宁夏2024年中考数学试卷
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．（2024·宁夏）下列各数中，无理数是（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：-1是有理数，所以A不符合题意；
B：是有理数，所以B不符合题意；
C：，是有理数，所以C不符合题意；
D：是无理数，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据无理数的定义分别进行识别即可得出答案。
2．（2024·宁夏）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；负整数指数幂；积的乘方运算；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A：x3和x2不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B ：，所以B正确；
C：（3x）2=9x2，所以C不正确；
D：-5-3=-8，所以D不正确。
故答案为：B。
【分析】根据x3和x2不是同类项，不能合并，可得A不正确；根据负整数指数幂的性质可得B正确；根据积的乘方可得C不正确；根据有理数的减法运算可得D不正确。故而可得出答案。
3．（2024·宁夏）小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（ ）
A．南偏东方向 B．北偏西方向
C．南偏东方向 D．北偏西方向
【答案】A
【知识点】方位角；平行线的判定与性质的应用-求角度
4．（2024·宁夏）某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩(单位：次)如下表：
成绩 171及以下 172 173 174 175及以上
人数 3 8 6 5 2
则本次测试成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．172和172 B．172和173 C．173和172 D．173和173
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵3+8=11＜12，
∴中位数为173，
∵8最大，
∴众数为172.
故答案为：C。
【分析】根据中位数和众数的定义即可得出答案。
5．（2024·宁夏）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（ ）
A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解： 则最后一个小正方体应放在②号位置。
故答案为：B。
【分析】首先根据主视图可知小正方体应放在②④的位置，再根据左视图可知小正方体应放在①②位置，故而得出答案为最后一个小正方体应放在②号位置 。
6．（2024·宁夏）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；绝对值的非负性；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴a-3≥0，
∴a≥3.
故答案为：A.
【分析】首先根据绝对值的性质得出不等式a-3≥0，解得a的取值范围，结合解集在数轴上的正确表示方法即可得出答案。
7．（2024·宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设乙每小时做个盒子，根据题意 ，得：
。
故答案为：C。
【分析】 设乙每小时做个盒子，则可得出 甲每小时做盒子的数量是 2x个盒子，根据甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟， 即可得出方程，即可得出答案。
8．（2024·宁夏）如图，在Rt中，，点在直线上，点B，C在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为.
下列结论：
①当时，四边形ABCP的周长是10cm；
②当t=4s时，点到直线的距离等于5cm；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点运动过程中，线段DE的长度不变.
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【知识点】三角形-动点问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：①当时， AP=2，
∵BC=2cm，
∴AP=BC，
∵AP∥BC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴AB=PC=3cm。
∴ 四边形ABCP的周长=3×2+2×2=10（cm）；
故①正确；
②∵，
∴点P到l2的距离是定值，且该定值=AB=3cm.
故②不正确；
③ 在点运动过程中， BC的长度不改变，且点P到BC的距离为3cm也不改变，故而得出的面积不变。
故③不正确；
④∵ 点D，E分别是线段PB，PC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE==1cm.
故④正确。
综上，结论正确的有①④。
故答案为：A。
【分析】①首先判定四边形ABCP是平行四边形，即可得出①正确；②根据平行线间的距离处处相等，可得②不正确；③根据再点P运动过程中，BC的长度不变，点P到BC的距离为3cm也不改变，故而得出的面积不变。即可得出③不正确；根据三角形中位线定理可得出DE的长度 为定值，可得④正确，综上即可得出答案。
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9．（2024·宁夏）地球上水（包括大气水、地表水和地下水）的总体积约为14.2亿km3.请将数据1420000000用科学记数法表示为 .
【答案】1.42×109
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1420000000 =1.42×109.
故答案为：1.42×109.
【分析】根据大于10的科学记数法的正确表示方法正确表示即可得出答案。
10．（2024·宁夏）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 (结果精确到0.1).
【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵频率逐步稳定在0.900，
∴ 这种幼苗移植成活的概率是 0.900≈0.9.
故答案为：0.9.
【分析】用频率去估计概率可得出答案。
11．（2024·宁夏）某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点.如果水库水位为31.4米记作+1.6米，那么水库水位为28米记作 米.
