人教版八年级上册数学第十一章与三角形相关的角解答题、证明题训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学第十一章与三角形相关的角解答题、证明题训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-11 06:56:11 | ||
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文档简介
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人教版八年级上册数学第十一章 与三角形相关的角解答题、证明题训练
1．如图，已知：，．
(1)证明：；
(2)若平分，，．求的度数．
2．如图，在中，，于D．
(1)求证：；
(2)若平分分别交、于E、F，求证：．
3．如图，，相交于点，连结，，，分别平分，，与相交于点，与相交于点．求证：．
4．如图，垂足为M， ，垂足为N， ．
(1)求证：；
(2)直接写出图中和互余的角．
5．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
6．如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E，点F为延长线上的一点，连接．
(1)若，，求证：．
(2)若，探究，则________；（直接写答案，不用证明）
7．已知：如图，在中，，是的角平分线，是高，与相交于点．
(1)若，，，求上的高．
(2)求证：．
8．如图，四边形中，，，交的延长线于点E．
(1)判定和的位置关系，并说明理由；
(2)，，求的度数．
9．如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F
(1)若，，试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数
10．如图，、、、是边上的点，，．
(1)试证：；
(2)若平分，，，求的度数．
11．如图，直线与直线分别交于点，．
(1)求证；
(2)如图，点为直线之间一点，分别平分和，探究与之间的数量关系，并证明．
12．如图．已知．
(1)试说明：；
(2)若平分于点D，求的度数．
13．如图，在中，平分交于点，点为直线上一点，连接，，连接交于点，作平分交于点．
(1)求证：；
(2)若．
①试判断，，之间的数量关系，并说明理由；
②若，求的度数．
14．如图，直线分别交射线、于点、，连接和，，，平分．
(1)证明：；
(2)是否平分？请说明理由．
15．如图，，相交于点E，点F、G是线段上的点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
16．如图，在中，平分交于点平分交于点，且．
(1)与有怎样的位置关系，试说明理由；
(2)若，求的度数．
17．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求的度数．
18．如图，，直线分别与直线相交于点E，F，M是和之间的一点，N在上，连接，．
(1)求证：平分；
(2)当，时，求的度数．
19．如图，在四边形中，，连接，点E在边上，点F在边上，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
20．如图，四边形中，点E和点F和分别为边和上的点，并且．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若是的角平分线，，求的度数．
21．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
22．如图，线段于点，平分，为线段延长线上一点，过作，垂足为，的平分线交延长线于点．
(1)证明：．
(2)你能判断、的位置关系吗？请说明理由．
23．如图，中，，平分，
(1)若于，，求的大小；
(2)若交于，求证：．
24．在中，是的角平分线，，
(1)如图1，是边上的高，，，求的度数；
(2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理， 角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
（1）由平行线的性质可得由可得即可证明；
（2）首先利用已知条件可以去求出，然后利用三角形的外角求出 解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵．
∴．
∴；
（2）解：∵是的平分线，且，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴．
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
（1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明．
【详解】（1）证明：，于D，
，，
；
（2）证明：在中，，
同理在中，．
又平分，
，
，
又，
．
3．见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键，由角平分线得，由三角形的内角和定理得，从而得，进而得，，两式相加即可得解．
【详解】证明：∵，分别平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴．
4．(1)见解析
(2)、
【分析】本题考查了平行线判定与性质，垂直的定义，余角的定义等，解题的关键是：
（1）先证明，得出，等量代换得出，然后利用平行线的判定即可得证；
（2）根据垂直定义、三角形内角和定理可得出，根据平行线的性质、等量代换可得出，然后根据余角定义即可求解．
【详解】（1）证明∶∵， ，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴和互余的角有、．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定等知识，解题的关键是：
（1）先根据得到，结合证明，从而得到；
（2）先求出，结合（1）中可求出，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
，，
，
．
6．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线定义．掌握三角形外角的性质和平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）先根据三角形外角的性质得出，再根据，即可得出．
（2）由平行线的性质得出，再由三角形外角性质和角平分线定义得，，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
，
∵平分，
，
，
又，
，
；
（2）解：∵，
，
∵是的平分线，
，
，
，
∴，
∵．
∴．
7．(1)4.8
(2)见解析
【分析】考查了三角形的面积，余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握并且灵活运用．
（1）根据三角形的面积公式可求上的高；
（2）根据余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义可证．
【详解】（1）解：
，
故上的高是4.8；
（2）证明：，
，
是的角平分线，
，
，
．
8．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可；
（2）根据平行线的性质得出，根据，求出，根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：，理由是：
因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）解：因为，，
所以，
因为，
所以．
因为，
所以，
因为，
所以．
