(共39张PPT)
第二节 常用逻辑用语
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的________条件，q是p的________条件 p是q的__________条件 p q且q p
p是q的__________条件 p q且q p
p是q的__________条件 p q
p是q的______________条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“______”表示．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“______”表示．
全称量词
存在量词
3．全称量词命题与存在量词命题及其否定
有些命题中省略了量词，在进行否定时先改写为完整形式，再进行否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ________ x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) ________
x∈M，p(x)
x∈M， p(x)
【常用结论】
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“长方形的对角线相等”是存在量词命题．( )
(2)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( )
×
×
√
√
2．(教材改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.
3．(教材改编)(多选)下列命题为真命题的是( )
A．任意实数的平方大于或等于0
B．对任意实数a，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称
C．存在整数x，y，使得2x＋4y＝3
D．存在一个无理数，它的立方是有理数
答案：ABD
解析：A、B为真命题；C为假命题，因为2x＋4y＝2(x＋2y)必为偶数；D为真命题，如x＝，x3＝2∈Q.故选ABD.
4．(易错)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
答案：A
解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．故选A.
5．(易错)命题“ x<1，<1”的否定是______．
答案： x<1，0≤x≤1
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时，既改量词，又否结论，“<1”的否定是“0≤x≤1”．
课堂互动探究案
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
2．理解判定定理与充分条件，性质定理与必要条件，数学定义与充要条件的关系．
3．理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
问题思考·夯实技能
【问题1】 充分条件与必要条件的两个特征是什么？
提示：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p q” “q p”．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p q且q r” “p r”(“p q且q r” “p r”)．
【问题2】 如何判断全称量词命题与存在量词命题的真假？
提示：(1)全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．
(2)存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x，使得p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题．
关键能力·题型剖析
题型一 充分条件、必要条件的判断
例 1 (1)[2023·全国甲卷] “sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
答案：B
解析：当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0但sinα＋cos β≠0，
即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0；
当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，
即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.
综上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cos β＝0成立的必要不充分条件．
(2)[2024·重庆万州模拟]下列四个条件中，是“x
A．x2C．xz2 024答案：C
解析：若x2y，此时x0，此时x题后师说
充分、必要条件的两种常用判断方法
巩固训练1
(1)[2024·安徽蚌埠模拟]若a，b∈R且ab≠0，则“<1”是“aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：D
解析：若a＝1，b＝－1，满足<1，此时a>b，排除充分性，若a＝－2，b＝－1，满足a1，排除必要性．故选D.
(2)a<0，b<0的一个必要条件是( )
A．a＋b<0
B．ab>2
C．a－b>0
D．a2－b2<0
答案：A
解析：因为a<0，b<0，所以a＋b<0，所以a＋b<0是a<0，b<0的一个必要条件，
若a＝－1，b＝－1，不能得到ab>2，a－b>0，a2－b2<0.
题型二 充分条件、必要条件的应用
例2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[0，3]
解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
又∵S≠ ，如图所示，
则∴0≤m≤3.
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].
【变式练习】 本例中，若把“x∈P是x∈S的必要条件”改为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，求m的取值范围．
题后师说
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
巩固训练2
已知p：关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有实数根，q：m－1≤a≤m＋3.
若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解析：由题意Δ＝4a2－4(a2＋a－2)＝－4a＋8≥0，解得a≤2.
所以{a|m－1≤a≤m＋3}?{a|a≤2}，则m＋3≤2，解得m≤－1，所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
题型三 全称量词与存在量词
角度一 含有量词命题的否定
例 3 (1)[2024·河北石家庄模拟]已知命题p： x∈R，tan x<π或ex＋2≥π，则命题p的否定为( )
A． x∈R，tan x≥π或ex＋2<π
B． x∈R，tan x<π且ex＋2≥π
C． x∈R，tan x<π且ex＋2≥π
D． x∈R，tan x≥π且ex＋2<π
答案：D
解析：根据全称量词命题与存在量词命题的关系，因为命题p： x∈R，tan x<π或ex＋2≥π是存在量词命题，所以命题p的否定为 x∈R，tan x≥π且ex＋2<π.
(2)已知命题p： x≥0，ex≥x2＋1，则命题p的否定为( )
A． x≥0，exB． x<0，exC． x≥0，exD． x<0，ex答案：C
解析：已知命题p： x≥0，ex≥x2＋1，则命题p的否定为： x≥0，ex题后师说
对一个全称量词命题或存在量词命题进行否定时，要把命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定，即“改变量词，否定结论”．
巩固训练3
(1)[2024·广东深圳模拟]命题“ a∈N*，2a≥a2”的否定是( )
A． a∈N*，2a≥a2
B． a∈N*，2aC． a∈N*，2aD． a∈N*，2a>a2
答案：B
解析：“ a∈N*，2a≥a2”是全称量词命题，它的否定是存在量词命题“ a∈N*，2a(2)命题：－x0－1≤0的否定是( )
－x0－1>0
B． x≤0，x2－x－1>0
－x0－1<0
D． x>0，x2－x－1>0
答案：D
解析：由题意可得命题“－x0－1≤0”的否定是“ x>0，x2－x－1>0”．
角度二 含有量词命题的应用
例 4 [2024·河北衡水二中模拟]设命题p： x∈(，2)，x＋>a，若 p是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，2]
解析： p是假命题，故p是真命题；
又当x∈(，2)时，y＝x＋单调递增，其值域为(2，3)，
若满足题意，则2≥a，即a的取值范围为(－∞，2].
