图所示的几何体由六块相同的小正方体搭成，若移走一块小正方体几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据几何体，得它的左视图如下，
∵去掉①既没有改变几何体的行数，也没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图不会改变，
∴①不符合题意；
∵去掉②改变了几何体的行数，没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图改变，
∴②符合题意；
∵去掉③既没有改变几何体的行数，也没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图不会改变，
∴③不符合题意；
∵去掉④既没有改变几何体的行数，也没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图不会改变，
∴④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
8．（2024九下·邯郸模拟）3月12日植树节，某单位组织职工开展植树活动，如图是根据植树情况绘制的条形统计图，下面说法错误的是（　　）
A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵
【答案】D
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、∵4+10+8+6+2=30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，A正确，不符合题意；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，B正确，不符合题意；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，C正确，不符合题意；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，D不正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据条形统计图和众数、中位数、平均数的定义对选项逐一分析，进而即可求解。
9．（2024九下·邯郸模拟）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°根据图中圆规作图的痕迹，可用无刻度直尺画一条直线将△ABC的周长分成相等两部分的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴作图为的角平分线，将的周长分成相等两部分，
A、作图是的角平分线，不符合题意；
B、作图是的角平分线，不符合题意；
C、作图是∠BAC的角平分线，符合题意；
D、作图是的垂直平分线，不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据三角形内角和定理得到∠C的度数，进而根据等腰三角形的性质得到，从而即可得到作图为的角平分线，将的周长分成相等两部分，再对选项逐一分析即可求解。
10．（2024九下·邯郸模拟）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了（　　）
A．10mL B．15mL C．20mL D．25mL
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设关于的函数解析式为，
把点代入得：，
关于的函数解析式为，
当时，则，
当时，则，
压强由加压到，则气体体积压缩了；
故答案为：C
【分析】先根据物理知识设关于的函数解析式为，进而将点代入即可求出反比例函数的解析式，进而结合题意根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解。
11．（2024九下·邯郸模拟）如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若MN=a，则表示实数a的点落在数轴上（如图）标有四段中的（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】C
【知识点】无理数的估值；平行线的判定；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，如图所示：
∵正六边形的每个中心角都是60°，
∴每条边和点O的三角形都是等边三角形，
∴BE=4，
∵正六边形的每个内角都是120°，
∴∠EDC=120°，∠ECD=∠CED30°，
∴∠ECB=90°，
由勾股定理得，
∵∠EFO=∠AOF=60°，
∴BA∥EF，
∵∠EFO=∠BCO=60°，
∴CB∥EF，
∴EF∥DA∥CB，
∵EB=2OB，
∴EM=2NM，
∵CE＜ME＜BE，即，
∴．
∵
∴1.73故答案为： C
【分析】连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，先根据正多边形的性质结合题意进行角的运算得到∠BCE=120°-30°=90°，进而根据勾股定理即可求出CE，再根据平行线的判定证明AB∥EF，BC∥EF，进而根据平行公理及其推论得到EF∥AD∥BC，从而根据平行线分线段比例结合题意即可求解。
12．（2024九下·邯郸模拟）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；函数的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴N、P关于y轴对称，A、C不符合题意，
∵在同一个函数图象上，
∴当时，y随x的增大而增大，B符合题意，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据点N和点P得到N、P关于y轴对称，进而可排除A选项和C选项，再根据点M和点N即得到时，y随x的增大而增大，从而即可排除D选项。
13．（2024九下·邯郸模拟）演示课上，王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的BC边固定，并测得∠B＝60°，则在此变化过程中结论错误的是（　　）
A．AB长度不变，为4cm
B．A C长度变小， 减少
C．BD长度变大，增大4
D．ABCD面积变小，减少
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
四边形是正方形，
，，，，
，正方形面积，
，
在菱形中，连接，，过作于点，
，，，
，
是等边三角形，
，，，
，，
菱形面积，
不符合题意；
，
不符合题意；
，
不符合题意；
，
符合题意；
故答案为：D
