人教版八年级上册数学第十三章轴对称证明题训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学第十三章轴对称证明题训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-11 06:56:37 | ||
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文档简介
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人教版八年级上册数学第十三章 轴对称证明题训练
1．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，G为中点，求的长．
2．如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
3．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点，
(1)证明：；
(2)求证：为等腰三角形．
4．如图：在中，分别是两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接．
(1)求证：；
(2)判定的形状如何，请说明理由．
5．如图，在等边中，点D、E分别在边上，且，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
6．如图所示，在中，是边的垂直平分线，交于E，交于D，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若，且的周长为，的周长为，求的长．
7．如图，在中，点D是上一点，交于点E，连接、，，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
8．如图，在中，，，F为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
9．已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接．
(1)求证：；
(2)若∠，，，求的面积．
10．如图，在中，，点D，E分别在上，连结并延长交的延长线于点F，连结．已知E为中点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
11．如图，是的角平分线，、分别是和的高．
(1)与有什么样的位置关系？并证明．
(2)若，，，求的长．
12．如图， 是等边三角形， D 是 上的点，点 E 在外， 且，．求证：
(1)；
(2)．
13．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
14．如图，在等边中，点D为上一点，．
(1)求证：；
(2)延长交于点F，连接，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
15．如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E．
(1)求证：；
(2)连接，请判断的形状，并说明理由．
16．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
17．在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形；
(3)如图3，当，且时，求证：．
18．如图1，，D，E分别是，上的点，且．连结，，交于点F．
(1)求证：．
(2)如图2，连结，，求证：．
(3)如图3，连结，，试判断与是否垂直，并说明理由．
19．如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)当为多少度时，是等腰三角形？
20．如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接．
(1)求证：．
(2)当平分时，若，求的度数．
(3)如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示）
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答；
（2）如图：过点E作，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：图：过点E作，垂足为F，
∴，
∵，
∴，
∵G为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为8．
2．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证；
（2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）在上取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定．
（1）利用证明可证得答案；
（2）由（1）易得，进而可求解，即可证明结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
为等腰三角形．
4．(1)见解析
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：
（1）证明，即可得出结论；
（2）全等三角形的性质，得到，，外角的性质，推出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
又∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：为等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，．
又∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
5．(1)
(2)8
【分析】本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）证明中的三个角均为，然后再求得；
（2）先求得，然后由进行求解即可．
【详解】（1）是等边三角形，
．
，
，，
，
，
，
．
（2），
，
，
由（1）可知，
．
又，
．
．
6．(1)
(2)
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．
（1）已知，求出的度数．又因为垂直平分，根据线段垂直平分线的性质易求出的度数．
（2）利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解．
【详解】（1），
，
又垂直平分，，
，
；
（2）是的垂直平分线，
，，
的周长．
的周长，
，
．
7．(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由“角角边”可证，可得 ．
（2）由等腰三角形的判定可得 ，可得结论；
【详解】（1）证明：
，，
在和中，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
∵，
，
．
8．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
（1）由，即可利用证得≌；
（2）由，即可求得与的度数，即可得的度数，又由，即可求得的度数，则由即可求得答案．
【详解】（1）证明：，
在和中，
，
∴；
（2）解：，
，
又，
由（1）知：，
，
．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）先由等边三角形的性质得，进而得，再根据证明便可；
（2）作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：作交的延长线于．
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
．
10．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
（1）根据线段中点的定义得到，等量代换得到，求得，即，根据全等三角形的性质得到；
（2）过点作，交于，根据平行线的性质得到，再利用直角三角形的性质及等腰三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）证明：为中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）解：过点作，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
11．(1)垂直平分，证明见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）由角平分线的性质得，再由，得，从而根据垂直平分线的判定即可解答；
（2）由，代入计算即可．
【详解】（1）解：垂直平分，证明如下：
是的角平分线，分别是和的高，
，
在与中，
，
，
，
垂直平分；
（2）解：，
，
，
．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，平行线的判定—“同旁内角互补，两直线平行”，掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，平行线的判定是解题的关键．
（1）由 是等边三角形得出，在根据已知条件即可得证；
（2）由（1）得可得，再利用 是等边三角形，得出，即可得证．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