9．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定、四边形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握“四边形的内角和是”是解题的关键．
（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用三角形的外角的性质得到，然后证明；
（2）根据四边形的内角和定理得到，即可得到，然后利用角平分线的性质得到，，然后利用三角形的外交和定理即可解题．
【详解】（1），理由为：
∵，
∴，
∵，平分，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵是四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，平分，，
∴，，
∴．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行；三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
（1）根据得出，进而得出，即可求证；
（2）根据角平分线的定义得出，进而得出，根据三角形的内角和定理得出，则，再根据三角形的内角和定理得出，最后根据平行线的性质得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
11．(1)证明见解析；
(2)，证明见解析．
【分析】（）利用补角性质可得，进而即可求证；
（）由角平分线的定义得，，由平行线的性质得，即得，即可得，又由三角形外角性质得，进而即可求证；
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可；
（2）根据角平分线定义得出，根据垂直定义得出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平分，得出，结合，得出，根据“同位角相等，两直线平行”，即可证明；
（2）①根据平分，结合平行线的性质、三角形的内角和定理、，得出，根据平分，得出，即可得出；②根据，结合平行线的性质，推出，根据三角形的内角和定理，推出，由①得，推出，即可得出的度数．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵平分，由（1）得，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴；
②∵，由（1）得，由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．(1)见解析
(2)平分，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据邻补角以及“同位角相等，两直线平行”即可证明；
（2）先证明，再根据平行线的性质与角平分线的定义，即可求证．
【详解】（1）解： ∵，，
∴，
∴；
（2）解：平分．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴平分．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质定理与判定定理求解即可；
（2）根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质．
（1）由，推出，得到，再根据平分交于点平分交于点，推出，进而推出；
（2）由平分交于点，，根据三角形外角的性质得到，再根据平行线的性质即可求出的度数．
【详解】（1）证明：，
，
，
平分交于点平分交于点，
，
，
；
（2）解：平分交于点，
，
，
，
．
17．(1)见解析
(2)互补，见解析
(3)130°
【分析】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
（1）根据同位角相等两直线平行，可证；
（2）根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得与之间的数量关系；
（3）根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，，再根据平角的定义可求的度数．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，
，
．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和与三角形的外角：
（1）根据，得到，进而推出，即可得证；
（2）延长交于点G，根据三角形的外角，求出，三角形的内角和定理，求出的度数即可．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∴平分；
（2）延长交于点G
∵，
∴
∵
∴
∵，
∴．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查多边形的内角与外角、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及角平分线的性质．
（1）由知，结合得，据此即可得证；
（2）由、知，再根据平分线定义及知，由三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴，
∵平分（已知），
∴，
∴，
∵在中，（三角形内角和定理），，
∴．
20．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】此题考查了三角形的内角与外角、平行线的判定，熟记三角形的外角性质是解题的关键．
（1）根据同位角相等，即可证明两直线平行；
（2）根据三角形的外角性质得出，结合题意得到，进而得到，即可判定；
（3）根据“两直线平行，同位角相等”得到，继而得出，由（2）知，根据角平分线的定义得出．
【详解】（1）解：，
．
（2），理由如下：
，
，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
由（2）知，，
，
∵是的角平分线，
．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理．
（1）利用平行线的性质得出，等量代换得出，即可证明．
（2）由已知条件得出，由角平分线的定义得出，由，由三角形的内角和定理即可求出．
【详解】（1）证明∵，
∴
∵，
∴
∴
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，
∴在三角形中，
22．(1)见解析；
(2)，理由见解析；
【分析】（）根据等角的余角相等及直角三角形的两锐角互余证明即可；
（）延长交于点，由角平分线得，再根据直角三角形的性质及判定得从而即可证明结论成立。
【详解】（1）解：∵
∴，
∵，
∴
（2）解：延长交于点，
∵平分，平分，
∴，
由（）得，
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂线的定义，等角的余角相等及角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质以及垂线的定义是解题的关键．
23．(1)
(2)证明，见解析
【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和，三角形的外角和，角平分线的性质，即可．
（1）根据题意，则，求出的角度；再根据角平分线的性质，则，根据，三角形内角和，求出，即可求出；
（2）根据角平分线的性质，三角形内角和，则，根据，则，再根据，即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)
(2)，证明见详解
【分析】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是．
（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题．
（2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到．
【详解】（1）解：如图1
