山东省济宁市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（2024·济宁）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：﹣3的绝对值是3.
故答案为：A.
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可求出已知数的相反数.
2．（2024·济宁）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ）
A．人 B．才 C．强 D．国
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图可知设的对面是才，人的对面是强，建的对面是国.
故答案为：D.
【分析】正方体的表面展开图，相对的一面一定相隔一个正方形，例如：设的对面是才.
3．（2024·济宁）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不能计算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断；然后利用二次根式的性质：，可对D作出判断.
4．（2024·济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴OE是AB边的中线，
∴AB=2OE=2×3=6，
∴菱形的边长为6.
故答案为：A.
【分析】利用菱形的对角线互相垂直，可证得AC⊥BD，可推出△AOB是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长，即可得到菱形的边长.
5．（2024·济宁）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查
B．喜爱动画节目的同学最多
C．喜爱戏曲节目的同学有6名
D．“体育”对应扇形的圆心角为72°
【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A、∵班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示），
∴班主任采用的是全面调查，故A不符合题意；
B、∵36％＞30％＞20％＞8％＞6％，
∴喜爱娱乐节目的同学最多，故B不符合题意；
C、最喜欢戏曲节目的人数为：50×6％=3人，故C不符合题意；
D、“体育”对应扇形的圆心角为360°×20％=72°，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知班主任采用的是全面调查，可对A作出判断；观察扇形统计图根据各部分所占的百分比，可对B作出判断；用50×喜欢戏曲的人数所占的百分比，可求出喜爱戏曲节目的同学的人数，可对C作出判断；用360°×喜爱体育的人数所占的百分比，列式计算可对D作出判断.
6．（2024·济宁）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接OC，OB，过点O作OG⊥BC于点G，
∴∠OGC=90°，CG=BC=1，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠BOC=×360°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCG=60°，BC=OC=2，
在Rt△OGC中
OG=CG·tan∠OCG=1×tan60°=.
故答案为：D.
【分析】连接OC，OB，过点O作OG⊥BC于点G，利用垂直的定义和垂径定理可求出CG的长，∠OGC=90°，利用正六边形的性质可推出△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠OCG=60°，BC=OC=2；在Rt△OGC中，利用解直角三角形求出OG的长，即可求解.
7．（2024·济宁）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数y（k＜0），
∴图象经过二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，
∴y2＞y1＞0，y3＜0，
∴y3＜y1＜y2.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数y的性质，当k＜0时在每一个象限内，y随x的增大而增大；当k＞0时在每一个象限内，y随x的增大而减小，利用三个点的横坐标，可得到：y2＞y1＞0，y3＜0，据此可得到y1，y2，y3的大小关系 .
8．（2024·济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5
C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5
【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：将原方程组转化为
去分母得：2（1-3x）+2=-5即2-6x+2=-5.
故答案为：A.
【分析】先将原方程变形，再在方程的同时乘以2（1-3x），去掉分母，将分式方程转化为整式方程.
9．（2024·济宁）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（ ）
A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD、∠EBC分别是△EBC和△ABF的一个外角，
∠EBC=∠A+∠F，∠BCD=∠E+∠EBC，
∴∠BCD=∠E+∠A+∠F，
∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，
∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，
解之：∠A=41°.
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可证得∠A+∠BCD=180°，利用三角形外角的性质可推出∠BCD=∠E+∠A+∠F，然后代入可得到关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数即可.
10．（2024·济宁）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90 B．91 C．92 D．93
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第一幅图有12=1个正方形，
第二幅图正方形的个数为1+22，
第三幅图正方形的个数为1+22+32=14；
第四幅图正方形的个数为1+22+32+42=30；
第n幅图正方形的个数为1+22+32+42++n2；
∴第六幅图正方形的个数为1+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91；
故答案为：B.
【分析】观察图形中正方形的放置规律可知第一幅图有1个正方形；第二幅图正方形的个数为1+22；第三幅图正方形的个数为1+22+32=14按此规律可得到第n幅图正方形的个数，据此可求出第六幅图正方形的个数.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2024·济宁）我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为．将数用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：250000=2.5×105；
故答案为：2.5×105.
【分析】根据科学记数法的表示形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值大于1与小数点移动的位数相同即可求解.
12．（2024·济宁）已知a2﹣2b+1＝0，则的值是 ．
【答案】2
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2b+1=0，
∴a2+1=2b，
∴
故答案为：2.