【答案】-1.8
【知识点】有理数减法的实际应用
12．（2024·宁夏）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： ∵二次函数的图象与轴有交点，
∴≥0，
∴。
【分析】根据二次函数的图象与轴有交点， 可得不等式≥0，解得。即可得出答案。
13．（2024·宁夏）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则 °.
【答案】81
【知识点】正方形的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠BCD=，
∴∠BCH=108°-90°=18°，
∵BC=CD，CD=CH，
∴BC=CH，
∴∠BCH=
故答案为：81.
【分析】首先根据正多边形的性质以及多边形内角和定理得出∠BCD=108°，再根据正方形的性质得出∠HCD=90°，进而得出∠BCH=18°，再根据等腰三角形的性质即可得出∠BCH=81°。
14．（2024·宁夏）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 (写出一个即可).
【答案】（要求即可）
【知识点】等腰三角形的性质；列一次函数关系式
15．（2024·宁夏）观察下列等式：
第1个：
第2个：
第3个：
第4个：
……
按照以上规律，第个等式为 .
【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律
16．（2024·宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉(hè)，图2是其示意图.已知管状短流，四边形BCDE是器身，.器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 cm(结果精确到0.1cm).(参考数据：)
【答案】34.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
三、解答题(本题共10小题,其中17~22题每小题6分,23、24题每小题8分,25、26题每小题10分,共72分)
17．（2024·宁夏）解不等式组
【答案】解：解不等式①得，.
解不等式②得，
所以不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别解两个不等式求得它们的解集，然后再求得这两个解集的公共部分，即可得出不等式组的解集.
18．（2024·宁夏）先化简，再求值：
，其中.
【答案】解：原式
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可。
19．（2024·宁夏）如图，在中，点是边BC的中点，以AB为直径的经过点，点是边AC上一点(不与点A，C重合).请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法.
⑴过点A作一条直线，将分成面积相等的两部分；
⑵在边AB上找一点，使得.
【答案】解：⑴过A，D两点画直线AD.则直线AD为所求作直线.
⑵连接BP交AD点E，连接CE并延长，交AB于点P'.则点P'为所求作点.
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据点D是边BC的中点， 过点A、D画直线即可得出直线AD为所求作直线.；
（2）连接BP交AD于点E，再作射线CE交边AB于点P'，根据轴对称的定义，即可得出点P'为所求作点.。
20．（2024·宁夏）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力.某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件.
（1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件
（2）中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐.该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘(转盘被分为5个大小相同的扇形).凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个(指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形).一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少
【答案】（1）解：设销售扎染x件，刺绣y件.
根据题意得，
所以，
因为x，y均为非负整数.
所以，当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，；
当时，（舍去）.
答：该店销售扎染3件.刺绣2件.
（2）解：转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形(记为事件A)的结果有3种.
所以，
答：该顾客获得纪念品的概率是
【知识点】二元一次方程的应用；概率的简单应用
21．（2024·宁夏）如图，在中，点M，N在AD边上，，连接CM并延长交BA的延长线于点，连接BN并延长交CD的延长线于点F.求证：.
小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理.
【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形
同理可得，
又
即
又
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
22．（2024·宁夏）尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任.为了解某地区老年人的生活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查.
调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况选择(例：岁表示大于等于65岁同时小于70岁). 1.您的年龄范围( ) A.岁 B.岁 C.岁 D.80岁及以上 2.您的养老需求（ ） A.医疗服务 B.社交娱乐 C.健身活动 D.餐饮服务 E.其他 3.您的健康状况( ) A.良好 B.一般 C.较差
将调查结果绘制成如下统计图表.请阅读相关信息，解答下列问题：
健康状况统计表
岁 岁 岁 80岁及以上
良好 65% 58% 50% 40%
一般 25% 30% 35% 40%
较差 10% 12% 15% 20%
（1）参与本次调查的老年人共有 人，有“医疗服务”需求的老年人有 人；
（2）已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为6万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数；
（3）根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议 (写出一条即可)
【答案】（1）1200；660
（2）解：根据题意得，
答：估计该地区健康状况较差的老年人有7650人.
（3）解：根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量（只要建议合理即可).