【分析】连接，，根据正方形的性质得到，，，，进而即可得到，连接，，过作于点，根据菱形的性质得到，，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，，，再根据勾股定理求出BD和AH，从而结合题意对四个选项逐一判断即可求解。
14．（2024九下·邯郸模拟）如图，△ABC的面积为12，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长可能是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，如图所示：
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C'处，
∴∠C'AB=∠BAC，
∴MB=NB，
∵△ABC的面积等于12，边AC=3，
∴×CA×NB=12，
∴NB=8，
∴MB=8，
故点B到AD的最短距离是8，
∴BP的长不小于8，
故答案为：D
【分析】过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，先根据折叠的性质得到∠C'AB=∠BAC，进而根据等腰三角形的性质得到MB=NB，再根据三角形的面积求出NB，进而即可得到MB，故点B到AD的最短距离是8，BP的长不小于8，对比选项即可求解。
15．（2024九下·邯郸模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x=-1；③当-3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a-b（m为任意实数），其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，
②正确；
∴，
∴，
∴，
①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，
③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，
④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，
⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故答案为：C
【分析】根据开口方向，对称轴位置以及与y轴的交点坐标可判断①；根据二次函数的对称性和对称轴即可判断②；根据二次函数的图象即可判断③④，根据二次函数的最值即可判断⑤。
16．（2024九下·邯郸模拟）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：在边长为1的菱形中，，
，，
将沿射线的方向平移得到，
，，
四边形是菱形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
的最小值的最小值，
点在过点且平行于的定直线上，
作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，
在中，
，，
，，
，
，
，
，
作，
过点D作垂足为G，
在中，
．
故答案为：C
【分析】先根据菱形的性质得到，，进而根据平移的性质得到，，证明四边形是平行四边形得到，再结合题意即可得到的最小值的最小值，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，进而解直角三角形（含30°角）即可得到，，进而结合题意得到，过点D作垂足为G，在中利用余弦函数的定义结合题意即可求解。
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18、19小题各4分，每空2分）
17．（2024九下·邯郸模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为　 　．
【答案】45°
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接、、、，如图所示：
∵正六边形是的内接正六边形，
，
∵点是的中点，
，
，
．
故答案为：
【分析】连接、、、，先根据圆内接正多边形的性质得到，根据弧的中点定义可证，得进可求出∠QOC的度数，再根据圆周角定理即可求解。
18．（2024九下·邯郸模拟）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是　 　cm；
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，　 　（填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为3：2且面积为30cm2的长方形纸片．
【答案】（1）6
（2）否
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）由大正方形的面积，
得大正方形的边长；
故答案为：6；
（2）设长方形纸片长为，宽为，
由题意得，
解得，
故，
∴不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．
故答案为：否．
【分析】（1）根据正方形的面积公式结合题意即可求解；
（2）设长方形纸片长为，宽为，进而根据矩形的面积公式几何题意即可求出x，结合题意即可得到不能剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片．
19．（2024九下·邯郸模拟）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（-1，0），现将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1.写出点C1的坐标是　 　；若函数（x＞0，k为常数）的图象经过点C1，且P为该函数图象上的动点，当P在直线AC1的上方且△APC1的面积为时，则P点的横坐标为　 　．
【答案】；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得即是绕点A顺时针旋转后的图形，则的坐标是；
反比例函数过点，
，
反比例函数解析式为：，
作轴垂足为D，轴垂足为E，设，
，
，
整理得，
解得（舍），
，
点P的横坐标为：，
故答案为：，．
【分析】先根据旋转的性质结合点的坐标变化得到的坐标是，进而运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式，作轴垂足为D，轴垂足为E，设，进而根据即可求出t，从而即可得到点P的横坐标。
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2024九下·邯郸模拟）按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）
（1）当输入的数是10时，请求出输出的结果；
（2）当输入的数是x时，经过第二次运算，结果即符合要求
【答案】（1）解：由题意得，2×10﹣4＝20﹣5＝16，
