八年级数学上册 12.3 一次函数与二元一次方程 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
12.3 一次函数与二元一次方程 导学案
（一）学习目标：
1、理解一次函数与二元一次方程的关系。
2、会利用一次函数的图像求二元一次方程组的近似解，提高分析问题和解决问题的能力。
3、尝试用函数的观点探索实际问题中的数量关系，培养用数学的良好意识。
（二）学习重难点：
重点:利用一次函数图像解二元一次方程组和一些简单的实际问题。
难点:理解一次函数与二元一次方程的关系，把函数与方程(组)有机结合起来,灵活解决问题。
阅读课本，识记知识：
一次函数与二元一次方程之间的关系：
一般地，一次函数y=kx+b图像上任意一点的坐标都是二元次方程kx-y+b=0的解;
以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b 图像上。
2.用图像法解二元一次方程组的依据：
一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。
3.图像法解二元一次方程组一般步骤：
（1）把二元一次方程化成一-次函数的形式；
（2）在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点;
（3）交点坐标就是方程组的解。简记为: 变函数——画图像一一找交点——写结论.
【例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m、n为常数，且）与正比例函数的交点P在第三象限，过点P作轴于点A，作轴于点B，若，，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是利用函数的交点坐标确定方程组的解，矩形的判定与性质，勾股定理，根据由两个函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，从而可得方程组的解．
【详解】∵轴，，，
∴，
∵轴，，轴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
依题意函数和的图象相交于点P，点，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故选：A．
【例2】 在平面直角坐标系中，直线和与轴围成的三角形面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，求三角形的面积，一次函数与二元一次方程组，先求出直线与y轴的交点坐标，再求出两条直线的交点横坐标，即可求出答案．
【详解】当时，，
∴．
将两个函数关系式联立，得，
即，
解得，
∴，
∴．
故选：B．

选择题
1.如图,两个一次函数图象的交点坐标为(2,4),则关于x,y的方程组的解为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.如图，关于一次函数与的图象，下列说法正确的有（ ）个．
①，；
②图象，随自变量的增大而减小；
③不论为何值，一次函数的图象都经过定点，则点的坐标为；
④方程组的解是．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
3.已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中,函数y=x+5与y=-x-1的图象的交点坐标为(　　)
A.(-4,1)　　　B.(1,-4)　　　C.(4,-1)　　　D.(-1,4)
4.一次函数与的图像如图所示，由图像可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5.若直线y=2x-3与直线y=5x+2的交点坐标为(a,b),则解为的方程组可以是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7.把直线y=-5x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是(　　)
A.m<4　　　B.m>1　　　C.18.两个一次函数和的交点坐标为，那么下列方程组中，解为的是（　　）
A． B． C． D．
9.如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
10.已知直线与的交点的坐标为，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，若直线与线段总有交点，则的取值范围是 ．
12.直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中如图所示,则关于x、y的方程组的解为　　　　.
13．若直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则 ．
14．已知y1=2x-7和y2=-3x+8,当x>3时,y1>y2;当x<3时,y115．如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为 ．
三、解答题
16．根据一次函数的图象，写出下列问题的答案：
(1)关于x的方程的解是 ；
(2)关于x的方程的解是 ；
(3)当时，y的取值范围是 ．
17.A城有肥料吨，城有肥料吨，现要把这些肥料全部运往、两乡，从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨；从城往、两乡运肥料的费用分别为元吨和元吨．现乡需要肥料吨，乡需要肥料吨，设城运往乡的肥料为吨，运往乡肥料的总运费为，运往乡肥料的总运费为．
(1)写出关于的函数关系式以及关于的函数关系式；
(2)怎样调度总运费最少？求出最少的运输费用．
18.如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数的图象分别交于点C、D，点D的坐标为．
(1)关于x、y的方程组的解为 ；
(2)关于x的不等式的解集为 ；
(3)求四边形的面积；
(4)在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
【答案】　A　
【分析】∵直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2的交点坐标为(2,4),
∴关于x,y的方程组的解为故选A.
2.【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程，数形结合思想，根据图象逐个分析即可．
【详解】由图可知，随x的增大而增大，
∴，
∵过二四象限，
∴，
∴图象，随自变量的增大而减小；
故①②正确；
∵一次函数
∴不论为何值，当时，，
即不论为何值，一次函数的图象都经过定点，则点的坐标为，
故③正确；
∵一次函数与的图象交点为，
∴方程组的解是，
故④正确，
综上所述，说法正确的是①②③④．
故选：D．
3.【答案】　A　
【分析】∵二元一次方程组的解为
∴在同一平面直角坐标系中,函数y=x+5与y=-x-1的图象的交点坐标为(-4,1).