【知识点】统计表；扇形统计图；条形统计图
23．（2024·宁夏）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到.依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究.
【动手操作】
列表：
… -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
… -1 -2 2 1 …
… -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 …
… -1 -2 -4 4 2 1 …
（1）描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象.
（2）【探究发现】
①将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象.
②上述探究方法运用的数学思想是 A.整体思想B.类比思想C.分类讨论思想
（3）【应用延伸】
①将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象.
②函数图象的对称中心的坐标为 .
【答案】（1）如图所示：
（2）左；1；B
（3）右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度；（2，-1）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；描点法画函数图象；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（2）①根据图象和表格数据可以发现： 反比例函数 上的点（-4，）向左移动一个单位得到1个单位得到 到函数的图象 上的点（-5，）；
② 由函数的图象可以由函数的图象平移得到 ，可以探究函数的图象 可以由函数的图象平移得到，运用的数学思想是类比思想；
故第1空答案为：左；第2空答案为：1；第3空答案为：B；
（3）由类比可以得出：① 将反比例函数的图象先 右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到 函数的图象.
② 函数图象的对称中心的坐标为 （2，-1）。
故 故第1空答案为：右平移2个单位长度；第2空答案为：向下平移1个单位长度；第3空答案为：（2，-1）。
【分析】（1）根据表格数据，得出平面内的点，根据描点法即可得出函数图象；
（2）①根据图象和表格数据可以发现： 反比例函数 上的点（-4，）向左移动一个单位得到1个单位得到 到函数的图象 上的点（-5，），即可得出答案；② 述探究方法运用的数学思想是类比思想；
（3）①由解析式的到，分母＋1，根据表格中的对应值，及函数图象，用类比法可得出答案；
②根据图象的平移规律，可直接比较函数关系式得出答案；
24．（2024·宁夏）如图，是的外接圆，AB为直径，点是的内心，连接AD并延长交于点，过点作的切线交AB的延长线于点.
（1）求证：；
（2）连接CE，若的半径为，求阴影部分的面积(结果用含的式子表示).
【答案】（1）证明：连接OE，交BC于点G
∵OA=OE
∴∠OAE=∠OEA
又∵D为△ABC的内心
∴∠OAE=∠CAE
∴∠OEA=∠CAE
∴OE//AC
又∵AB为☉O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠BGO=90°
又∵EF为☉O的切线且OE为☉O的半径
∴∠FEO=90°
∴∠BGO=∠FEO
∴BC//EF.
（2）解：连接BE，
.
【知识点】圆的相关概念；扇形面积的计算；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论；内切圆与外接圆的综合运用
【解析】【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质及点D是内心，得到∠OAE=∠CAE，从而得到OE//AC，再根据圆周角定理的推论得出ACB=90°，即可得出∠BGO=90°，再根据切线的性质定理，得出∠FEO=90°，即可得出∠BGO=∠FEO，进一步得出结论；
（2）根据阴影部分的面积=直角三角形OEF的面积-扇形BOE的面积即可得出答案。
25．（2024·宁夏）综合与实践如图1，在中，BD是的平分线，BD的延长线交外角的平分线于点.
（1）【发现结论】
结论1： ；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长BC交AE于点，过点作AF的垂线交BF于点，交AC的延长线于点.则AE与EG的数量关系是 .
（2）【应用结论】
求证：；
（3）在图2中连接FH，AG，延长AG交FH于点，补全图形，求证：.
【答案】（1）；相等
（2）证明：
在中，
在中，
在和中
（3）证明：补全图形如图所示.
证明：在Rt中，
又
又
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：（1）结论一：在三角形ABC中：∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC，
在三角形ABE中：∠AEB=180°-∠ABE-∠EAB=180°-∠ABC-(∠EAC+∠BAC）=180°-∠ABC-[(180°-∠BAC）+∠BAC]=90°-∠ABC-∠BAC=（180°-∠ABC-∠BAC）=∠ACB；
结论二：由结论一知：∠AEB=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEB=45°，
∵EH⊥AF，
∴∠AEH=90°，
∴∠AEB=∠GEB=45°，
∵∠ABE=∠GBE，BE=BE，
∴，
∴AE=GE；
故第1空答案为：；第2空答案为：相等；
【分析】（1） 【发现结论】结论一： 根据三角形内角和定理及角的平分线定义，进行角的推理，即可得出∠AEB=∠ACB；
结论二：利用ASA可证明，即可得出AE=GE；
（2） 【应用结论】 首先利用AAS证得，即可得出结论；
（3）首先根据等腰直角三角形的性质可得出AG=，再根据全等三角形的性质可得，求得GN=HN，再由AN=AG+GN。即可得到.