∵16＞10，
∴输出的结果是16；
（2）解：由题意得，
，
解得＜x≤7，
∴x的最小整数值是6．
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-程序框图
【解析】【分析】（1）根据题意代入数据计算即可求解；
（2）根据题意得到不等式组，进而解不等式组即可求解。
21．（2024九下·邯郸模拟）在矩形ABCD中，AB的长度为a，BC的长度为b（a＜b），将矩形ABCD进行如图所示顺序的折叠．第三步折叠后，点C与点D的对应点分别为C'，D'．
（1）①若点C'落在点D'下方，则C'D'＝ ▲ ；（用含a，b的代数式表示）
②若点C'，D'重合，求的值；
（2）如果b的值保持不变，改变a的值，且点C'始终落在点D'下方．若四边形C'D'EF的面积的最大值为3 ，求b的值．
【答案】（1）解：①3a﹣2b；
②若点C'，D'重合，
∴5a﹣2b＝0，5a＝2b，
∴＝．
（2）解：
，
若四边形的面积的最大值为3，即，
（负值舍去）．
【知识点】二次函数的最值；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①由折叠得，
，
若点落在点下方，
则；
故答案为：3a﹣2b；
【分析】（1）①先根据折叠的性质得到，进而即可得到，再结合题意即可表示出C'D'；
②根据题意得到5a﹣2b＝0，5a＝2b，进而化简即可求解；
（2）根据四边形的面积得到，进而代入即可得到，再根据二次函数的最值即可求解。
22．（2024九下·邯郸模拟）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为　 　；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【答案】（1）
（2）解：树状图如下：
由上可得，一共有16种等可能性，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，
∴从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解；
（2）根据题意画树状图，进而得到一共有16种等可能性，进而根据等可能事件的概率即可求解。
23．（2024九下·邯郸模拟）某校“综合与实践”小组的同学把“民心河护坡的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度 （结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41）．
课题 民心河护坡的调研与计算
调查方式 资料查阅、实地查看了解
调查内容 功能 护坡是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
材料 所需材料为石料、混凝土等
护坡时剖面图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD=135°，∠EDC=60°，ED=6m，AE=1.5m，CD=3.5m.
　 计算结果 …
… …
【答案】解：过点E作EF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AE＝FG＝1.5m，AG＝EF，
在Rt△EFD中，ED＝5m，
∴EF＝ED sin60°＝6×＝3，
DF＝ED cos60°＝5×＝5（cm），
∴AG＝EF＝3（m），
∵CD＝4.5m，
∴CG＝FG+DF﹣CD＝1.6+3﹣3.5＝1（m），
∵∠BCD＝135°，
∴∠BCG＝180°﹣∠BCD＝45°，
在Rt△BCG中，BG＝CG tan45°＝1（m），≈1.4（m），
∴AB＝AG﹣BG＝8﹣1≈4.2（m），
∴BC的长度约为1.7m，AB的长度约为4.2m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点E作EF⊥CD，垂足为F，先根据题意得到AE＝FG＝1.5m，AG＝EF，进而解直角三角形求出EF和DF，从而即可得到AG和EF，再结合题意求出∠BCG的度数，再解直角三角形即可得到BG和BC，最后根据AB=AG-BG即可求解。
24．（2024九下·邯郸模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，A（2，2），AC∥y轴，AC=AB=2，抛物线 L：y＝﹣（t＞0）的顶点为M，与y轴交点为N．
（1）设P为BC中点，直接写出直线AP的函数表达式：　 　．
（2）求点N最高时的坐标；
（3）抛物线有可能经过点C吗？请说明理由；
（4）在L的位置随t的值变化而变化的过程中，求点M在△ABC内部所经过路线的长．
【答案】（1）y＝x
（2）解：当时，
即的最大值为，
点最高时的坐标为；
（3）解：不可能，理由如下：
把点C（2，4）代入，
得，
化简为t2﹣8t+12＝0，
∵△＝（﹣6）2﹣4×1×12＜5，
∴方程没有实数根，
即抛物线不可能经过点C；
（4）解：由，知顶点，
在的位置随的值变化而变化的过程中，点都在直线上移动，且经过直线上的点，，
点在内部所经过路线的长为的长度，
即点在内部所经过路线的长为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）∵，，轴，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
又为的中点，
∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，
代入，得，，解得：，
∴直线的函数表达式为，
故答案为：；
【分析】（1）先根据题意得到点B和点C的坐标，进而根据中点坐标得到点P的坐标，从而根据待定系数法即可求出直线AP的函数解析式；
（2）根据二次函数的最值结合题意即可求解；
（3）根据题意将点C代入函数解析式，化简得一元二次方程的一般式，根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（4）根据题意得到的位置随的值变化而变化的过程中，点都在直线上移动，且经过直线上的点，，进而结合题意得到点在内部所经过路线的长为的长度，从而根据坐标系中两点间的距离公式即可求解。
25．（2024九下·邯郸模拟）如图，一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB=1500m，BC=300m，CD=2000m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上，已知火车甲沿AB方向匀速行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10s，火车甲通过隧道的时间是20s，如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶的时间为x s，车头与点B的距离是y m.