【分析】将原方程转化为a2+1=2b，然后整体代入求值即可.
13．（2024·济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
【答案】OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：若添加：OB=OD，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
若添加：AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△BCO（ASA）
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
若添加AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD（ASA）
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD.
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以添加：OB=OD；若添加：AD∥BC，利用平行线的性质可推出∠DAO=∠BCO，利用ASA可证得△AOD≌△BCO，利用全等三角形的对应边线段，可证得OB=OD，据此可证得四边形ABCD是平行四边形；若添加AB∥CD，同理可证得四边形ABCD是平行四边形；综上所述可得答案.
14．（2024·济宁）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥3
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y＝x2﹣6x+12=（x-3）2+3，
∵ 将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度，
∴平移后的函数解析式为y=（x-3）2+3-k=x2-6x+12-k，
∵ 若平移后得到的抛物线与x轴有公共点 ，
∴b2-4ac≥0即36-4（12-k）≥0
解之：k≥3.
故答案为：k≥3.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到平移后的函数解析式为y=x2-6x+12-k，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点 ，可证得b2-4ac≥0，据此可得到关于k的不等式，解方程求出k的取值范围.
15．（2024·济宁）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
⑴以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．
⑵以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．
⑶以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
⑷画射线AH．
⑸以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．
⑹连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 .（只填序号）
①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN MB．
【答案】①②⑤
【知识点】四边形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-90°）=45°，
∵AD平分∠BAC，
∴AD是△ABC的中线和高线，
∴AD=DB=DC=BC，故①正确；
∴∠ADC=90°，∠DAC=45°，
∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
∴∠ABD=∠MAC=45°，
∴∠DAM=∠DAC+∠CAM=45°+45°=90°，
∴AM//BC.
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．
∴BC=BM，
过点M作MS⊥BC于点S，
∴∠MSB=90°，
∴四边形ADSM是矩形，
∴AD=MS，
∴MS=BM，
∴∠MBS=30°，
∴∠ABM=∠ABC-∠MBS=45°-30°=15°，故②正确；
在△BPD中，∠BDP=90°，∠PBD=30°，
∴∠APN=∠BPD=90°-30°=60°，
∵AM∥BC，
∴∠AMN=∠MBP=30°，
∴∠ANP=∠MAC+∠AMN=30°+45°=75°，
∴∠ANP≠∠APN，故③错误；
设AP=x，AD=y，则PD=y-x，
∴，
∴
解之：，
∴，故④错误
∵∠MAC=45°，∠AMB=30°，
∴∠CNM=∠MAN+∠AMB=45°+30°=75°，
∴∠CNM=∠CMN=75°=∠AMC=∠BCM，
∴MC=CN，
∴△BMC∽△CMN，
∴
∴MC2＝MN MB．故⑤正确；
∴正确结论的序号为①②⑤.
故答案为：①②⑤.
【分析】利用已知可证得△ABC是等腰直角三角形，可求出∠ABC的度数，同时可证得AD是△ABC的中线和高线，可得到AD=DB=DC=BC，∠ADC=90°，∠DAC=45°，可对①作出判断；利用作图可证得BC=BM，∠ABD=∠MAC=45°，可推出∠DAM=90°，过点M作MS⊥BC于点S，可证四边形ADSM是矩形，利用矩形的性质可推出AD=MS=BM，可证得∠MBS=30°，根据∠ABM=∠ABC-∠MBS，代入计算可求出∠ABM的度数，可对②作出判断；再分别求出∠APN和∠ANP的度数，可对③作出判断；设AP=x，AD=y，则PD=y-x，利用解直角三角形可表示出AM、PD的长，由此可得到AD的长，再求出AM与AD的比值，可对④作出判断；然后证明CN=CM，△BMC∽△CMN，利用相似三角形的性质可证得MC2＝MN MB，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．（2024·济宁）先化简，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝2．
【答案】解：原式＝（xy﹣4x2）+（4x2﹣y2）
＝xy﹣4x2+4x2﹣y2
＝xy﹣y2，
当，y＝2时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用单项式乘以多项式的法则和平方差公式，先去括号，再合并同类项；然后将x，y的值代入化简后的代数式进行计算即可.
17．（2024·济宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．
（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点B1的坐标为（3，2）．
（2）解：如图，△A2B1C2即为所求．
点C1运动到点C2所经过的路径长为π．
【知识点】点的坐标；弧长的计算；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用点的坐标平移规律及已知条件，将△ABC向下平移2个单位长度可得到对应点A1、B1、C1的位置，然后画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标.