在和中，
（2）由（1）得
又 是等边三角形，
，
，
．
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
（1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；
（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
【详解】（1）证明：连接、，
垂直平分，垂直平分，
，，
点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，，
在中，，，
，
即，，
在四边形中，，
14．(1)见解析
(2)．理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后根据可证明；
（2）先证明垂直平分，再由三线合一得，求出，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得．
【详解】（1）∵为等边三角形，
∴．
又∵，
∴．
（2）．证明如下：
∵，
∴垂直平分．
∵，
∴平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握30°角所对直角边是斜边一半的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
；
（2）解：是等边三角形，
理由如下：连接．
垂直平分，
∴，
，，
，
∴，
，
是等边三角形．
16．(1)见解析；
(2)；
(3)见解析．
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．
（1）根据等边三角形性质得出，，，求出，证即可；
（2）根据全等求出，进而求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出，根据证，推出，求出即可．
【详解】（1）证明：、都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
．
（2）解：，
，
等边三角形，
，
，
，
（3）证明：，
，，，
又点、分别是线段、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
是等边三角形．
17．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论；
（2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形；
（3）延长交于，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)垂直，理由见解析
【分析】（1）根据题意证明，利用全等三角形性质即可证明；
（2）利用等腰三角形性质以及全等三角形性质证明，以及， 再根据对顶角性质得到，进而推出，即可证明；
（3）结合题干条件证明，得到，利用等腰三角形三线合一即可得到与是垂直．
【详解】（1）证明：在与中，
有，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：垂直，理由如下：
由（2）可知，，
，，
，
，
与是垂直．
【点睛】本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，对顶角性质，平行线判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
19．(1)证明见解析过程
(2)
(3)当为、、时，是等腰三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）由“”可证，可得；
（2）由全等三角形的性质可求，由周角的性质可求的度数，由三角形内角和定理可求解；
（3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
，
，
；
（3）解：①要使，需，
，
；
②要使，需，
，
；
③要使，需，
，
．
所以，当为、、时，是等腰三角形．
20．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）先证，再由证即可；
（2）证是等边三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由三角形内角和定理即可得出结论
（3）由等腰三角形的性质得到，再由全等三角形的性质得到，求出，然后由直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明，
∴
在和中
；
（2）由(1)可知，， ，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴在中，；
（3），，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形判定以及性质是解题的关键．
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人教版八年级上册数学第十三章 轴对称证明题训练
1．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，G为中点，求的长．
2．如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
3．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点，
(1)证明：；
(2)求证：为等腰三角形．
4．如图：在中，分别是两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接．
(1)求证：；
(2)判定的形状如何，请说明理由．
5．如图，在等边中，点D、E分别在边上，且，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
6．如图所示，在中，是边的垂直平分线，交于E，交于D，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若，且的周长为，的周长为，求的长．
7．如图，在中，点D是上一点，交于点E，连接、，，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
8．如图，在中，，，F为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
9．已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接．
(1)求证：；
(2)若∠，，，求的面积．
10．如图，在中，，点D，E分别在上，连结并延长交的延长线于点F，连结．已知E为中点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
11．如图，是的角平分线，、分别是和的高．
(1)与有什么样的位置关系？并证明．
(2)若，，，求的长．
12．如图， 是等边三角形， D 是 上的点，点 E 在外， 且，．求证：
(1)；
(2)．
13．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
14．如图，在等边中，点D为上一点，．
(1)求证：；
(2)延长交于点F，连接，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
15．如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E．
(1)求证：；
(2)连接，请判断的形状，并说明理由．
16．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
17．在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形；
(3)如图3，当，且时，求证：．
18．如图1，，D，E分别是，上的点，且．连结，，交于点F．
(1)求证：．
(2)如图2，连结，，求证：．
(3)如图3，连结，，试判断与是否垂直，并说明理由．
19．如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)当为多少度时，是等腰三角形？
20．如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接．
(1)求证：．
(2)当平分时，若，求的度数．
(3)如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示）
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答；
（2）如图：过点E作，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：图：过点E作，垂足为F，
∴，
∵，
∴，
∵G为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为8．
2．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证；
（2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）在上取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定．
（1）利用证明可证得答案；
（2）由（1）易得，进而可求解，即可证明结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