（1）火车甲的速度和火车甲的长度；
（2）求y关于x的函数解析式（写出x的取值范围），并求当x为何值时，车头差500米到达D点．
（3）若长度相等的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲乙不在隧道内会车（会车时两车均不在隧道内），火车甲先进隧道，当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过地点多少？若不能到达，至少距离D点多少m？
【答案】（1）解：设火车甲的速度是a m/s，火车甲的长是b m，
由是题意得：，
解得：，
答：火车甲的速度是30m/s，火车甲的长是300m；
（2）解：当车头到达B点前，即x＜40时；
当车头在B点时，y＝0，
当车头经过B点后，即x＞40时，
y＝（x﹣40）×30＝30x﹣1200，
综上，y＝，
当车头差500米未到达D点时，y＝1800，
解得：x＝100，
所以当x＝100时，车头差500米未到达D点；
（3）解：火车甲从车头到达点，到车尾离开隧道，共用时，
因此要使两列火车不在隧道内会车，则当火车甲车头到达点时，火车乙的车头距点至少要有的车程，也就是，
，
所以当火车甲车头到达点时，火车乙车头不能到达点， 至少距离点．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设火车甲的速度是a m/s，火车甲的长是b m，进而根据题意即可列出二元一次方程组，从而解方程组即可求解；
（2）分类车头到达B点前、车头在B点时、车头经过B点后三种情况写函数解析式，并求出y= 1800时x的值即可；
（3）先根据题意求出火车甲从车头到达点，到车尾离开隧道的用时，进而要使两列火车不在隧道内会车，则当火车甲车头到达点时，火车乙的车头距点至少要有的车程，也就是，从而相减即可求解。
26．（2024九下·邯郸模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点O在射线AC上（点O不与点A重合），过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径画半圆O，分别交射线AC于E、F两点，设OD=x.
（1）如图1，当点O为AC边的中点时，求x的值；
（2）如图2，当点O与点C重合时，连接DF，求弦DF的长；
（3）当半圆O与BC无交点时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB＝10，
根据勾股定理得，，
∵点O为AC边的中点，
∴AO＝AC＝，
∵OD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADO＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ABC．
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图2，∵点O与点C重合，
∴S△ABC＝OD AB＝，
即10x＝8×6，
∴．
过点D作DH⊥AC于H，
∴∠DHO＝∠ACB＝90°，
∴∠DOH+∠BOD＝∠BOD+∠ABC，
∴∠DOH＝∠ABC，
∴△DOH∽△ABC．
∴，
∴，
∴，．
∵OF＝OD＝，
∴FH＝OH+OF＝．
∴在Rt△DFH中，根据勾股定理得，
∴
（3）解：满足条件的x取值范围为：0＜x＜3或x＞12．
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（3）解：当点O在边AC上，且半圆O与AB相切，如图3﹣1，
∴OC＝OD＝x，
∴AO＝AC﹣OC＝2﹣x，
∵∠ADO＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴，
∴，
∴x＝6，
∴0＜x＜3，
当点O在AC的延长线上，且半圆O与AB相切，如图5﹣2，
∴OC＝OD＝x，
∴AO＝AC+OC＝8+x，
∵∠ADO＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴，
∴，
∴x＝12，
即满足条件的x取值范围为：0＜x＜3或x＞12．
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC，进而根据中点得到AO＝AC＝，再根据垂直等量代换得到∠ADO＝∠ACB，从而根据相似三角形的判定与性质证明△AOD∽△ABC得到，再代入即可求解；
（2）先根据三角形的面积求出x，过点D作DH⊥AC于H，进而根据题意等量代换得到∠DOH＝∠ABC，再根据相似三角形的判定与性质证明△DOH∽△ABC得到，从而代入数值得到，．再结合题意求出FH，在Rt△DFH中运用勾股定理即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当点O在边AC上，且半圆O与AB相切，当点O在AC的延长线上，且半圆O与AB相切，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解。
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