八年级数学上册试题 第十二章 全等三角形章节复习卷--人教版（含详解）

第十二章《 全等三角形》章节复习卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形
2．如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（　　）
A．AB＝3 B．BO＝3 C．DB＝3 D．DO＝3
3．作一个三角形与已知三角形全等：
已知：．
求作：，使得．
作法：如图．
（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
4．如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
6．如图，用尺规作∠AOB的平分线可以按如下步骤进行：①以点O为圆心，线段m为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N为圆心，线段n为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．以下关于线段m，n的长说法正确的是（ ）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜MN C．m＞0，n＞MN D．以上都不对
7．如图，已知与，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，分别是、上的点，过点作，，垂足分别是点，，连接，若，，则下面三个结论：①；②；③．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
9．如图，在正六边形ABCDEF中，点G，H分别是边BC，CD上的点，且，AG交BH于点O，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　）
A．8.5 B．15 C．17 D．34
11．如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
12．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，D为的外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交BA的延长线于F，则下列结论：
①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分）
15．一个三角形的三条边的长分别是5，8，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是________．
16．如图，在和中，A、F、C、D在同一直线上，，，当添加条件______时，就可得到（只需填一个你认为正确的条件即可）．
17．已知，如图，中，在和边上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，点，分别是射线，上一点，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积是_______．
18．如图．已知中，厘米，，厘米，D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．若点Q的运动速度为a厘米/秒，则当与全等时，a的值为______．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．如图，点A、B，C、D在同一条直线上，，已知，，求AD的长．
20．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，且AB＝AC，BE交CD于点O．
（1）求证：DB＝EC．
（2）求证：AO平分∠BAC．
21.如图，已知中，是的角平分线，于E点．
(1)求的度数；
(2)若，求．
22．已知：，，，垂足分别为D，E，且BD，CE相交于点F．
(1)如图①，求证：．
(2)如图②，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中的全等三角形（至少写出两对）．
23．已知，在中，，．
（1）在BC上找一点E，使得点E到AB，AC的距离相等（尺规作图，保留痕迹）
（2）若，求的度数．
24．如图，四边形ACDB中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC，OE⊥AC，垂足为点E．
(1)求证：CO平分∠ACD；
(2)求证：OA⊥OC；
(3)判断AB，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
25．已知：在中，于点D，于点E，与交于点G．
(1)如图，求证：；
(2)如图，若，求证：；
(3)如图，在（2）的条件下，连接，若，求四边形的面积．
26．（通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点.由，得.又，可以推理得到.进而得到 ， .我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】（2）①如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点.求证：点是的中点；
②如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点.若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标.
答案
一、选择题
1．B
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】
解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：B．
2．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等，即可求解．
【详解】
解：∵△AOC≌△DOB，AO＝3，
∴DO=AO=3．
故选：D
3．D
【解析】
【分析】
根据SSS证明三角形全等即可．
【详解】
解：根据傻得，A′B′=AB，A′C′=AC；
在△A′B′C′和△ABC中，
，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
故选：D．
4．B
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠BAC，然后根据∠EAC=∠DAE-∠DAC即可解答．
【详解】
解：∵∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=80°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=80°-35°=45°．
故选B．
5．A
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定方法和三角形三边之间的数量关系逐个判断即可求解．
【详解】
解：A、∵，，，
根据ASA判定三角形全等的方法可得，能唯一画出．符合题意；
B、∵，，，
两边及其中一边的对角确定，三角形不唯一，
∴不能唯一画出，不符合题意；
C、∵，，，3+4＜8，
∴AB+BC＜CA，
∴不能画出，不符合题意；
D、∵， ，
∵AB的位置不固定，只有一边的长度和一角的度数确定，三角形不唯一，
∴不能唯一画出，不符合题意．
故选：A．
6．
解：利用尺规作图作一个角的平分线，其步骤为：
第一步，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
第二步，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
第三步，画射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线．
故选：C．
7．
在和
，即
故选：
8．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质和全等三角形的判定可证得到,即可证明．
【详解】
解：连接，
在和中，
，，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
，根据现有条件无法确定其全等，故③错误．
故选：C．
9．C
【解析】
【分析】
根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH；得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果．
【详解】
∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中
，
∴△ABG≌△BCH；
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BOG=∠ABG=120°，
∴∠AOH=∠BOG=120°．
故选C
10．C
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可．
【详解】
∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，
∴点O到△ABC各边的距离相等，
而OD⊥BC，OD＝4，
∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，
∴AB+AC+BC＝17，
即△ABC的周长为17．
故选：C．
11．C
【解析】
【分析】
如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，证明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可证明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC= ．
【详解】
解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，
∴∠AHC=∠BGC=90°，
∵∠ACB=90°，AF⊥BE，
∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠CAH=∠CBG，
又∵AC=BC，
∴△AHC≌△BCG（AAS），
∴CH=CG，
∵CH⊥EF，CG⊥BE，
∴CE平分∠BEF，
∴∠BEC=．
12．A
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．
【详解】
解：在中，的平分线交于点D，，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，
∴BF=CD=3，故A错误；
故选：A．
13．B
【解析】
【分析】
在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长．
【详解】
解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，
故选：B．
14．D
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”可证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB＋AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，根据三角形内角和是180°和∠AOB=∠COD（设AC交BD于点O），得到∠BDC＝∠BAC；根据三角形内角和是180°易得∠DAE＝∠CBD，再根据角平分线可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD．
【详解】
∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DE＝DF
在Rt△CDE和Rt△BDF中
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF
在Rt△ADE和Rt△ADF中
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF
∴CE＝AB＋AF＝AB＋AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF
∴∠DBF＝∠DCE
∵∠AOB=∠COD（设AC交BD于点O）
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°
∠DBF＝∠DCE
∴∠DAE＝∠CBD，
∵∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④.