26．（2024·宁夏）抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过作轴于点，交直线BC于点.设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）如图2点，连接CF并延长交直线PD于点，点是轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下，轴上是否存在一点，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形.若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：(1)把点代入得，
即
抛物线的解析式为.
（2）解：把代入得，
解得，.
点的坐标为.
当时，
点的坐标为.
根据题意得，点D的坐标为.
把代入得
点的坐标为.
设直线BC的解析式为，把代入得，
解得
直线BC的解析式为：.
当时，
点的坐标为.
又轴
轴
又
解得，(舍去).
（3）存在.点的坐标为或或或.
提示：设直线CF的解析式为，把代入得，
解得
的解析式为：.
当时，
点的坐标为.
又点是轴上方抛物线上的一点
当时，
解得，.
点的坐标为或.
当点的坐标为时，
点的坐标为或.
当点的坐标为时，
点的坐标为或.
综上所述，点的坐标为或或或.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入到中，可求得a的值，进一步即可得出抛物线的解析式；
（2）首先根据抛物线与坐标轴的交点可求得点B、C的坐标，则可求得线段BC的长度，求可根据待定系数法求得直线BC的解析式，设点D的坐标为为.可得出点P（m，），点E的坐标，进而可以把DE表示为：，再根据可得：，即可得出关于m的方程，解方程可求得m的值（负值舍去）；
（3）首先利用待定系数法科的直线CF的解析式，可得M，当时，，解得；点的坐标为或.当点的坐标为时，，可得出点的坐标为或；当点的坐标为时，，点的坐标为或.综上所述，点的坐标为或或或.
1 / 1宁夏2024年中考数学试卷
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．（2024·宁夏）下列各数中，无理数是（ ）
A．-1 B． C． D．
2．（2024·宁夏）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·宁夏）小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（ ）
A．南偏东方向 B．北偏西方向
C．南偏东方向 D．北偏西方向
4．（2024·宁夏）某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩(单位：次)如下表：
成绩 171及以下 172 173 174 175及以上
人数 3 8 6 5 2
则本次测试成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．172和172 B．172和173 C．173和172 D．173和173
5．（2024·宁夏）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（ ）
A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置
6．（2024·宁夏）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·宁夏）如图，在Rt中，，点在直线上，点B，C在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为.
下列结论：
①当时，四边形ABCP的周长是10cm；
②当t=4s时，点到直线的距离等于5cm；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点运动过程中，线段DE的长度不变.
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9．（2024·宁夏）地球上水（包括大气水、地表水和地下水）的总体积约为14.2亿km3.请将数据1420000000用科学记数法表示为 .
10．（2024·宁夏）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 (结果精确到0.1).
11．（2024·宁夏）某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点.如果水库水位为31.4米记作+1.6米，那么水库水位为28米记作 米.
12．（2024·宁夏）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 .
13．（2024·宁夏）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则 °.
14．（2024·宁夏）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 (写出一个即可).
15．（2024·宁夏）观察下列等式：
第1个：
第2个：
第3个：
第4个：
……
按照以上规律，第个等式为 .
16．（2024·宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉(hè)，图2是其示意图.已知管状短流，四边形BCDE是器身，.器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 cm(结果精确到0.1cm).(参考数据：)
三、解答题(本题共10小题,其中17~22题每小题6分,23、24题每小题8分,25、26题每小题10分,共72分)
17．（2024·宁夏）解不等式组
18．（2024·宁夏）先化简，再求值：
，其中.
19．（2024·宁夏）如图，在中，点是边BC的中点，以AB为直径的经过点，点是边AC上一点(不与点A，C重合).请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法.
⑴过点A作一条直线，将分成面积相等的两部分；
⑵在边AB上找一点，使得.