题后师说
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
巩固训练4
[2024·山东济南历城二中模拟]已知命题“p： x∈R，ax2－ax≥1”，若 p是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案：(－4，0]
解析：命题“ p： x∈R，ax2－ax<1”为真命题，则ax2－ax－1<0恒成立．
当a＝0时，－1<0恒成立，
，解得－4综上－4随堂检测
1.[2024·海南海口模拟]命题“ x∈(－1，3)，x2－1≤2x”的否定是( )
A． x∈(－1，3)，x2－1≤2x
B． x∈(－1，3)，x2－1>2x
C． x∈(－1，3)，x2－1>2x
D． x (－1，3)，x2－1>2x
答案：C
解析：∵命题“ x∈(－1，3)，x2－1≤2x”是存在量词命题，∴它的否定是“ x∈(－1，3)，x2－1>2x”．
2．[2024·河北石家庄模拟]“a＋1>b－2”是“a>b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
3．[2024·安徽芜湖模拟]“lg a>lg b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：lg a>lg b a>b>0 a2>b2，由a2>b2 |a|>|b|，不能得到a>b>0，也得不到lg a>lg b，所以lg a>lg b是a2>b2的充分不必要条件．
4．使≥1成立的一个充分不必要条件是( )
A．1C．x<2 D．0答案：B
解析：由≥1得05．[2024·河南焦作模拟]若命题：“ x0∈R，使－mx0＋1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为________．
答案：[0，4)
解析：由题意可知命题“ x∈R，mx2－mx＋1>0”是真命题，
①当m＝0时，结论显然成立；
②当m≠0时，则，解得0第三节 等式性质与不等式性质
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.比较两个实数大小的方法
关系 方法 作差法 作商法作商比较的两个数是同号的
a>b a－b>0
a＝b a－b＝0
a2.不等式的性质
性质 性质内容
对称性 a>b ________；a传递性 a>b，b>c ________；a可加性 a>b a＋c>b＋c
可乘性 a>b，c>0 ________；a>b，c<0 ________
同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d
同向不等式可以相加，但不能相减
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ________
可乘方性 a>b>0，n∈N* an>bn
可开方性
bb>a
a>c
aac>bc
acac>bd
【常用结论】
1．倒数性质：若02．若a>b>0，m>0，则<>(b－m>0)．
3．若a>b>0，m>0，则><(b－m>0)．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(3)若>1，则a>b.( )
(4)a>b>0，c>d>0 >.( )
√
×
×
√
2．(教材改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M＞N B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
答案：A
解析：因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A.
3．(教材改编)设a＝＋2，b＝2＋，则a，b大小关系为________．
答案：a解析：a2＝11＋4，b2＝11＋4，
∴a2－b2＝4()<0，∴a4．(易错)若a>b>0，cA．>0 B．<0
C．> D．<
答案：D
解析：A.对a>b>0，当c＝－a，d＝－b时，有cb>0，可得>1，由c1，则＝＝·>1.由于<0，故<，C错误；
由C选项的解析可知D正确．故选D.
5．(易错)已知－1答案：(－6，5)
解析：∵－3课堂互动探究案
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据．
2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 对于非零实数a，b，如果a>b，是否一定有<？
提示：不一定．当a>b>0时，一定有<，当0>a>b时，也一定有<，但当a>0>b时，应有>.
【问题2】 已知a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，再添加m克糖(m>0)(糖全部溶解)，糖水变甜了，请你用一个不等式表示这一事实．
提示：<
关键能力·题型剖析
题型一 比较数(式)的大小
例 1 (1)[2024·湖南长沙模拟]设互不相等的三个实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．b>a>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
答案：D
解析：由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得b＝1＋a2，且三个实数a，b，c互不相等，
于是b－a＝1－a＋a2＝(a－)2＋>0，即b>a，
而c－b＝(2－a)2≥0，因此c>b，
所以a，b，c的大小关系是c>b>a.
(2)若a＝，b＝，c＝，则( )
A．aC．c答案：B
解析：方法一 对于函数y＝f(x)＝，y′＝，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c方法二 易知a，b，c都是正数，
＝＝<1，所以a>b；
＝＝>1，
所以b>c，即c题后师说
比较大小的常用方法
巩固训练1
(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)·(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为( )
A．MN
C．M≤N D．M≥N
答案：B
解析：M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.
(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．
解析：∵＝＝()a－b，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
∴()a－b>1，即>1，
又abba>0，∴aabb>abba.
题型二 不等式的性质
例2 (1)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b≥b－c B．ac≥bc
C．>0 D．(a－b)c2≥0
答案：D
解析：A显然错误，例如a＝3，b＝2，c＝－10，a＋bc<0时，由a>b得aca>b a－b>0，但c＝0时，＝0，C错；
a>b a－b>0，又c2≥0，所以(a－b)c2≥0，D正确．
(2)(多选)[2024·河北衡水模拟]已知<<0，则下列不等式一定成立的有( )
A．>1 B．<0 C．< D．bc答案：BD
解析：由<<0，得c≠0，当c>0时，得0>>，即ab>0，综上ab>0>c，上述两种情况均可得0<<1，故A选项错误；当ab>0>c时，得<0，故B选项正确；
令a＝－1，b＝－，c＝1，则＝2，＝0，从而得>，故C选项错误；
由上述论证可知bc<0题后师说
判断不等式的常用方法
巩固训练2
(1)已知a>b>0，cA．－<－ B．c2C．a＋c答案：D
解析：(1)方法一 已知a>b>0，c－1，故A项不正确；又c2＝4，cd＝2，4>2，故B项不正确；而a＋c＝b＋d＝0，故C项也不正确；所以排除ABC.