平分，
，
，
，
，
，，
．
（2）解：结论：．
理由：如图2，过作于，
，
，
，
由（1）可得，，
．
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人教版八年级上册数学第十一章 与三角形相关的角解答题、证明题训练
1．如图，已知：，．
(1)证明：；
(2)若平分，，．求的度数．
2．如图，在中，，于D．
(1)求证：；
(2)若平分分别交、于E、F，求证：．
3．如图，，相交于点，连结，，，分别平分，，与相交于点，与相交于点．求证：．
4．如图，垂足为M， ，垂足为N， ．
(1)求证：；
(2)直接写出图中和互余的角．
5．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
6．如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E，点F为延长线上的一点，连接．
(1)若，，求证：．
(2)若，探究，则________；（直接写答案，不用证明）
7．已知：如图，在中，，是的角平分线，是高，与相交于点．
(1)若，，，求上的高．
(2)求证：．
8．如图，四边形中，，，交的延长线于点E．
(1)判定和的位置关系，并说明理由；
(2)，，求的度数．
9．如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F
(1)若，，试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数
10．如图，、、、是边上的点，，．
(1)试证：；
(2)若平分，，，求的度数．
11．如图，直线与直线分别交于点，．
(1)求证；
(2)如图，点为直线之间一点，分别平分和，探究与之间的数量关系，并证明．
12．如图．已知．
(1)试说明：；
(2)若平分于点D，求的度数．
13．如图，在中，平分交于点，点为直线上一点，连接，，连接交于点，作平分交于点．
(1)求证：；
(2)若．
①试判断，，之间的数量关系，并说明理由；
②若，求的度数．
14．如图，直线分别交射线、于点、，连接和，，，平分．
(1)证明：；
(2)是否平分？请说明理由．
15．如图，，相交于点E，点F、G是线段上的点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
16．如图，在中，平分交于点平分交于点，且．
(1)与有怎样的位置关系，试说明理由；
(2)若，求的度数．
17．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求的度数．
18．如图，，直线分别与直线相交于点E，F，M是和之间的一点，N在上，连接，．
(1)求证：平分；
(2)当，时，求的度数．
19．如图，在四边形中，，连接，点E在边上，点F在边上，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
20．如图，四边形中，点E和点F和分别为边和上的点，并且．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若是的角平分线，，求的度数．
21．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，，．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
22．如图，线段于点，平分，为线段延长线上一点，过作，垂足为，的平分线交延长线于点．
(1)证明：．
(2)你能判断、的位置关系吗？请说明理由．
23．如图，中，，平分，
(1)若于，，求的大小；
(2)若交于，求证：．
24．在中，是的角平分线，，
(1)如图1，是边上的高，，，求的度数；
(2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理， 角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
（1）由平行线的性质可得由可得即可证明；
（2）首先利用已知条件可以去求出，然后利用三角形的外角求出 解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵．
∴．
∴；
（2）解：∵是的平分线，且，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴．
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
（1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明．
【详解】（1）证明：，于D，
，，
；
（2）证明：在中，，
同理在中，．
又平分，
，
，
又，
．
3．见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键，由角平分线得，由三角形的内角和定理得，从而得，进而得，，两式相加即可得解．
【详解】证明：∵，分别平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴．
4．(1)见解析
(2)、
【分析】本题考查了平行线判定与性质，垂直的定义，余角的定义等，解题的关键是：
（1）先证明，得出，等量代换得出，然后利用平行线的判定即可得证；
（2）根据垂直定义、三角形内角和定理可得出，根据平行线的性质、等量代换可得出，然后根据余角定义即可求解．
【详解】（1）证明∶∵， ，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴和互余的角有、．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定等知识，解题的关键是：
（1）先根据得到，结合证明，从而得到；
（2）先求出，结合（1）中可求出，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
，，
，
．
6．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线定义．掌握三角形外角的性质和平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）先根据三角形外角的性质得出，再根据，即可得出．
（2）由平行线的性质得出，再由三角形外角性质和角平分线定义得，，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
，
∵平分，
，
，
又，
，
；
（2）解：∵，
，
∵是的平分线，
，
，
，
∴，
∵．
∴．
7．(1)4.8
(2)见解析
【分析】考查了三角形的面积，余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握并且灵活运用．
（1）根据三角形的面积公式可求上的高；
（2）根据余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义可证．
【详解】（1）解：
，
故上的高是4.8；
（2）证明：，
，
是的角平分线，
，
，
．
8．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可；
（2）根据平行线的性质得出，根据，求出，根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：，理由是：
因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）解：因为，，
所以，
因为，
所以．
因为，
所以，
因为，
所以．
9．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定、四边形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握“四边形的内角和是”是解题的关键．