故选D
二、填空题
15．7.5或7
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等即可得到答案，注意分类讨论．
【详解】
解：∵一个三角形的三条边的长分别是5，8，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，这两个三角形全等，
∴∴4x+2=8，2y-2=10或4x+2=10，2y-2=8，
解得x=1.5，y=6或x=2，y=5，
∴x+y=7.5或7，
故答案为：7.5或7．
16．BC=EF（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要证明△ABC≌△FED，已知，AC=FD，AB=DE，具备了两边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法进行解答即可．
【详解】
解：∵
∴
又∵
添加BC=EF，利用SSS得到△ABC≌△DBF；
或添加∠A=∠D，利用SAS得到△ABC≌△DBF；
故答案为：BC=EF或∠A=∠D（任写一个即可）
17．6
【解析】
【分析】
根据基本作图，可知OP平分∠AOB，过点P作PF⊥OB于F，根据角平分线的性质得出PF=PC=3，那么△POD的面积．
【详解】
解：如图，过点P作PF⊥OB于F，由题意可知，OP平分∠AOB，
∵PC⊥OA，垂足为点C，PF⊥OB于F， OP平分∠AOB，，
∴PF=PC=3，
∴△POD的面积=．
故答案为：6．
18．2或3
【解析】
【分析】
此题要分两种情况：①当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求a；②当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求a．
【详解】
解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=6cm，
∵BD=PC，
∴BP=8-6=2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP=CQ=2cm，
∴a=2÷1=2；
当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD=6cm，PB=PC，
∴QC=6cm，
∵BC=8cm，
∴BP=4cm，
∴运动时间为4÷2=2（s），
∴a=6÷2=3（m/s），
故答案为：2或3．
三、解答题
19．
解：，
．
，，
，
．
20．
（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即DB＝EC；
（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△BDO和△CEO中，
，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OD＝OE，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴AO平分∠BAC．
21．
（1）解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，∴，
∴；
（2）解∶如图，过D作于F．
∵是的角平分线，，∴，
又∵，且，
∴．
22．
(1)
证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
(2)△BEF≌△CDF，△AEF≌△ADF；
证明：由（1）可知，
∵，
∴BE＝DC，
∵，
∴∠B＝∠C，
∵∠CDF＝∠BEF＝90°，
∴△BEF≌△CDF（ASA），
∴EF＝DF，
∵AF＝AF，，
∴△AEF≌△ADF（HL）．
23．
解：（1）如图，点为所作；
（2）点到，的距离相等，
点在的平分线上，即平分，
∠CAE=∠BAE=350，
∠BAC=2×350=700，
∴∠C=∠B-∠BAC=200 ．
24．
(1)证明：∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，OE⊥AC，
∴OB＝OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
又∵EO⊥AC，∠D＝90°，
∴OC平分∠ACD．
(2)证明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB＝∠AOE，
同理求出∠COD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝×180°＝90°，
∴OA⊥OC．
(3)结论：AB＋CD＝AC．
理由：∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE，
同理可得CD＝CE，
∵AC＝AE＋CE，
∴AB＋CD＝AC．
故答案为：AB＋CD＝AC．
25．
（1）证明：∵，
∴和是直角三角形．
在和中，
，，
∵，∴；
（2）证明：∵，，
∴．
在和中，，
∴，∴；
（3）解：过点D作交于点F，如图所示
，
∵，，
∴．
由（2）可知：
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴ ，
∴．
26．
解：（1）AC=DE，BC=AE；
故答案为：，
（2）①如图，作于，于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，，，，
∴（），
∴，
同理，
∴，
∵，，
∴，
在与中，，，，
∴（），
∴，
∴点是的中点；
②如图，过A作AM⊥y轴，过B作BN⊥x轴于N，AM与BN相交于M，
∴∠M=90°，
∵∠OBA=90°，
∴∠ABM+∠OBN=90°，
∵∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠OBN=∠BAM，
在△OBN与△BAM中， ，
∴△OBN≌△BAM（AAS），
∴AM=BN，ON=BM，
设AM=x，则BN=AM=x，
∴ON= x+2，
∴MB+NB=x+x+2=MN=4，
∴x=1，x+2=3，
∴点B的坐标（3,1）；
如图
同理可得，点B的坐标（-1,3），
综上所述，点B的坐标为，