方法二 在a>b两边同除以负数－ab得－<－，与A项矛盾；c2－cd＝c(c－d)>0，与B项矛盾；由(a＋c)－(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)，又a－b>0，c－d<0，
故(a－b)＋(c－d)不一定小于0，故C项不正确；由c－d>0，又a>b>0，两式相乘得－ac>－bd，两边同除以负数－cd可得，<，故D项正确．
(2)(多选)已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是( )
A．如果a>b，那么< B．如果acC．如果a>b，那么> D．如果c>a>b>0，那么>
答案：CD
解析：取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A，B中的前提条件．
对于选项A，有>，故A是假命题；对于选项B，有a>b，故B是假命题；
对于选项C，∵c≠0，∴>0，由不等式的性质4知C是真命题；
对于选项D，a>b>0 －a<－b<0 0b>0，∴>，故D是真命题．
题型三 不等式性质的应用
例 3 设2
答案：(5，13) (2，14)
解析：∵2∵2【变式练习】 本例条件不变，则2a－b的取值范围是________；的取值范围是________．
答案：(2，13) (1，7)
解析：∵2由同向不等式的可加性，得2<2a－b<13，
由同向同正不等式的可乘性，得1<<7.
题后师说
利用不等式的性质求取值范围时，应注意同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
巩固训练3
已知a>b>c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是( )
A．－3<<－1 B．－1<<－
C．－2<<－1 D．－1<<－
答案：A
解析：解析：∵a>b>c，2a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，∴b＝－2a－c，且a>0，c<0，
∵a>b>c，∴－2a－c－c，解得>－3，
将b＝－2a－c代入b>c，可得－2a－c>c，可得a<－c，可得<－1，
∴－3<<－1.故选A.
随堂检测
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是( )
A．a>b B．aC．a≥b D．a，b大小不确定
答案：B
解析：因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)
＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)
＝x2＋4x＋5
＝(x＋2)2＋1>0，
所以a2．已知0A．abC．b答案：B
解析：对于A，因为0b，故A错误；
对于B，因为0b，又因为0ab，则b3．下列命题为假命题的是( )
A．若a>b，c∈R，则a＋c>b＋c
B．若a>b，b>c，则a>c
C．若a>b，c>0，则ac>bc
D．若a>b，c>d，则ac>bd
答案：D
解析：对于A，若a>b，c∈R，则a＋c>b＋c，A是真命题；
对于B，若a>b，b>c，则a>c，B是真命题；
对于C，若a>b，c>0，则ac>bc，C是真命题；
对于D，取a＝1，b＝0，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，而ac＝－1<0＝bd，D是假命题．
4．(多选)若a>b>0，dA．ac>bc B．a－d>b－c
C．< D．a3>b3
答案：BD
解析：对于选项A：因为ac－bc＝(a－b)c，又因为a>b，c<0，则a－b>0，可得ac－bc＝(a－b)c<0，所以acb，d0，c－d>0，可得(a－d)－(b－c)＝(a－b)＋(c－d)>0，所以a－d>b－c，故B正确；对于选项C：因为＝，又因为d0，c－d>0，可得＝>0，所以>，故C错误；
对于选项D：因为a>b>0，所以a3>b3，故D正确．
5．已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________．
答案：(0，)
解析：∵0<β<α<，∴－<－β<0，α－β>0，
∴0<α－β<.
∴α－β的取值范围是(0，)．
状元笔记 一类特殊类型的范围问题
【典例1】 [2024·江苏南通模拟]已知a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，则4a－2b的取值范围是( )
A．[1，5] B．[2，7] C．[1，6] D．[0，9]
[答案] B
[解析] 方法一 设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，
所以，解得，
所以4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)，
又a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，
所以3(a－b)∈[0，3]，4a－2b∈，故A，C，D错误．故选B.
方法二 令 ∴
∴4a－2b＝4×－2×＝3m＋n∈[2，7].
故选B.
【典例2】 设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(3)的取值范围是________．
[答案] [15，30]
[解析] 由1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，得1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，
则f(3)＝9a＋3b，
设∴
∴f(3)＝9a＋3b＝9×＋3×＝3m＋6n∈[15，30].(共49张PPT)
第四节 基本不等式
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.基本不等式 也叫均值不等式
(1)基本不等式成立的条件：__________．
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
(3)其中_____称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
a>0，b>0
a＝b
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最小值________．(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当________时，xy有最大值________．(简记：和定积最大)．
x＝y
2
x＝y
S2
【常用结论】
(5)≤ ≤ (a>0，b>0)
(6)柯西不等式： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(a，b，c，d∈R)当且仅当ad＝bc时等号成立
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．( )
(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(3)x>0且y>0是≥2的充分不必要条件．( )
(4)函数y＝sin x＋，x∈(0，)的最小值为4.( )
×
×
√
×
2．(教材改编)已知0A． B．
C． D．
答案：B
解析：因为03．(教材改编)若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案：25
解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2，
则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x) m，所以y＝x(10－x)≤[]2＝25(m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
4．(易错)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
答案：C
解析：f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当x－2＝1时，即x＝3时等号成立．∴a＝3.故选C.