（2）利用旋转的性质，将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°可得到对应点A2、B1、C2的位置，然后画出△A2B1C2；利用旋转可知点C1运动到点C2所经过的路径是以点B1为圆心， B1C1为半径的弧长，然后利用弧长公式进行计算.
18．（2024·济宁）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分数 80 85 90 95 100
人数 3 3 a b 3
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 m n 95 41.5
八年级（3）班 91 90 p 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝ ，n＝ ；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
【答案】（1）解： 八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
90分的有7人，95分的有6人
补全条形统计图，如图所示：
（2）91；92.5
（3）我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为：
八年级（3）班的众数为90分，比较可知：平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，故八年级（1）班成绩更好一些；
（4）八年级（1）班三位满分同学记作1，2，3，（3）班两位同学满分记作4，5，
列表如下：
1 2 3 4 5
1 ﹣﹣﹣ （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） ﹣﹣﹣ （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） ﹣﹣﹣ （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） ﹣﹣﹣ （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（4，5），（5，4）共8种，
则P（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（2）八年级（1）班20名学生成绩从小到大排列：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，
处于最中间的两个数是90、95，
∴这组数据的中位数是n=（90+95）=92.5；
平均数m=
故答案为：91；92.5.
【分析】（1）利用已知八年级（3）班的学生的成绩，可得到90分和95分的人数，再补全条形统计图.
（2）将八年级（1）班20名学生成绩从小到大排列，可得到最中间的两个数，然后求出这组数据的中位数；再利用加权平均数公式求出这组数据的平均数.
（3）根据题意，列表，可得到所有的可能的结果数及所抽取的2名学生恰好在同一个班的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（4）根据八年级（1）班三位满分同学记作1，2，3，（3）班两位同学满分记作4，5，再列表，可得到所有等可能的结果数及所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况数，然后利用概率公式进行计算即可.
19．（2024·济宁）如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
（1）若AB＝8，求AE的长；
（2）求证：EB是⊙O的切线．
【答案】（1）解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，
即∠EAD＝∠BAC，
又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACB（ASA），
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝8；
（2）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFB+∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠ABF＝90°，
在△ADC中，AD＝AC，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴2∠ACB+∠CAD＝180°，
由（1）知AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴2∠ABE+∠BAE＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠ACB＝∠ABE，
∴∠ABE+∠ABF＝90°，
即∠OBE＝90°，
∵OB为半径，
∴EB是⊙O的切线．
【知识点】三角形全等及其性质；圆的综合题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用∠BAE＝∠CAD可推出∠EAD＝∠BAC，利用ASA可证得△ADE≌△ACB，利用全等三角形的性质可知AE=AB，即可求出AE的长.
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，利用直径所对的圆周角是直角可证得∠BAF=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠AFB+∠ABF=90°，再利用圆周角定理可证得∠AFB=∠ACB，由此可推出∠ACB+∠ABF＝90°；再利用等边对等角可推出2∠ACB+∠CAD＝180°，同时可证得2∠ABE+∠BAE＝180°，由∠BAE=∠CAD，可推出∠ACB=∠ABE，可证得∠ABE+∠ABF＝90°，即可推出∠OBE=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.
20．（2024·济宁）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为y＝kx+b，
又过（100，300），（120，200），
∴．
∴．
∴所求函数解析式为y＝﹣5x+800．
（2）由题意得，，
∴100≤x≤116．
∵商场获得的利润＝（x﹣80）（﹣5x+800）
＝﹣5x2+1200x﹣64000
＝﹣5（x﹣120）2+8000，
又﹣5＜0，100≤x≤116，
∴当x＝116时，利润最大，最大值为7920．
答：当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是7920元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由函数图象可知此函数是一次函数，且图象经过（100，300），（120，200），设一次函数的解析式为y＝kx+b再将这两点的坐标分别代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到y与x的函数解析式.
（2）根据已知条件：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集；再求出商场获得的利润与x的函数解析式，利用二次函数的性质可求解.
