数学试题部分
（本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1．已知或，，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．
3．若集合，，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A．， B．所有的正方形都是矩形
C．， D．至少有一个实数，使
5．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知，，且恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体
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的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（ ）
A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟
8．已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9．设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．存在，使得
11．下列说法不正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若，则的最大值为2
C．若不等式的解集为，则必有
D．命题“，使得．”的否定为“，使得．”
12．已知，且，则（ ）
A．的最小值是 B．最小值为
C．的最大值是 D．的最小值是
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13．设、是非空集合，定义且.已知，，则 .
14．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
15．已知，则 ．
16．设，则的最大值为 .
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分）
17．设集合，；
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
18．已知集合，，全集.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
19．（1）已知，计算和的值；
（2）已知，，求的值．
20．（1）设，求的值；
（2）已知，且，求的值．
21．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产
出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.
(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
22．设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．
(1)当时，若，，求和的值；
(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
(3)给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素．证明：存在，使得．2024-2025学年连云港市新海高级中学开学质量检测
数学参考答案（详解版）
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1．D
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】因为或，，
所以
故选：D.
2．D
【分析】利用集合的并集进行求解即可.
【详解】集合，，
则，
故选：D.
3．D
【分析】分别讨论与两种情况，结合题意，列出不等式，求解即得.
【详解】因为集合，，且，
当时，则，解得；
当时，则，或，解得；
综上所述，的取值范围是.
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故选：D.
4．A
【分析】根据存在命题的否定是全称量词命题进行判断B即可.ACD原命题的否定是全称量词命题，再判断原命题的否定是否为真命题进行判断即可.
【详解】对于A，A是特称命题，其否定为：，，即为真命题，A正确；
对于B，∵B是全称命题，其否定为特称命题，故B排除；
对于C， C是特称命题，其否定为：，，即为假命题，C错误；
对于D， D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有，代入不成立，为假命题，D错误；
故选：A．
5．D
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
6．B
【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解.
【详解】解：设，
则，解得，
则，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为2，
又因为对，，且恒成立，
所以，
故选：B
7．C
【分析】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可．
【详解】解：依题意，得，
化简得，解得.
设这块面包总共经过分钟，温度降为30°，
则，化简得，
解得，
故大约再经过（分钟），这块面包温度降为30°，
故选：C.
8．C
【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值
【详解】因为，则，
由于，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，
故选：C
9．ABC
【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.
【详解】当，，，时，满足，
此时，不是的子集，所以A、B不一定成立；
，，所以C不一定成立；
对于D，若，则，但，因为，
所以，于是，所以，
同理若，则，，
因此，成立，所以D成立.
故选：ABC.
10．AB
【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可.
【详解】对于A,因为 ，所以，，
所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确；
对于B，因为 ，所以，，
即与是相同的，所以，B正确；
对于C,因为 ，所以，，
所以，即C错误；
对于D由于
，
而，故，即D错误．
故选：AB．
11．ABD
【分析】对于A：根据充分、必要条件分析判断；对于B：根据不等式运算求解；对于C：根据分类讨论a的符号，结合一元二次不等式分析判断；对于D：根据特称命题的否定是全称命题分析判断.
【详解】对于选项A：例如，则，
即，满足题意，但，即充分性不成立；
例如，则，
即，满足题意，但，即必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确；
对于选项B：若，则，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故B不正确；
对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；
若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；
综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确；
对于选项D：命题“，使得．”的否定为“，使得”，故D不正确；
故选：ABD.
12．BC
【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D.
【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立，
即的最大值是，故A不正确；
对于B，∵，∴，，
所以，故B正确；
对于C，∵，且，∴，即
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，∵，
即时，等号成立，
所以的最小值是，故D错误．
故选：BC．
13．或
【分析】先求出，再求出，从而可求 。
【详解】∵、是非空集合，且，
而，，∴，，
故或.
故答案为：或.
14．
【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围.
【详解】由，可得，
由于，且，则，
所以，则实数的取值范围是，
故答案为：
15．5
【分析】设，再用表达求解即可.
【详解】设，则，，，
故.
故答案为：5
16．2
【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解.
【详解】设，则，，
当且仅当，时，等号成立，
故.
令，解得，，
所以，当，时，等号成立.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围；
（2）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围；
【详解】（1）由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，，满足题意；
当时，
因为，
所以，
解得，，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，，满足题意；
当时，
因为，
所以，解得，
或无解；
综上所述，实数的取值范围为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得集合A，进而根据集合的补集和交集运算求解；
（2）分析可知，根据包含关系分析求解.
【详解】（1）当时，集合，则或，
所以.
（2）若“”是“”的必要条件，则，
因为，则，可知，
可得，解得，
所以实数的取值范围.
19．（1），；（2）.
【分析】运用换底公式结合对数运算公式化简即可.
【详解】解：（1）∵，
∴；
．
（2）（方法一）
．
（方法二）
20．（1）1；（2）
【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可.
【详解】（1）因为，则，
则
所以；
（2）因为，则，，
可得，，则．
由题意可得，则，且，所以．
21．(1)；
(2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式；
（2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可.
【详解】（1）（1）由题意可得，，
所以，
即.
（2）当时，；
当时，，对称轴，；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
22．(1)2，1；
(2)最大值为4个；
(3)证明见解析．
【分析】（1）直接根据定义计算；
（2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明；
（3）设，，，，则且，对从集合中任取个两两互不相同的元素，分两种情况讨论，第一种若存在两个不同元素同时属于一个；第二种若任意两个不同元素都不同时属于一个，由第二种情况推出矛盾即可．
【详解】（1）因为，
所以，
．
（2）设，
令其中()
则，，
，则，
当，且()时，
由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数．
若是奇数时，则中等于1的个数为1或3，
所以，
且．
将上述集合中的元素分成如下四组：
经检验，每组中两个元素，均有，
所以每组中两个元素不可能同时是集合中的元素．
所以集合中元素的个数不超过4个．
当且时，或，所以
又集合满足条件．
所以集合中元素个数最大值为4个．
（3）设，
，
，
则且，
从集合中任取个两两互不相同的元素，
若存在两个不同元素同时属于一个，则，
记，
所以，存在，使得；
若任意两个不同元素都不同时属于一个，
则至多取个两两互不相同的元素，与已知取个两两互不相同的元素矛盾．
综上，存在，使得．
【点睛】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．