5．(易错)y＝2＋x＋(x<0)的最大值为______．
答案：2－2
解析：∵x<0，∴－x>0，
∴y＝2＋x＋＝2－(－x－)，
又－x－≥2 ＝2，
∴y＝2＋x＋＝2－(－x－)≤2－2，
当且仅当－x＝－，且x<0，即x＝－时等号成立．
课堂互动探究案
1.掌握基本不等式 (a>0，b>0)．
2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 几何画板给出直角三角形ADB，斜边上的高为CD，垂足C把斜边AB分为长度为a，b的两段线段，你能由这个图形，得出不等式的几何解释吗？
提示：如图，
可证△ACD∽△DCB，因而CD＝.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表述为，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，不等式的等号成立．
【问题2】 利用基本不等式求最值时，必须满足的三个条件是什么？
提示：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
关键能力·题型剖析
题型一 利用基本不等式求最值
角度一 配凑法求最值
例 1 (1)函数y＝3x＋(x>1)的最小值是( )
A．4 B．2－3
C．2 D．2＋3
答案：D
解析：因为x>1，所以y＝3(x－1)＋＋3≥2 ＋3＝2＋3，当且仅当3(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立．
所以函数y＝3x＋(x>1)的最小值是2＋3.
(2)[2024·河北沧州模拟]若x>3，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值2 D．最小值2
答案：D
解析：∵x>3，∴x－3>0，
∴f(x)＝＝＝(x－3)＋≥2 ＝2，
当且仅当x－3＝，即x＝4时，等号成立，
即f(x)有最小值2.
题后师说
配凑法求最值的策略
巩固训练1
(1)[2024·山西晋中模拟]已知0A．2 B．4
C．5 D．6
答案：B
解析：因为0所以y＝2x＝2≤2
＝4，
当且仅当x2＝4－x2时取等号，因为0(2)若x<1，则函数f(x)＝x＋的最大值为____________．
答案：－2＋1
解析：f(x)＝x＋＝x－1＋＋1＝－＋1，
由于x<1，所以1－x>0，故1－x＋≥2＝2，当且仅当1－x＝ x＝1－时等号成立，
因此f(x)＝－＋1≤－2＋1.
角度二 “1”的代换法求最值
例 2 (1)[2024·河北保定模拟]若实数x>0，y>0，且x＋2y＝1，则( )
A．有最大值为 B．有最小值为
C．有最小值为2 D．无最小值
答案：B
解析：因为x＋2y＝1，
所以＝＝≥＝，当且仅当＝，即x＝3－2，y＝－1时取“＝”．
(2)[2024·浙江宁波模拟]已知正实数x，y满足xy－x－2y＝0，则x＋y的最小值是________．
答案：3＋2
解析：因为xy－x－2y＝0，所以x＋2y＝xy，所以＝1，
所以x＋y＝(x＋y)()＝2＋＋1≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当＝＝1时等号成立，即x＝2＋，y＝＋1时等号成立，
所以x＋y的最小值是3＋2.
题后师说
“1”的代换法求最值的一般步骤
巩固训练2
(1)[2024·辽宁沈阳模拟]已知正实数x，y满足＝1，则2xy－2x－y的最小值为( )
A．2 B．4 C．8 D．9
答案：C
解析：2xy－2x－y＝2xy·1－(2x＋y)＝2xy·()－(2x＋y)＝2y＋4x－2x－y＝2x＋y，而(2x＋y)·1＝(2x＋y)()＝4＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当即x＝2，y＝4时取等号．
(2)若0答案：
解析：因为a＋(4－a)＝4，所以＝[a＋(4－a)]()＝.
因为00，>0，所以≥2＝8，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，则×(8＋10)＝.
角度三 消元法求最值
例 3 [2024·重庆南开中学模拟]已知x>0，y>0，xy＋2x－y＝10，则x＋y的最小值为( )
A．2－1 B．2
C．4 D．4－1
答案：D
解析：因为x>0，y>0，由xy＋2x－y＝10，得x＝，
所以x＋y＝＋y＝＋y＋2－1≥2－1＝4－1，
当且仅当y＝2－2时，等号成立．
故x＋y的最小值为4－1.
题后师说
在条件最值问题中，当含有多个变量时，可以根据已知条件，用一个变量表示另一个变量，从而将欲求最值的代数式中的变量减少，只保留一个变量，然后通过拼凑，创造符合基本不等式应用的条件，求得最值．
巩固训练3
设x>0，xy＋y＝4，则z＝3x＋y＋2的最小值为( )
A．4－1 B．4＋2
C．4＋1 D．6
答案：A
解析：由题意x>0，xy＋y＝4，所以y＝>0，所以z＝3x＋＋2＝3(x＋1)－3＋＋2＝3(x＋1)＋－1≥2 －1＝4－1，
当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1>0时等号成立．
题型二 利用基本不等式求参数或范围
例 4 (1)[2024·江苏宿迁模拟]当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≤2} B．{a|a≥2}
C．{a|a≥3} D．{a|a≤3}
答案：D
解析：因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故x＋的最小值为3.
因为当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，所以a≤3.
