13.4课题学习 最短路径问题—八年级数学人教版上册课时优化训练（含详解）

13.4课题学习 最短路径问题—八年级数学人教版上册课时优化训练
1.如图，点A，B在直线l同侧，在直线l上取一点P，使得最小，对点P的位置叙述正确的是( )
A.作线段的垂直平分线与直线l的交点，即为点P
B.过点A作直线l的垂线，垂足即为点P
C.作点B关于直线l的对称点，连接，与直线的交点，即为点P
D.延长与直线l的交点，即为点P
2.如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地.下列四种方案中，最节省材料的是( )
A. B.
C. D.
3.某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是( )
A. B.
C. D.
4.如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗 下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是( )
A. B.
C. D.
5.如图，直线m表示一条河，表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ）
A. B.
C. D.
6.A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使最短.下面四种选址方案符合要求的是( )
A. B. C. D.
7.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( ).
A. B.
C. D.
8.有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，你认为正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，到河岸的距离分别为和，且，若点A到河岸的中点的距离为500m，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 m
10.如图,点P,点Q分别代表两个村庄,直线l代表两个村庄中间的一条公路.根据居民出行的需要,计划在公路l上的某处设置一个公交站.
(1)若考虑到村庄P居住的老年人较多,计划建一个离村庄P最近的车站,请在公路l上画出车站的位置(用点M表示),依据是___________________；
(2)若考虑到修路的费用问题,希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小,请在公路l上画出车站的位置(用点N表示),依据是___________________.
11.如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得的值最小，画出图形并保留作图痕迹.
12.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地吃草，然后赶羊到小河饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明吃草与饮水的位置.
答案以及解析
1.答案：C
解析：正确作法如下：如图，作点B关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点，即为点P，
，
理由如下：在l上异于点P的位置任取一点H，连接，，，
，
B、关于直线l对称，
，
，
最短，
故选：C.
2.答案：D
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D.
3.答案：B
解析：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于M，
根据两点之间线段最短，可知机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短.
故选：B.
4.答案：D
解析：由选项D中图可知：
作D点关于直线的对称点，连接交于点N，
由对称性可知，，
，
当C、N、三点共线时，的距离最短，
故选：D.
5.答案：D
解析：作点M关于直线m的对称点，连接交直线m于P.根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短.
6.答案：A
解析：如图：
在l上任找一点连接，，，
直线l垂直平分，
，
，
在中，两边之和大于第三边，
，
即：，
A方案中最短，
故答案选A.
7.答案：C
解析：如图：作点A关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点C，
，
，
在街道上任取除点C以外的一点，连接，，，
，
在中，两边之和大于第三边，
，
，
点C到两小区送奶站距离之和最小.
故选：C.
8.答案：C
解析：根据题意，应先把点A(或点B)沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段故选C.
9.答案：1000
解析：如图，作点A关于的对称点，连接与相交于点M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是的长。
，.
又，
.
点A到河岸的中点的距离为500m，
到M的距离为500m，
故最短距离是1000m
10.答案：(1)画图见解析；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短
(2)画图见解析；两点之间线段最短
解析：(1)如图,点M即为所示.依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短
(2)如图,点N即为所示.依据是两点之间线段最短；
故答案为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短.
11.答案：见详解
解析：如图所示，
作法：1.作点B关于直线l的对称点，
2.连接，交直线l于点P，连接，
则点P即为所求
证明：作点B关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，连接
直线l垂直平分，
，
，
如图：在直线l上取异于点P的另一点，连接，，，
直线l垂直平分，
，
在中，，
，
，
故的值最小，
故点P即为所求.
12.答案：见解析
解析：如图，作点A关于的对称点E，点B关于的对称点F，连接，分别交，于点C，D.
点C为吃草的位置，点D为饮水的位置，则是他走的最短路线.