21．（2024·济宁）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连接GF．
（1）【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
乙同学的结论
请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
（2）【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．
第五步，连接FM交GP于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
FN AM＝GN AD．
请证明这个结论．
【答案】（1）解：甲同学和乙同学的结论都正确，证明如下，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，
∵折叠，
∴∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，
∴四边形AEFD是矩形，
∴四边形AEFD是正方形；
故甲同学的结论正确．
作GK⊥AF，
设AE＝2x，则AG＝EG＝x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴∠EAF＝45°，
∴AF＝2x，AK＝KGAGx，
∴FK＝AF﹣AKx，
∴tan∠AFG；
故乙同学的说法也正确．
（2）证明：过G作GQ⊥PM交延长线于点Q，
∵折叠，
∴FP＝PM，FG＝GM，GH＝GQ，∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ，
∵AB∥CD，
∴∠FPG＝∠PGM，
∴∠PGM＝∠MPG，
∴PM＝GM，
∴PF＝GM＝PM＝FG，
∴四边形FGMP是菱形，
∴∠FNG＝90°，
∵∠GQP＝90°＝∠FNG，∠FGN＝∠GPQ，
∴△GFN∽△PGQ，
∴，
∴FN PQ＝GN GQ，
∵AM＝AG+GM＝HF+FP＝PH，
∴AM＝PQ，
∵GQ＝GH＝AD，
∴FN AM＝GN AD．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得∠D=∠BAD=90°，再利用折叠的性质可证∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，由此可推出四边形AEFD是正方形，可对甲的结论作出判断；作GK⊥AF，设AE＝2x，则AG＝EG＝x，利用正方形的性质可证得∠EAF=45°，利用解直角三角形分别表示出AF，AK，FK的长，然后利用正切的定义可求出tan∠AFG的值，可对乙的结论作出判断.
（2）过G作GQ⊥PM交延长线于点Q，利用折叠的性质可证得FP＝PM，FG＝GM，GH＝GQ，∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ，利用平行线的性质去证明∠PGM=∠MPG，可推出PF＝GM＝PM＝FG，于是可证得四边形FGMP是菱形，利用菱形的对角线互相垂直可得∠FNG＝90°，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△GFN∽△PGQ，利用相似三角形的性质可推出FN PQ＝GN GQ；再证明AM=PH，可推出AM=PQ，由GQ＝GH＝AD，可证得结论.
22．（2024·济宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵函数过（0，﹣3），（﹣b，c）
∴c＝﹣3，ab2﹣b2+c＝c，
∴（a﹣1）b2＝0，
∵ab＞0，
∴a≠0，b≠0，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1．
（2）解：①由（1）知该函数的解析式为：
∵a＝1＞0，
∴当时，函数最小值为，
∵二次函数最小值为﹣4，
∴4，
解得b＝±2，
∵ab＞0，
∴b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0）．
②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0），
∴OA＝OC＝3，OB＝1，
∴AB＝OA+OB＝4，AC＝3，
∵S△ABC，
∴BF2，
∵△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，
∴，
∴PG，
过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，则CK＝PG，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝45°，
∴∠CHK＝45°，
∴CHCK，
∴OH，
∴点H坐标（0，），
∴直线PH解析式为y＝﹣x，
联立方程组可得，
解得，，
∴P点坐标为（，）或（，）．
Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H，
同第一种情况的方法可得H（0，）
∴直线PH解析式为y＝﹣x，
联立方程组得，
解得（舍），，
∴P点坐标为（，）．
综上所述，P点坐标为（，）或（，）或（，）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）分别将点（0，﹣3），（﹣b，c）代入函数解析式，可推出（a﹣1）b2＝0，由ab＞0，可得到a-1=0，然后求出a的值.