故选A.
4.【答案】C
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键．
直接利用函数图象，结合，得出的取值范围．
【详解】解：如图所示：不等式的解集为：．
故选：C．
【答案】　C　
【分析】∵直线y=2x-3与直线y=5x+2的交点坐标为(a,b),
∴解为的方程组是即故选C.
6.【答案】B
【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，先求出点的坐标，再根据方程组与函数的关系求解即可，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：设点的坐标为，
点在直线上，
，
，
点的坐标为，
一次函数的图象与的图象相交于点A，
方程组的解是，
故选：B．
7.【答案】　B　
【分析】把直线y=-5x+3向上平移m个单位后可得y=-5x+3+m,
联立解得即交点坐标为,
∵交点在第一象限,∴解得m>1.
故选B.
8．【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．由于函数图像交点坐标为两个函数解析式组成的方程的解，因此联立两函数解析式即可得到答案．
【详解】解：由于一次函数和的交点坐标为，
是方程组的解，
即是方程组的解，
故选D．
9．【答案】B
【分析】本题考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解即可得到答案，解题的关键是理解和掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
【详解】解：把代入得，，
∴两直线的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解为，
故选：．
10．【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解，理解交点坐标的含义是解本题的关键．由函数的性质先求解，从而可得方程组的解．
【详解】解：∵直线与的交点的坐标为，
∴，
∴交点坐标为，
∴方程组的解是，
故选：A．
11.【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据性质即可求解，熟练掌握一次函数的性质时解题的关键．
【详解】解：把代入得，，解得：，
把代入得，，解得，
∵直线与线段总有交点，
∴的取值范围是或，
故答案为：或．
12. 【答案】　
【解析】　因为两函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解,
所以方程组的解是
13．【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的图形面积问题，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标分别为，再根据围成的图形面积为6得到，据此求解即可．
【详解】解：在中，当时，，但时，，
∴一次函数与坐标轴的交点坐标分别为，
∵直线与坐标轴围成的三角形面积为6，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．【答案】　(3,-1)
【解析】　因为当x>3时,y1>y2;当x<3时,y115．【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标即可，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
∴关于的方程组的解为，
故答案为：．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，
（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出时对应的自变量的值即可
（3）利用函数图象写出时对应的函数值范围即可．
【详解】（1）利用函数图象可知函数值为0时，，
故答案为：；
（2）利用函数图象可知时对应的自变量的值为，
故答案为：；
（3）根据图象可知：当时，，
故答案为：．
17.【答案】(1)，；
(2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元．
【分析】（）根据题意即可得出之间的函数关系式；
（）设总运费为元，根据题意得，与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解；
此题考查了一次函数的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得，
；
（2）设总运费为元，根据题意得，与之间的函数关系式为，
∵，随的增大而增大，
∴当时，，
∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是10040元．
18．【答案】(1)，；
(2)；
(3)4；
(4)或．
【分析】这是一道一次函数综合题，主要考查一次函数与x轴、y轴的交点、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与不等式的关系，三角形的面积、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
（1）根据题目中的两个函数解析式可以求得点D的坐标、从而可以得到关于x、y的方程组的解；
（2）根据一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想可以得到关于x的不等式的解集；
（3）根据点D在一次函数上，可以求得b的值，然后即可求得点C和点B的坐标，再根据图形可知四边形的面积的面积的面积，代入数据即可解答本题；
（4）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题．
【详解】（1）解：∵点在一次函数上，
，
∴点D的坐标为，
∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点D，
的解是，
∴关于x、y的方程组的解为，
故答案为：；
（2）由（1）可知点D的坐标为，
∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点D，
∴关于x的不等式的解集为，
故答案为：；
（3）∵一次函数，
∴当时，，
∴点A的坐标为，
∵点D在一次函数上，
，得，
∴一次函数，
当时，，当时，，
∴点C的坐标为，点B的坐标为，
，
，
即四边形的面积是4；
（4）如图2，当点E为直角顶点时，过点D作轴于，
，
；
当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；
当点D为直角顶点时，过点D作交x轴于点，
设，
，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
在中，
，
．
解得．
；
由上可得，点E坐标为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)