2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.数列，满足，，则的前项之和等于( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知某公司生产的一种产品的质量单位：千克服从正态分布，现从该产品的生产线上随机抽取件产品，其中质量在区间内的产品估计有( )
附：若，则，．
A. 件 B. 件 C. 件 D. 件
8.函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的分布列为
则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
10.年月日，很多商场都在搞促销活动．重庆市物价局派人对个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有( )
A. 变量与负相关且相关性较强 B.
C. 当时，的估计值为 D. 相应于点的残差为
11.已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D. 当且仅当时，取得最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用到这个数字，可以组成______个没有重复数字的三位数．
13.在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第次抽到男生的条件下，第次抽到女生的概率为______．
14.已知随机变量，当取最大值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知递增的等比数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
某种产品年到年的年投资金额万元与年利润万元的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知年利润的平均值是
年份
年投资金额万元
年利润万元
Ⅰ求表中实数的值；
Ⅱ求关于的线性回归方程．
参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
17.本小题分
某城市地铁将于年月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了人，他们的收入与态度如下：
月收入单
位：百元
赞成定价
者人数
认为价格
偏高者人数
若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少所有计算结果四舍五入保留整数；
由以上统计数据填下面列联表，依据小概率值的独立性检验，可否认为“月收入以百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．
月收入不低于百元的人数 月收入低于百元的人数 合计
认为价格偏高者
赞成定价者
合计
附：．
参考数据：
18.本小题分
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上件产品称出它们的质量单位：克作为样本数据，质量的分组区间为，，，由此得到样本的频率分布直方图如图．
根据频率分布直方图，求质量超过克的产品数量；
在上述抽取的件产品中任取件，设为质量超过克的产品数量，求的份布列和数学期望；
从流水线上任取件产品，设为质量超过克的产品数量，求的分布列和方差．
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数．
求的单调区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设等比数列公比为，
由题意有，解得，
所以．
，
所以，
，
，
．
16.解：Ⅰ由，解得；
Ⅱ由题意，，．
．
．
，则．
故关于的线性回归方程为．
17.解：“赞成定价者”的月平均收入为百元，
“认为价格偏高者”的月平均收入为百元，
“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是百元．
根据条件可得列联表如下：
月收入不低于百元人数 月收入低于百元人数 合计
认为价格偏高者
赞成定价者
合计
零假设为：月收入以百元为分界点对地铁定价的态度无差异，
，
故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为“月收入以百元为分界点对地铁定价的态度没有差异”．
18.解：质量超过克的产品的频率为，
所以质量超过克的产品数量为件．
质量超过克的产品数量为，
则质量未超过克的产品数量为，的取值为，，，
，，，
所以的分布列为：
数学期望为．
根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过克的概率为，
从流水线上任取件产品互不影响，
因此质量超过克的件数可能的取值为，，，且，
，，，
所以的分布列为：
方差为．
19.解：由，得，
令，则，解得或．
令，则，解得．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，因为在上递减，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
当时，因为在上递减，在上递增，且，
所以在上的最大值为，最小值为．
当时，因为在上递减，在上递增，且，
所以在上的最大值为，最小值为．
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