（2）①将函数解析式转化为顶点式，利用a＞0，可得到当x时，函数最小值为y，根据二次函数的最小值为-4，可求出符合题意的b的值，由此可得到二次函数解析式，由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A、B的坐标；
（2）②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G，利用点A、B、C的坐标分别求出OA=OC、OB的值，可得到AB的长，利用勾股定理求出AC的长；再利用三角形的面积公式可求出BF的长，根据△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，可求出PG的长；过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，利用解直角三角形求出CH、OH的长，可得到点H的值，利用待定系数法求出直线PH的函数解析式，将其函数解析式与二次函数解析式联立方程组，解方程组可求出方程组的解，即可得到点P的坐标；Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H，同理可得到点H的坐标和直线PH的函数解析式，将其函数解析式和二次函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
1 / 1山东省济宁市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（2024·济宁）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．
2．（2024·济宁）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ）
A．人 B．才 C．强 D．国
3．（2024·济宁）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2024·济宁）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查
B．喜爱动画节目的同学最多
C．喜爱戏曲节目的同学有6名
D．“体育”对应扇形的圆心角为72°
6．（2024·济宁）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（2024·济宁）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
8．（2024·济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5
C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5
9．（2024·济宁）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（ ）
A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
10．（2024·济宁）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90 B．91 C．92 D．93
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2024·济宁）我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为．将数用科学记数法表示为 ．
12．（2024·济宁）已知a2﹣2b+1＝0，则的值是 ．
13．（2024·济宁）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
14．（2024·济宁）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
15．（2024·济宁）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
⑴以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．
⑵以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．
⑶以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
⑷画射线AH．
⑸以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．
⑹连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 .（只填序号）
①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN MB．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．（2024·济宁）先化简，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝2．
17．（2024·济宁）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．
（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
18．（2024·济宁）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分数 80 85 90 95 100
人数 3 3 a b 3
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 m n 95 41.5
八年级（3）班 91 90 p 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝ ，n＝ ；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
19．（2024·济宁）如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
（1）若AB＝8，求AE的长；
（2）求证：EB是⊙O的切线．
20．（2024·济宁）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
21．（2024·济宁）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连接GF．
（1）【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
乙同学的结论
请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
（2）【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．
第五步，连接FM交GP于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
FN AM＝GN AD．
请证明这个结论．
22．（2024·济宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：﹣3的绝对值是3.
故答案为：A.
【分析】利用负数的绝对值等于它的相反数，可求出已知数的相反数.
2．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图可知设的对面是才，人的对面是强，建的对面是国.
故答案为：D.
【分析】正方体的表面展开图，相对的一面一定相隔一个正方形，例如：设的对面是才.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不能计算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断；然后利用二次根式的性质：，可对D作出判断.
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴OE是AB边的中线，
∴AB=2OE=2×3=6，
∴菱形的边长为6.
故答案为：A.
【分析】利用菱形的对角线互相垂直，可证得AC⊥BD，可推出△AOB是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长，即可得到菱形的边长.
5．【答案】D
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A、∵班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示），
∴班主任采用的是全面调查，故A不符合题意；
B、∵36％＞30％＞20％＞8％＞6％，
∴喜爱娱乐节目的同学最多，故B不符合题意；
C、最喜欢戏曲节目的人数为：50×6％=3人，故C不符合题意；
D、“体育”对应扇形的圆心角为360°×20％=72°，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知班主任采用的是全面调查，可对A作出判断；观察扇形统计图根据各部分所占的百分比，可对B作出判断；用50×喜欢戏曲的人数所占的百分比，可求出喜爱戏曲节目的同学的人数，可对C作出判断；用360°×喜爱体育的人数所占的百分比，列式计算可对D作出判断.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接OC，OB，过点O作OG⊥BC于点G，
∴∠OGC=90°，CG=BC=1，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠BOC=×360°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCG=60°，BC=OC=2，
在Rt△OGC中
OG=CG·tan∠OCG=1×tan60°=.
故答案为：D.
【分析】连接OC，OB，过点O作OG⊥BC于点G，利用垂直的定义和垂径定理可求出CG的长，∠OGC=90°，利用正六边形的性质可推出△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠OCG=60°，BC=OC=2；在Rt△OGC中，利用解直角三角形求出OG的长，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数y（k＜0），
∴图象经过二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，
∴y2＞y1＞0，y3＜0，
∴y3＜y1＜y2.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数y的性质，当k＜0时在每一个象限内，y随x的增大而增大；当k＞0时在每一个象限内，y随x的增大而减小，利用三个点的横坐标，可得到：y2＞y1＞0，y3＜0，据此可得到y1，y2，y3的大小关系 .
8．【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：将原方程组转化为
去分母得：2（1-3x）+2=-5即2-6x+2=-5.
故答案为：A.
【分析】先将原方程变形，再在方程的同时乘以2（1-3x），去掉分母，将分式方程转化为整式方程.
9．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD、∠EBC分别是△EBC和△ABF的一个外角，
∠EBC=∠A+∠F，∠BCD=∠E+∠EBC，
∴∠BCD=∠E+∠A+∠F，
∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，
∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，
解之：∠A=41°.
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可证得∠A+∠BCD=180°，利用三角形外角的性质可推出∠BCD=∠E+∠A+∠F，然后代入可得到关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数即可.