(2)已知对任意正实数x，y，(x＋y)()≥9恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
答案：C
解析：∵a，x，y>0，∴(x＋y)()＝1＋a＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2，当且仅当y＝x时取等号．
∵对任意正实数x，y，(x＋y)()≥9恒成立，∴1＋a＋2≥9，化为()2＋2－8≥0，变为(＋4)(－2)≥0，解得≥2，∴a≥4.
∴a的最小值为4.
题后师说
(1)对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；
(2)利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围．
巩固训练4
(1)当x>a时， 2x＋的最小值为10，则a＝( )
A．1 B． C．2 D．4
答案：A
解析：当x>a时，2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.
(2)正数a，b满足a＋4b－3ab＝0，若不等式m2－4m答案：(2－，2＋)
解析：由题＝3，
则a＋b＝＝＝3，
∴m2－4m<3，
解得2－题型三 利用基本不等式解决实际问题
例 5 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池．其平面图如图所示，每个育苗池的底面积为200平方米，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x米(10≤x≤20)，甬路的面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价．
解析：(1)由题意可得每个育苗池另一边长为米，
则S＝(x＋4)(＋2×4)－600＝8x＋＋32，10≤x≤20.
(2)设总造价为w元，则w＝200×2(6x＋)＋600×3×200＋100S＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200＝3 200x＋＋363 200，10≤x≤20，
其中3 200x＋≥2＝96 000，
当且仅当3 200x＝，即x＝15∈[10，20]时，等号成立，
故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200，
所以x＝15米时，总造价最低，最低总造价为459 200元．
题后师说
利用基本不等式解实际应用问题的技巧
巩固训练5
某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：C
解析：由题意可得该设备年平均费用y＝＝(x∈N*)，
∵x>0，则y＝≥2 ＝，
当且仅当＝，即x＝9∈N*时，等号成立，
∴该设备年平均费用最少时的年限为9.
随堂检测
1.[2021·全国乙卷]下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋
答案：C
解析：对于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；
对于B，因为0<|sin x|≤1，y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝2时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y＝2x＋22－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；
对于D，y＝ln x＋，函数定义域为(0，1)而ln x∈R且ln x≠0，如当ln x＝－1，y＝－5，D不符合题意．故选C.
2．已知a>0，b>0，6a＋＝1，则＋6b的最小值为( )
A．13 B．19 C．21 D．27
答案：D
解析：由题意得＋6b＝(＋6b)(6a＋)＝36ab＋＋15≥2＋15＝27，当且仅当36ab＝即a＝，b＝3时等号成立．
3．为了庆祝中国共青团102周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为( )
A．30米 B．50米
C．80米 D．110米
答案：C
解析：设该矩形区域的长为x米，则宽为米，
则所用警戒线的长度为2(＋x)≥2×2＝80米，当且仅当＝x，即x＝20时，取等号．
则所用警戒线的长度的最小值为80米．
4．(多选)[2022·新课标Ⅰ卷]已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D．
答案：ABD
解析：对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2(a－)2＋，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝log2＝－2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C不正确；对于D，因为()2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选ABD.
5．若对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，9]
解析：因为对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2 ≥a恒成立，只需满足a≤()min，因为x>0，所以＝x＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故实数a的取值范围是(－∞，9].
状元笔记 利用基本不等式求最值与利用对勾函数求最值的区别与联系
【典例1】 函数y＝(x>－1)的最小值是( )
A．10 B．12
C．13 D．14
[答案] A
[解析] 令x＋1＝t>0, ∴x＝t－1，
∴y＝＝＝＝t＋＋4≥2＋4＝10，当且仅当t＝，即t＝3 x＝2时取等号．
【典例2】 函数f(x)＝x2＋的最小值是________．
[解析] 由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2，由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝，即x＝0时＝.
[分析] f(x)＝x2＋变形后f(x)＝x2＋2＋－2类似于基本不等式的结构形式，但代数式(x2＋2)＋中只满足“一正、二定”，并不满足“三相等”，即x2＋2≠(若x2＋2＝，则x2＋2＝无解)，使得本题不能用基本不等式求解，那么如何求解呢？
联想到与基本不等式的结构相似的对勾函数模型．如图，对于函数f(x)＝x＋，k>0，x∈[a，b]，[a，b] (0，＋∞)．
(1)当∈[a，b]，f(x)＝＝f()＝＝2；
(2)当(3)当>b，f(x)＝x＋在区间 [a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋.
因此，只有在∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当 [a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值．(共44张PPT)
第五节 二次函数与一元二次方程、不等式
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ________ R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1{x|xx2}
【常用结论】
1．分式不等式的解法
(1)>0 f(x)g(x)>0.
(2)≥0
2．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)；|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( )
√
×
×
√
2．(教材改编)已知集合A＝{x|x2－16≤0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A＝( )
A．[－4，1)
B．[－4，4]
C．(－∞，1)
D．R
答案：D
解析：A＝[－4，4]，B＝(－∞，1)＝R.故选D.
3．(教材改编)已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则a＋b的值是________．
答案：－1
解析：若关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则2，3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，故a＋b＝－1.
4．(易错)不等式答案：(－1，0)
解析：－x<0，即<0，
即x(1－x2)<0，即x(x－1)(x＋1)>0，
所以或
解得x>1或－1所以不等式的解集为(－1，0)
5．(易错)要使函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，则m的取值范围为________．
答案：(－∞，0]
解析：函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋m－1<0对一切实数x恒成立．
当m＝0时，－1<0恒成立；
当m≠0时，要使其恒成立，
则有解得m<0.