20．（2024·宁夏）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力.某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件.
（1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件
（2）中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐.该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘(转盘被分为5个大小相同的扇形).凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个(指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形).一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少
21．（2024·宁夏）如图，在中，点M，N在AD边上，，连接CM并延长交BA的延长线于点，连接BN并延长交CD的延长线于点F.求证：.
小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理.
22．（2024·宁夏）尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任.为了解某地区老年人的生活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查.
调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况选择(例：岁表示大于等于65岁同时小于70岁). 1.您的年龄范围( ) A.岁 B.岁 C.岁 D.80岁及以上 2.您的养老需求（ ） A.医疗服务 B.社交娱乐 C.健身活动 D.餐饮服务 E.其他 3.您的健康状况( ) A.良好 B.一般 C.较差
将调查结果绘制成如下统计图表.请阅读相关信息，解答下列问题：
健康状况统计表
岁 岁 岁 80岁及以上
良好 65% 58% 50% 40%
一般 25% 30% 35% 40%
较差 10% 12% 15% 20%
（1）参与本次调查的老年人共有 人，有“医疗服务”需求的老年人有 人；
（2）已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为6万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数；
（3）根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议 (写出一条即可)
23．（2024·宁夏）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到.依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究.
【动手操作】
列表：
… -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
… -1 -2 2 1 …
… -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 …
… -1 -2 -4 4 2 1 …
（1）描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象.
（2）【探究发现】
①将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象.
②上述探究方法运用的数学思想是 A.整体思想B.类比思想C.分类讨论思想
（3）【应用延伸】
①将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象.
②函数图象的对称中心的坐标为 .
24．（2024·宁夏）如图，是的外接圆，AB为直径，点是的内心，连接AD并延长交于点，过点作的切线交AB的延长线于点.
（1）求证：；
（2）连接CE，若的半径为，求阴影部分的面积(结果用含的式子表示).
25．（2024·宁夏）综合与实践如图1，在中，BD是的平分线，BD的延长线交外角的平分线于点.
（1）【发现结论】
结论1： ；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长BC交AE于点，过点作AF的垂线交BF于点，交AC的延长线于点.则AE与EG的数量关系是 .
（2）【应用结论】
求证：；
（3）在图2中连接FH，AG，延长AG交FH于点，补全图形，求证：.
26．（2024·宁夏）抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过作轴于点，交直线BC于点.设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）如图2点，连接CF并延长交直线PD于点，点是轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下，轴上是否存在一点，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形.若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：-1是有理数，所以A不符合题意；
B：是有理数，所以B不符合题意；
C：，是有理数，所以C不符合题意；
D：是无理数，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据无理数的定义分别进行识别即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；负整数指数幂；积的乘方运算；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A：x3和x2不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B ：，所以B正确；
C：（3x）2=9x2，所以C不正确；
D：-5-3=-8，所以D不正确。
故答案为：B。
【分析】根据x3和x2不是同类项，不能合并，可得A不正确；根据负整数指数幂的性质可得B正确；根据积的乘方可得C不正确；根据有理数的减法运算可得D不正确。故而可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】方位角；平行线的判定与性质的应用-求角度
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵3+8=11＜12，
∴中位数为173，
∵8最大，
∴众数为172.
故答案为：C。
【分析】根据中位数和众数的定义即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解： 则最后一个小正方体应放在②号位置。
故答案为：B。
【分析】首先根据主视图可知小正方体应放在②④的位置，再根据左视图可知小正方体应放在①②位置，故而得出答案为最后一个小正方体应放在②号位置 。
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；绝对值的非负性；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴a-3≥0，
∴a≥3.
故答案为：A.
【分析】首先根据绝对值的性质得出不等式a-3≥0，解得a的取值范围，结合解集在数轴上的正确表示方法即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设乙每小时做个盒子，根据题意 ，得：
。
故答案为：C。
【分析】 设乙每小时做个盒子，则可得出 甲每小时做盒子的数量是 2x个盒子，根据甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟， 即可得出方程，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】三角形-动点问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：①当时， AP=2，
∵BC=2cm，
∴AP=BC，
∵AP∥BC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴AB=PC=3cm。
∴ 四边形ABCP的周长=3×2+2×2=10（cm）；
故①正确；
②∵，
∴点P到l2的距离是定值，且该定值=AB=3cm.