10．【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第一幅图有12=1个正方形，
第二幅图正方形的个数为1+22，
第三幅图正方形的个数为1+22+32=14；
第四幅图正方形的个数为1+22+32+42=30；
第n幅图正方形的个数为1+22+32+42++n2；
∴第六幅图正方形的个数为1+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91；
故答案为：B.
【分析】观察图形中正方形的放置规律可知第一幅图有1个正方形；第二幅图正方形的个数为1+22；第三幅图正方形的个数为1+22+32=14按此规律可得到第n幅图正方形的个数，据此可求出第六幅图正方形的个数.
11．【答案】
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：250000=2.5×105；
故答案为：2.5×105.
【分析】根据科学记数法的表示形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值大于1与小数点移动的位数相同即可求解.
12．【答案】2
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2b+1=0，
∴a2+1=2b，
∴
故答案为：2.
【分析】将原方程转化为a2+1=2b，然后整体代入求值即可.
13．【答案】OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：若添加：OB=OD，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
若添加：AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△BCO（ASA）
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
若添加AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD（ASA）
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD.
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以添加：OB=OD；若添加：AD∥BC，利用平行线的性质可推出∠DAO=∠BCO，利用ASA可证得△AOD≌△BCO，利用全等三角形的对应边线段，可证得OB=OD，据此可证得四边形ABCD是平行四边形；若添加AB∥CD，同理可证得四边形ABCD是平行四边形；综上所述可得答案.
14．【答案】k≥3
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y＝x2﹣6x+12=（x-3）2+3，
∵ 将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度，
∴平移后的函数解析式为y=（x-3）2+3-k=x2-6x+12-k，
∵ 若平移后得到的抛物线与x轴有公共点 ，
∴b2-4ac≥0即36-4（12-k）≥0
解之：k≥3.
故答案为：k≥3.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到平移后的函数解析式为y=x2-6x+12-k，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点 ，可证得b2-4ac≥0，据此可得到关于k的不等式，解方程求出k的取值范围.
15．【答案】①②⑤
【知识点】四边形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-90°）=45°，
∵AD平分∠BAC，
∴AD是△ABC的中线和高线，
∴AD=DB=DC=BC，故①正确；
∴∠ADC=90°，∠DAC=45°，
∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
∴∠ABD=∠MAC=45°，
∴∠DAM=∠DAC+∠CAM=45°+45°=90°，
∴AM//BC.
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．
∴BC=BM，
过点M作MS⊥BC于点S，
∴∠MSB=90°，
∴四边形ADSM是矩形，
∴AD=MS，
∴MS=BM，
∴∠MBS=30°，
∴∠ABM=∠ABC-∠MBS=45°-30°=15°，故②正确；
在△BPD中，∠BDP=90°，∠PBD=30°，
∴∠APN=∠BPD=90°-30°=60°，
∵AM∥BC，
∴∠AMN=∠MBP=30°，
∴∠ANP=∠MAC+∠AMN=30°+45°=75°，
∴∠ANP≠∠APN，故③错误；
设AP=x，AD=y，则PD=y-x，
∴，
∴
解之：，
∴，故④错误
∵∠MAC=45°，∠AMB=30°，
∴∠CNM=∠MAN+∠AMB=45°+30°=75°，
∴∠CNM=∠CMN=75°=∠AMC=∠BCM，
∴MC=CN，
∴△BMC∽△CMN，
∴
∴MC2＝MN MB．故⑤正确；
∴正确结论的序号为①②⑤.
故答案为：①②⑤.
【分析】利用已知可证得△ABC是等腰直角三角形，可求出∠ABC的度数，同时可证得AD是△ABC的中线和高线，可得到AD=DB=DC=BC，∠ADC=90°，∠DAC=45°，可对①作出判断；利用作图可证得BC=BM，∠ABD=∠MAC=45°，可推出∠DAM=90°，过点M作MS⊥BC于点S，可证四边形ADSM是矩形，利用矩形的性质可推出AD=MS=BM，可证得∠MBS=30°，根据∠ABM=∠ABC-∠MBS，代入计算可求出∠ABM的度数，可对②作出判断；再分别求出∠APN和∠ANP的度数，可对③作出判断；设AP=x，AD=y，则PD=y-x，利用解直角三角形可表示出AM、PD的长，由此可得到AD的长，再求出AM与AD的比值，可对④作出判断；然后证明CN=CM，△BMC∽△CMN，利用相似三角形的性质可证得MC2＝MN MB，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
16．【答案】解：原式＝（xy﹣4x2）+（4x2﹣y2）
＝xy﹣4x2+4x2﹣y2
＝xy﹣y2，
当，y＝2时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用单项式乘以多项式的法则和平方差公式，先去括号，再合并同类项；然后将x，y的值代入化简后的代数式进行计算即可.