（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用三角形的外角的性质得到，然后证明；
（2）根据四边形的内角和定理得到，即可得到，然后利用角平分线的性质得到，，然后利用三角形的外交和定理即可解题．
【详解】（1），理由为：
∵，
∴，
∵，平分，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵是四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，平分，，
∴，，
∴．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行；三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
（1）根据得出，进而得出，即可求证；
（2）根据角平分线的定义得出，进而得出，根据三角形的内角和定理得出，则，再根据三角形的内角和定理得出，最后根据平行线的性质得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
11．(1)证明见解析；
(2)，证明见解析．
【分析】（）利用补角性质可得，进而即可求证；
（）由角平分线的定义得，，由平行线的性质得，即得，即可得，又由三角形外角性质得，进而即可求证；
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可；
（2）根据角平分线定义得出，根据垂直定义得出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平分，得出，结合，得出，根据“同位角相等，两直线平行”，即可证明；
（2）①根据平分，结合平行线的性质、三角形的内角和定理、，得出，根据平分，得出，即可得出；②根据，结合平行线的性质，推出，根据三角形的内角和定理，推出，由①得，推出，即可得出的度数．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵平分，由（1）得，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴；
②∵，由（1）得，由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．(1)见解析
(2)平分，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据邻补角以及“同位角相等，两直线平行”即可证明；
（2）先证明，再根据平行线的性质与角平分线的定义，即可求证．
【详解】（1）解： ∵，，
∴，
∴；
（2）解：平分．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴平分．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质定理与判定定理求解即可；
（2）根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质．
（1）由，推出，得到，再根据平分交于点平分交于点，推出，进而推出；
（2）由平分交于点，，根据三角形外角的性质得到，再根据平行线的性质即可求出的度数．
【详解】（1）证明：，
，
，
平分交于点平分交于点，
，
，
；
（2）解：平分交于点，
，
，
，
．
17．(1)见解析
(2)互补，见解析
(3)130°
【分析】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
（1）根据同位角相等两直线平行，可证；
（2）根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得与之间的数量关系；
（3）根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，，再根据平角的定义可求的度数．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，
，
．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和与三角形的外角：
（1）根据，得到，进而推出，即可得证；
（2）延长交于点G，根据三角形的外角，求出，三角形的内角和定理，求出的度数即可．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∴平分；
（2）延长交于点G
∵，
∴
∵
∴
∵，
∴．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查多边形的内角与外角、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及角平分线的性质．
（1）由知，结合得，据此即可得证；
（2）由、知，再根据平分线定义及知，由三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴，
∵平分（已知），
∴，
∴，
∵在中，（三角形内角和定理），，
∴．
20．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】此题考查了三角形的内角与外角、平行线的判定，熟记三角形的外角性质是解题的关键．
（1）根据同位角相等，即可证明两直线平行；
（2）根据三角形的外角性质得出，结合题意得到，进而得到，即可判定；
（3）根据“两直线平行，同位角相等”得到，继而得出，由（2）知，根据角平分线的定义得出．
【详解】（1）解：，
．
（2），理由如下：
，
，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
由（2）知，，
，
∵是的角平分线，
．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理．
（1）利用平行线的性质得出，等量代换得出，即可证明．
（2）由已知条件得出，由角平分线的定义得出，由，由三角形的内角和定理即可求出．
【详解】（1）证明∵，
∴
∵，
∴
∴
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，
∴在三角形中，
22．(1)见解析；
(2)，理由见解析；
【分析】（）根据等角的余角相等及直角三角形的两锐角互余证明即可；
（）延长交于点，由角平分线得，再根据直角三角形的性质及判定得从而即可证明结论成立。
【详解】（1）解：∵
∴，
∵，
∴
（2）解：延长交于点，
∵平分，平分，
∴，
由（）得，
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂线的定义，等角的余角相等及角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质以及垂线的定义是解题的关键．
23．(1)
(2)证明，见解析
【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和，三角形的外角和，角平分线的性质，即可．
（1）根据题意，则，求出的角度；再根据角平分线的性质，则，根据，三角形内角和，求出，即可求出；
（2）根据角平分线的性质，三角形内角和，则，根据，则，再根据，即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)
(2)，证明见详解
【分析】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是．
（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题．
（2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到．
【详解】（1）解：如图1
平分，
，
，
，
，
，，
．
（2）解：结论：．
理由：如图2，过作于，
，
，
，
由（1）可得，，
．
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