综上，m的取值范围为(－∞，0].
课堂互动探究案
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．
2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式．
3．了解简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．
问题思考·夯实技能
【问题1】 一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系是什么？
提示：设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1【问题2】 不等式ax2＋bx＋c>0(≥0)，ax2＋bx＋c<0(≤0)在R上恒成立的条件分别是什么？
提示：(1)不等式ax2＋bx＋c>0(≥0)对于一切x∈R恒成立的条件是或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(≤0)对于一切x∈R恒成立的条件是或
关键能力·题型剖析
题型一 一元二次不等式的解法
角度一 不含参数的一元二次不等式的解法
例 1 解下列不等式：
(1)－x2＋4x＋5<0；
(2)2x2－5x＋2≤0.
解析：(1)由－x2＋4x＋5<0可得x2－4x－5>0，
解方程x2－4x－5＝0得x1＝－1，x2＝5，
又函数y＝x2－4x－5的图象开口向上，
故原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}．
(2)解方程2x2－5x＋2＝0得x1＝，x2＝2，
又函数y＝2x2－5x＋2的图象开口向上，
故不等式2x2－5x＋2≤0的解集为.
题后师说
解一元二次不等式的一般步骤
巩固训练1
不等式x(2x＋7)≥－3的解集为( )
A．(－∞，－3]，＋∞) B．[－3，－]
C．(－∞，－2]，＋∞) D．[－2，－]
答案：A
解析：x(2x＋7)≥－3可变形为2x2＋7x＋3≥0，
令2x2＋7x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝－，
所以x≤－3或x≥－，即不等式的解集为(－∞，－3]，＋∞)．
角度二 含参数的一元二次不等式的解法
例 2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).
解析：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－)(x－1)<0.
所以当a>1，即<1时，解集为；
当a＝1时，解集为 ；
当01时，解集为.
【变式练习】 把本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，不等式的解集如何？
解析：二次项系数含参数时分以下情况讨论．
(1)当a＝0时，原不等式可化为－x＋1<0，∴x>1.
(2)当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.(*)
①当a<0时，(*)式可化为(x－)(x－1)>0，且<1，解得x>1或x<.
②当a>0时，(*)式变为(x－)(x－1)<0.(**)
∵－1＝，∴当01，此时解得11时，<1，此时解得综上，当a<0时，不等式的解集为，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，当01时，不等式的解集为.
题后师说
解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．
巩固训练2
解关于x的不等式12x2－ax>a2.
解析：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，不等式的解集为；
②当a＝0时，12x2>0，不等式的解集为{x|x≠0}；
③当a<0时，－>，
不等式的解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
角度三 可化为一元二次不等式的分式不等式的解法
例 3 [2024·河北邢台模拟]设集合A＝{x|－2A．(－2，3) B．(－2，4]
C．(－1，3) D．[－1，4]
答案：C
解析：对于B集合，≥1，即≤0，等价于(x－4)(x＋1)≤0且x＋1≠0，
∴－1题后师说
对于形如>m的分式不等式，一般遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解．
巩固训练3
[2024·辽宁丹东模拟]不等式>1的解集为( )
A．{x|x<1，x≠－2}
B．{x|x>1}
C．{x|－2D．{x|x<－2或x>1}
答案：C
解析：不等式>1等价于<0，等价于(x－1)(x＋2)<0，解集为{x|－2题型二 三个二次之间的关系
例 4 (多选)[2024·黑龙江佳木斯模拟]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)则下列选项中正确的是( )
A．a<0
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为(－∞，－，＋∞)
答案：BD
解析：不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)则－2，3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a>0，
则－＝1，＝－6，a>0，即b＝－a，c＝－6a，a>0，A错误；
不等式bx＋c>0化为－ax－6a>0，解得x<－6，即不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}，B正确；
a＋b＋c＝－6a<0，C错误；
不等式cx2－bx＋a<0化为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，
所以不等式cx2－bx＋a<0的解集为(－∞，－，＋∞)，D正确．
题后师说
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
巩固训练4
已知关于x的不等式ax2＋2x＋c<0的解集是(－∞，－，＋∞)，求不等式cx2－2x＋a≤0的解集是( )
A．[－] B．[－3，2]
C．[－2，3] D．[－]
答案：C
解析：因为不等式ax2＋2x＋c<0的解集是(－∞，－，＋∞)，
∴－和是方程ax2＋2x＋c＝0的两个实数根且a<0，
由，解得a＝－12，c＝2，
故不等式cx2－2x＋a≤0即2x2－2x－12≤0，
即x2－x－6≤0，即(x－3)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤3，
所以所求不等式的解集是[－2，3].
题型三 一元二次不等式恒成立问题
角度一 在R上恒成立问题
例 5 不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，2)
B．(－2，2]
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－2)
答案：B
解析：由题意，不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，
当a－2＝0时，即a＝2时，不等式－1<0恒成立，符合题意；
当a－2≠0时，即a≠2时，
要使得不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，
则满足，解得－2综上，实数a的取值范围是(－2，2].
角度二 在给定区间上恒成立问题
例 6 已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案：[－7，2]
解析：f(x)＝x2＋ax＋3－a开口向上，对称轴为x＝－，
若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则有：
当－≤－2，即a≥4时，f(x)≥f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤<4，不合题意；
当－2<－<2，即－4当－≥2，即a≤－4时，f(x)≥f(2)＝7＋a≥0，解得－7≤a≤－4；
综上所述a的取值范围为[－7，2].