17．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点B1的坐标为（3，2）．
（2）解：如图，△A2B1C2即为所求．
点C1运动到点C2所经过的路径长为π．
【知识点】点的坐标；弧长的计算；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用点的坐标平移规律及已知条件，将△ABC向下平移2个单位长度可得到对应点A1、B1、C1的位置，然后画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标.
（2）利用旋转的性质，将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°可得到对应点A2、B1、C2的位置，然后画出△A2B1C2；利用旋转可知点C1运动到点C2所经过的路径是以点B1为圆心， B1C1为半径的弧长，然后利用弧长公式进行计算.
18．【答案】（1）解： 八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
90分的有7人，95分的有6人
补全条形统计图，如图所示：
（2）91；92.5
（3）我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为：
八年级（3）班的众数为90分，比较可知：平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，故八年级（1）班成绩更好一些；
（4）八年级（1）班三位满分同学记作1，2，3，（3）班两位同学满分记作4，5，
列表如下：
1 2 3 4 5
1 ﹣﹣﹣ （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） ﹣﹣﹣ （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） ﹣﹣﹣ （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） ﹣﹣﹣ （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（4，5），（5，4）共8种，
则P（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（2）八年级（1）班20名学生成绩从小到大排列：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，
处于最中间的两个数是90、95，
∴这组数据的中位数是n=（90+95）=92.5；
平均数m=
故答案为：91；92.5.
【分析】（1）利用已知八年级（3）班的学生的成绩，可得到90分和95分的人数，再补全条形统计图.
（2）将八年级（1）班20名学生成绩从小到大排列，可得到最中间的两个数，然后求出这组数据的中位数；再利用加权平均数公式求出这组数据的平均数.
（3）根据题意，列表，可得到所有的可能的结果数及所抽取的2名学生恰好在同一个班的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（4）根据八年级（1）班三位满分同学记作1，2，3，（3）班两位同学满分记作4，5，再列表，可得到所有等可能的结果数及所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况数，然后利用概率公式进行计算即可.
19．【答案】（1）解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，
即∠EAD＝∠BAC，
又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACB（ASA），
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝8；
（2）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFB+∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠ABF＝90°，
在△ADC中，AD＝AC，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴2∠ACB+∠CAD＝180°，
由（1）知AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴2∠ABE+∠BAE＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠ACB＝∠ABE，
∴∠ABE+∠ABF＝90°，
即∠OBE＝90°，
∵OB为半径，
∴EB是⊙O的切线．
【知识点】三角形全等及其性质；圆的综合题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用∠BAE＝∠CAD可推出∠EAD＝∠BAC，利用ASA可证得△ADE≌△ACB，利用全等三角形的性质可知AE=AB，即可求出AE的长.
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，利用直径所对的圆周角是直角可证得∠BAF=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠AFB+∠ABF=90°，再利用圆周角定理可证得∠AFB=∠ACB，由此可推出∠ACB+∠ABF＝90°；再利用等边对等角可推出2∠ACB+∠CAD＝180°，同时可证得2∠ABE+∠BAE＝180°，由∠BAE=∠CAD，可推出∠ACB=∠ABE，可证得∠ABE+∠ABF＝90°，即可推出∠OBE=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.
20．【答案】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为y＝kx+b，
又过（100，300），（120，200），
∴．
∴．
∴所求函数解析式为y＝﹣5x+800．
（2）由题意得，，
∴100≤x≤116．
∵商场获得的利润＝（x﹣80）（﹣5x+800）
＝﹣5x2+1200x﹣64000
＝﹣5（x﹣120）2+8000，
又﹣5＜0，100≤x≤116，
∴当x＝116时，利润最大，最大值为7920．
答：当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是7920元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由函数图象可知此函数是一次函数，且图象经过（100，300），（120，200），设一次函数的解析式为y＝kx+b再将这两点的坐标分别代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到y与x的函数解析式.