故②不正确；
③ 在点运动过程中， BC的长度不改变，且点P到BC的距离为3cm也不改变，故而得出的面积不变。
故③不正确；
④∵ 点D，E分别是线段PB，PC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE==1cm.
故④正确。
综上，结论正确的有①④。
故答案为：A。
【分析】①首先判定四边形ABCP是平行四边形，即可得出①正确；②根据平行线间的距离处处相等，可得②不正确；③根据再点P运动过程中，BC的长度不变，点P到BC的距离为3cm也不改变，故而得出的面积不变。即可得出③不正确；根据三角形中位线定理可得出DE的长度 为定值，可得④正确，综上即可得出答案。
9．【答案】1.42×109
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1420000000 =1.42×109.
故答案为：1.42×109.
【分析】根据大于10的科学记数法的正确表示方法正确表示即可得出答案。
10．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵频率逐步稳定在0.900，
∴ 这种幼苗移植成活的概率是 0.900≈0.9.
故答案为：0.9.
【分析】用频率去估计概率可得出答案。
11．【答案】-1.8
【知识点】有理数减法的实际应用
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： ∵二次函数的图象与轴有交点，
∴≥0，
∴。
【分析】根据二次函数的图象与轴有交点， 可得不等式≥0，解得。即可得出答案。
13．【答案】81
【知识点】正方形的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠BCD=，
∴∠BCH=108°-90°=18°，
∵BC=CD，CD=CH，
∴BC=CH，
∴∠BCH=
故答案为：81.
【分析】首先根据正多边形的性质以及多边形内角和定理得出∠BCD=108°，再根据正方形的性质得出∠HCD=90°，进而得出∠BCH=18°，再根据等腰三角形的性质即可得出∠BCH=81°。
14．【答案】（要求即可）
【知识点】等腰三角形的性质；列一次函数关系式
15．【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律
16．【答案】34.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
17．【答案】解：解不等式①得，.
解不等式②得，
所以不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】首先分别解两个不等式求得它们的解集，然后再求得这两个解集的公共部分，即可得出不等式组的解集.
18．【答案】解：原式
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可。
19．【答案】解：⑴过A，D两点画直线AD.则直线AD为所求作直线.
⑵连接BP交AD点E，连接CE并延长，交AB于点P'.则点P'为所求作点.
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据点D是边BC的中点， 过点A、D画直线即可得出直线AD为所求作直线.；
（2）连接BP交AD于点E，再作射线CE交边AB于点P'，根据轴对称的定义，即可得出点P'为所求作点.。
20．【答案】（1）解：设销售扎染x件，刺绣y件.
根据题意得，
所以，
因为x，y均为非负整数.
所以，当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，；
当时，（舍去）.
答：该店销售扎染3件.刺绣2件.
（2）解：转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形(记为事件A)的结果有3种.
所以，
答：该顾客获得纪念品的概率是
【知识点】二元一次方程的应用；概率的简单应用
21．【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形
同理可得，
又
即
又
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
22．【答案】（1）1200；660
（2）解：根据题意得，
答：估计该地区健康状况较差的老年人有7650人.
（3）解：根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量（只要建议合理即可).
【知识点】统计表；扇形统计图；条形统计图
23．【答案】（1）如图所示：
（2）左；1；B
（3）右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度；（2，-1）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；描点法画函数图象；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（2）①根据图象和表格数据可以发现： 反比例函数 上的点（-4，）向左移动一个单位得到1个单位得到 到函数的图象 上的点（-5，）；
② 由函数的图象可以由函数的图象平移得到 ，可以探究函数的图象 可以由函数的图象平移得到，运用的数学思想是类比思想；
故第1空答案为：左；第2空答案为：1；第3空答案为：B；
（3）由类比可以得出：① 将反比例函数的图象先 右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到 函数的图象.