角度三 在给定参数范围内的恒成立问题
例 7 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为__________．
答案：(－∞，1)
解析：a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，
即a∈[－1，1]，不等式(x－2)a＋x2－4x＋4>0恒成立，
设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，即当a∈[－1，1]时，f(a)>0，
所以，即，解得x>3或x<1.
题后师说
恒成立问题求参数的范围的解题策略
巩固训练5
(1)若不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)的解集为R，则k的取值范围为________．
答案：(－∞，－)
解析：若不等式的解集为R，即kx2－2x＋6k<0恒成立，当k＝0时不等式－2x<0不恒成立，不合题意；
当k≠0时满足，解得k<－.
(2)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为________．
答案：－4
解析：∵当x∈[1，3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，
∴a≥－(x＋)恒成立，
又当x∈[1，3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号．
∴－(x＋)≤－4，
∴a≥－4，故a的最小值为－4.
(3)函数f(x)＝x2＋ax＋3，若a∈[4，6]，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是__________．
答案：(－∞，－3－，＋∞)
解析：令h(a)＝xa＋x2＋3，当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，
只需 即 解得x≤－3－或x≥－3＋.
所以实数x的取值范围是(－∞，－3－，＋∞)．
随堂检测
1.[2024·江西赣州模拟]已知集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝{x||x|≥2}，则A＝( )
A．(－4，－2) B．[－4，－2)
C．(－4，－2] D．[－4，－2]
答案：C
解析：A＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|－42．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≤－4或a≥4} B．{a|－4≤a≤4}
C．{a|a<－4或a>4} D．{a|－4答案：B
解析：因为不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，所以Δ＝a2－4×4≤0，即－4≤a≤4.
3．已知a>0，b>0，则不等式－b<A．x<－或x>
B．x<－或x>
C．－D．－答案：B
解析：因为－b<解>－b，即＋b＝>0，即(1＋bx)x>0，因为b>0，所以得x<－或x>0；
解0，所以得x<0或x>；
综上得x<－或x>.
4．已知关于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，) B．(－∞，)
C．(，＋∞) D．(，＋∞)
答案：A
解析：由题意得，mx2－6x＋3m<0，x∈(0，2]，即m<，
故问题转化为m<在(0，2]上有解，
设g(x)＝，则g(x)＝＝，x∈(0，2]，
对于x＋≥2，当且仅当x＝∈(0，2]时取等号，
则g(x)max＝＝，故m<.
5．[2024·河北保定模拟]若 x∈R，ax2＋ax＋a－3<0，则a的一个可取的正整数值为________．
答案：1(也可取2，3)
解析：由题意Δ＝a2－4a(a－3)>0，解得0a的正整数值为1或2或3.(共46张PPT)
第一节 集合
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：________、________、________．
(2)元素与集合的关系：①属于，记作________；②不属于，记作________．
(3)集合的三种表示方法：________、________、图示法． Venn图、数轴、区间等
(4)五个特定的常用数集及记法：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ________ ________ ______ ________ ______
确定性
无序性
互异性
∈
列举法
描述法
N
N*或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号表示 Venn图
子集 集合A中____________都是集合B中的元素 ________
真子 集 集合A B，但________x∈B，且x A ________
集合 相等 集合A的______________都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 ______
任意一个元素
A B(或B A)
存在元素
任何一个元素
A＝B
3．集合的基本运算
运算 自然语言 符号表示 Venn图
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝____________
根据“补集思想”可以得到“正难则反”的思维方法
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈U，且x A}
【常用结论】
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)子集的传递性：A B，B C A C.
(3)等价关系：A B A＝A A＝B UA UB.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，关系(A恒成立．( )
×
×
×
√
2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是( )
A．{a} A B．a A C．{a}∈A D．a A
答案：D
解析：因为2不是自然数，所以a A.故选D.
3．(教材改编)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0A．[－1，4] B．(0，3]
C．(－1，0]
答案：A
解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A＝{x|－1≤x≤4}．故选A.
4．(易错)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B A，则实数a的所有可能取值的集合为( )
A．{－1} B．{1}
C．{－1，1} D．{－1，0，1}
答案：D
解析：∵B A，当B≠ ，即a≠0时，B＝{x|x＝－}，
∴－∈A，即a＝±1.
当B＝ ，即a＝0时，满足条件．
综上可知实数a所有可能取值的集合是{－1，0，1}．
5．(易错)已知集合A＝{x|y＝x2－1}，B＝{(x，y)|y＝x2－1}，则A＝( )
A．R B．{x|y＝x2－1}
C．{(x，y)|y＝x2－1} D．
答案：D
解析：因为集合A的代表元素是实数，而集合B的代表元素是图象上的点，故A＝ .
课堂互动探究案
1.理解元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合．
2．理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．
3．理解集合间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集．
4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．
问题思考·夯实技能
【问题1】 若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集？
提示：一个集合A有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
【问题2】 从A＝A可以得到集合A，B有什么关系？从A＝A可以得到集合A，B有什么关系？
提示：A＝A A B，A＝A B A.
关键能力·题型剖析
题型一 集合的含义与表示
例 1 (1)[2024·河北衡水模拟]已知集合A＝{(x，y)|xy＝1}，B＝{(x，y)|x∈Z，y∈Z}，则A有( )个真子集．
A．3 B．16 C．15 D．4
答案：A
解析：A＝{(x，y)|xy＝1}，B＝{(x，y)|x∈Z，y∈Z}，则A＝{(1，1)，(－1，－1)}，真子集个数为22－1＝3.