（2）根据已知条件：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集；再求出商场获得的利润与x的函数解析式，利用二次函数的性质可求解.
21．【答案】（1）解：甲同学和乙同学的结论都正确，证明如下，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，
∵折叠，
∴∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，
∴四边形AEFD是矩形，
∴四边形AEFD是正方形；
故甲同学的结论正确．
作GK⊥AF，
设AE＝2x，则AG＝EG＝x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴∠EAF＝45°，
∴AF＝2x，AK＝KGAGx，
∴FK＝AF﹣AKx，
∴tan∠AFG；
故乙同学的说法也正确．
（2）证明：过G作GQ⊥PM交延长线于点Q，
∵折叠，
∴FP＝PM，FG＝GM，GH＝GQ，∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ，
∵AB∥CD，
∴∠FPG＝∠PGM，
∴∠PGM＝∠MPG，
∴PM＝GM，
∴PF＝GM＝PM＝FG，
∴四边形FGMP是菱形，
∴∠FNG＝90°，
∵∠GQP＝90°＝∠FNG，∠FGN＝∠GPQ，
∴△GFN∽△PGQ，
∴，
∴FN PQ＝GN GQ，
∵AM＝AG+GM＝HF+FP＝PH，
∴AM＝PQ，
∵GQ＝GH＝AD，
∴FN AM＝GN AD．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得∠D=∠BAD=90°，再利用折叠的性质可证∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，由此可推出四边形AEFD是正方形，可对甲的结论作出判断；作GK⊥AF，设AE＝2x，则AG＝EG＝x，利用正方形的性质可证得∠EAF=45°，利用解直角三角形分别表示出AF，AK，FK的长，然后利用正切的定义可求出tan∠AFG的值，可对乙的结论作出判断.
（2）过G作GQ⊥PM交延长线于点Q，利用折叠的性质可证得FP＝PM，FG＝GM，GH＝GQ，∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ，利用平行线的性质去证明∠PGM=∠MPG，可推出PF＝GM＝PM＝FG，于是可证得四边形FGMP是菱形，利用菱形的对角线互相垂直可得∠FNG＝90°，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△GFN∽△PGQ，利用相似三角形的性质可推出FN PQ＝GN GQ；再证明AM=PH，可推出AM=PQ，由GQ＝GH＝AD，可证得结论.
22．【答案】（1）解：∵函数过（0，﹣3），（﹣b，c）
∴c＝﹣3，ab2﹣b2+c＝c，
∴（a﹣1）b2＝0，
∵ab＞0，
∴a≠0，b≠0，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1．
（2）解：①由（1）知该函数的解析式为：
∵a＝1＞0，
∴当时，函数最小值为，
∵二次函数最小值为﹣4，
∴4，
解得b＝±2，
∵ab＞0，
∴b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0）．
②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0），
∴OA＝OC＝3，OB＝1，
∴AB＝OA+OB＝4，AC＝3，
∵S△ABC，
∴BF2，
∵△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，
∴，
∴PG，
过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，则CK＝PG，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝45°，
∴∠CHK＝45°，
∴CHCK，
∴OH，
∴点H坐标（0，），
∴直线PH解析式为y＝﹣x，
联立方程组可得，
解得，，
∴P点坐标为（，）或（，）．
Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H，
同第一种情况的方法可得H（0，）
∴直线PH解析式为y＝﹣x，
联立方程组得，
解得（舍），，
∴P点坐标为（，）．
综上所述，P点坐标为（，）或（，）或（，）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）分别将点（0，﹣3），（﹣b，c）代入函数解析式，可推出（a﹣1）b2＝0，由ab＞0，可得到a-1=0，然后求出a的值.
（2）①将函数解析式转化为顶点式，利用a＞0，可得到当x时，函数最小值为y，根据二次函数的最小值为-4，可求出符合题意的b的值，由此可得到二次函数解析式，由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A、B的坐标；
（2）②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G，利用点A、B、C的坐标分别求出OA=OC、OB的值，可得到AB的长，利用勾股定理求出AC的长；再利用三角形的面积公式可求出BF的长，根据△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，可求出PG的长；过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，利用解直角三角形求出CH、OH的长，可得到点H的值，利用待定系数法求出直线PH的函数解析式，将其函数解析式与二次函数解析式联立方程组，解方程组可求出方程组的解，即可得到点P的坐标；Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H，同理可得到点H的坐标和直线PH的函数解析式，将其函数解析式和二次函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
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