② 函数图象的对称中心的坐标为 （2，-1）。
故 故第1空答案为：右平移2个单位长度；第2空答案为：向下平移1个单位长度；第3空答案为：（2，-1）。
【分析】（1）根据表格数据，得出平面内的点，根据描点法即可得出函数图象；
（2）①根据图象和表格数据可以发现： 反比例函数 上的点（-4，）向左移动一个单位得到1个单位得到 到函数的图象 上的点（-5，），即可得出答案；② 述探究方法运用的数学思想是类比思想；
（3）①由解析式的到，分母＋1，根据表格中的对应值，及函数图象，用类比法可得出答案；
②根据图象的平移规律，可直接比较函数关系式得出答案；
24．【答案】（1）证明：连接OE，交BC于点G
∵OA=OE
∴∠OAE=∠OEA
又∵D为△ABC的内心
∴∠OAE=∠CAE
∴∠OEA=∠CAE
∴OE//AC
又∵AB为☉O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠BGO=90°
又∵EF为☉O的切线且OE为☉O的半径
∴∠FEO=90°
∴∠BGO=∠FEO
∴BC//EF.
（2）解：连接BE，
.
【知识点】圆的相关概念；扇形面积的计算；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论；内切圆与外接圆的综合运用
【解析】【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质及点D是内心，得到∠OAE=∠CAE，从而得到OE//AC，再根据圆周角定理的推论得出ACB=90°，即可得出∠BGO=90°，再根据切线的性质定理，得出∠FEO=90°，即可得出∠BGO=∠FEO，进一步得出结论；
（2）根据阴影部分的面积=直角三角形OEF的面积-扇形BOE的面积即可得出答案。
25．【答案】（1）；相等
（2）证明：
在中，
在中，
在和中
（3）证明：补全图形如图所示.
证明：在Rt中，
又
又
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：（1）结论一：在三角形ABC中：∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC，
在三角形ABE中：∠AEB=180°-∠ABE-∠EAB=180°-∠ABC-(∠EAC+∠BAC）=180°-∠ABC-[(180°-∠BAC）+∠BAC]=90°-∠ABC-∠BAC=（180°-∠ABC-∠BAC）=∠ACB；
结论二：由结论一知：∠AEB=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEB=45°，
∵EH⊥AF，
∴∠AEH=90°，
∴∠AEB=∠GEB=45°，
∵∠ABE=∠GBE，BE=BE，
∴，
∴AE=GE；
故第1空答案为：；第2空答案为：相等；
【分析】（1） 【发现结论】结论一： 根据三角形内角和定理及角的平分线定义，进行角的推理，即可得出∠AEB=∠ACB；
结论二：利用ASA可证明，即可得出AE=GE；
（2） 【应用结论】 首先利用AAS证得，即可得出结论；
（3）首先根据等腰直角三角形的性质可得出AG=，再根据全等三角形的性质可得，求得GN=HN，再由AN=AG+GN。即可得到.
26．【答案】（1）解：(1)把点代入得，
即
抛物线的解析式为.
（2）解：把代入得，
解得，.
点的坐标为.
当时，
点的坐标为.
根据题意得，点D的坐标为.
把代入得
点的坐标为.
设直线BC的解析式为，把代入得，
解得
直线BC的解析式为：.
当时，
点的坐标为.
又轴
轴
又
解得，(舍去).
（3）存在.点的坐标为或或或.
提示：设直线CF的解析式为，把代入得，
解得
的解析式为：.
当时，
点的坐标为.
又点是轴上方抛物线上的一点
当时，
解得，.
点的坐标为或.
当点的坐标为时，
点的坐标为或.
当点的坐标为时，
点的坐标为或.
综上所述，点的坐标为或或或.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入到中，可求得a的值，进一步即可得出抛物线的解析式；
（2）首先根据抛物线与坐标轴的交点可求得点B、C的坐标，则可求得线段BC的长度，求可根据待定系数法求得直线BC的解析式，设点D的坐标为为.可得出点P（m，），点E的坐标，进而可以把DE表示为：，再根据可得：，即可得出关于m的方程，解方程可求得m的值（负值舍去）；
（3）首先利用待定系数法科的直线CF的解析式，可得M，当时，，解得；点的坐标为或.当点的坐标为时，，可得出点的坐标为或；当点的坐标为时，，点的坐标为或.综上所述，点的坐标为或或或.
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