为等腰三角形．
4．(1)见解析
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：
（1）证明，即可得出结论；
（2）全等三角形的性质，得到，，外角的性质，推出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
又∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：为等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，．
又∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
5．(1)
(2)8
【分析】本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）证明中的三个角均为，然后再求得；
（2）先求得，然后由进行求解即可．
【详解】（1）是等边三角形，
．
，
，，
，
，
，
．
（2），
，
，
由（1）可知，
．
又，
．
．
6．(1)
(2)
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．
（1）已知，求出的度数．又因为垂直平分，根据线段垂直平分线的性质易求出的度数．
（2）利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解．
【详解】（1），
，
又垂直平分，，
，
；
（2）是的垂直平分线，
，，
的周长．
的周长，
，
．
7．(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由“角角边”可证，可得 ．
（2）由等腰三角形的判定可得 ，可得结论；
【详解】（1）证明：
，，
在和中，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
∵，
，
．
8．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
（1）由，即可利用证得≌；
（2）由，即可求得与的度数，即可得的度数，又由，即可求得的度数，则由即可求得答案．
【详解】（1）证明：，
在和中，
，
∴；
（2）解：，
，
又，
由（1）知：，
，
．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）先由等边三角形的性质得，进而得，再根据证明便可；
（2）作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：作交的延长线于．
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
．
10．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
（1）根据线段中点的定义得到，等量代换得到，求得，即，根据全等三角形的性质得到；
（2）过点作，交于，根据平行线的性质得到，再利用直角三角形的性质及等腰三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）证明：为中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）解：过点作，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
11．(1)垂直平分，证明见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）由角平分线的性质得，再由，得，从而根据垂直平分线的判定即可解答；
（2）由，代入计算即可．
【详解】（1）解：垂直平分，证明如下：
是的角平分线，分别是和的高，
，
在与中，
，
，
，
垂直平分；
（2）解：，
，
，
．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，平行线的判定—“同旁内角互补，两直线平行”，掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，平行线的判定是解题的关键．
（1）由 是等边三角形得出，在根据已知条件即可得证；
（2）由（1）得可得，再利用 是等边三角形，得出，即可得证．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
在和中，
（2）由（1）得
又 是等边三角形，
，
，
．
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
（1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；
（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
【详解】（1）证明：连接、，
垂直平分，垂直平分，
，，
点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，，
在中，，，
，
即，，
在四边形中，，
14．(1)见解析
(2)．理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后根据可证明；
（2）先证明垂直平分，再由三线合一得，求出，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得．
【详解】（1）∵为等边三角形，
∴．
又∵，
∴．
（2）．证明如下：
∵，
∴垂直平分．
∵，
∴平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握30°角所对直角边是斜边一半的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
；
（2）解：是等边三角形，
理由如下：连接．
垂直平分，
∴，
，，
，
∴，
，
是等边三角形．
16．(1)见解析；
(2)；
(3)见解析．
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．
（1）根据等边三角形性质得出，，，求出，证即可；
（2）根据全等求出，进而求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出，根据证，推出，求出即可．
【详解】（1）证明：、都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
．
（2）解：，
，
等边三角形，
，
，
，
（3）证明：，
，，，
又点、分别是线段、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
是等边三角形．
17．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论；
（2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形；
（3）延长交于，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)垂直，理由见解析
【分析】（1）根据题意证明，利用全等三角形性质即可证明；
（2）利用等腰三角形性质以及全等三角形性质证明，以及， 再根据对顶角性质得到，进而推出，即可证明；
（3）结合题干条件证明，得到，利用等腰三角形三线合一即可得到与是垂直．
【详解】（1）证明：在与中，
有，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：垂直，理由如下：
由（2）可知，，
，，
，
，
与是垂直．
【点睛】本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，对顶角性质，平行线判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
19．(1)证明见解析过程
(2)
(3)当为、、时，是等腰三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）由“”可证，可得；
（2）由全等三角形的性质可求，由周角的性质可求的度数，由三角形内角和定理可求解；
（3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
，
，
；
（3）解：①要使，需，
，
；
②要使，需，
，
；
③要使，需，
，
．
所以，当为、、时，是等腰三角形．
20．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）先证，再由证即可；
（2）证是等边三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由三角形内角和定理即可得出结论
（3）由等腰三角形的性质得到，再由全等三角形的性质得到，求出，然后由直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明，
∴
在和中
；
（2）由(1)可知，， ，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴在中，；
（3），，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形判定以及性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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