(2)已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2 023＋b2 024＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案：A
解析：由题意A＝B可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合元素的互异性，可知a≠1，解得a＝1(舍)，和(舍)，所以a＝－1，b＝0，则a2 023＋b2 024＝(－1)2 023＋02 024＝－1.
题后师说
与集合中元素有关问题的求解策略
巩固训练1
(1)已知集合A＝{1，a2＋4a，a－2}，－3∈A，则a＝( )
A．－1 B．－3
C．－3或－1 D．3
答案：B
解析：∵－3∈A，∴－3＝a2＋4a或－3＝a－2，
若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3，
当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当a＝－3时，集合A＝{1，－3，－5}，满足题意，故a＝－3成立，
若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去，
综上所述，a＝－3.
(2)已知集合A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，C＝{ab|a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案：C
解析：因为A＝{0，2}，a∈A，b∈B，所以ab＝0或ab＝2或ab＝4或ab＝6，
故C＝{ab|a∈A，b∈B}＝{0，2，4，6}，即集合C中含有4个元素．
答案：B
解析：因为x＝k＋＝(2k＋1)，k∈Z，
所以集合N是由所有奇数的一半组成，
而集合M是由所有整数的一半组成，故N M.
(2)已知全集为R，集合A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝，若A＝A，求实数a的取值范围．
解析：若A＝A，则A B，
∵A＝{x|0<2x＋a≤3}＝，B＝，
∴，解得－1∴实数a的取值范围是(－1，1].
【变式练习】 若把例2(2)中的“A＝A”改为“B A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
解析：∵B A，
∴，解得a≤－1或a≥1.
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]
题后师说
判断集合间关系的常用方法
答案：C
(2)[2023·新课标Ⅱ卷]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝( )
A．2 B．1 C． D．－1
答案：B
解析：依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B.所以a＝1，故选B.
题型三 集合的基本运算
角度一 集合的交、并、补运算
例 3 (1)[2023·新课标Ⅰ卷]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M＝( )
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
答案：C
解析：方法一 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M＝{－2}，故选C.
方法二 由于1 N，所以1 M排除A，B；由于2 N，所以2 M排除D.故选C.
(2)[2024·石家庄模拟]已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x－2|<1}，则A＝( )
A．(－3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，3) D．[－3，3)
答案：B
解析：因为A＝{x|y＝}＝{x|x＋3≥0}＝{x|x≥－3}，
B＝{x||x－2|<1}＝{x|－1因此，A＝[－3，＋∞)．
题后师说
集合基本运算的求解策略
巩固训练3
(1)[2024·安徽合肥模拟]若集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}，N＝{x|x>－3}，则M＝( )
A．(－3，1] B．(－3，4]
C．[－4，＋∞) D．[－1，＋∞)
答案：C
解析：M＝{x|－4≤x≤1}，N＝{x|x>－3}，＝{x|x≥－4}．
(2)[2024·河北张家口模拟]已知R为实数集，全集U＝R，集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|x≥1}，则 U(A＝( )
A．{x|－1≤x<2} B．{x|x≤1或x>3}
C．{x|1≤x<3} D．{x|x<1或x≥3}
答案：D
解析：A＝{x|－1 U(A＝{x|x<1或x≥3}．
角度二 利用集合的运算求参数
例 4 已知集合A＝{x∈N|3x2－13x＋4<0}，B＝{x|ax－1≥0}．
若A∩( RB)≠ ，求实数a的取值范围．
解析：由题意得，A＝＝{1，2，3}．
当a＝0时，B＝ ， RB＝R，∴A∩( RB)＝A≠ ，满足题意；
当a>0时，B＝， RB＝，
要使A∩( RB)≠ ，则>1，解得0当a<0时，B＝， RB＝.
此时A∩( RB)＝A≠ ，满足题意，
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，1)．
题后师说
利用集合的运算求参数的方法
巩固训练4 [2024·九省联考]已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A＝A，则m的最小值为________．
答案：5
解析：由A＝A，故A B，
由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，
故有，解得，即m≥5，
即m的最小值为5.
随堂检测
1.[2023·全国乙卷]设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝( )
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8} D．U
答案：A
解析：由题意知， UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}．故选A.
2．[2023·全国甲卷]设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集， U(A＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．
答案：A
解析：因为整数集，k∈Z}＝3k＋1，k∈Z}＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以 U(A＝{x|x＝3k，k∈Z}．
3．[2022·新高考Ⅰ卷]若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M＝( )
A．{x|0≤x<2} B．
C．{x|3≤x<16} D．
答案：D
解析：由＜4，得0≤x＜16，即M＝{x|0≤x＜16}．易得N＝，所以M＝.故选D.
4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A＝( )
A．{－1，2} B．{1，2}
C．{1，4} D．{－1，4}
答案：B
解析：通过解不等式可得集合B＝{x|0≤x≤2}，则A＝{1，2}．故选B.
5．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A B成立的所有a组成的集合为( )
A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}
C．{a|a≤7} D．{a|a<6}
答案：C
解析：当A＝ 时，即2a＋1>3a－5，a<6时成立；
当A≠ 时，满足，解得6≤a≤7；
综上所述：a≤7.
状元笔记 集合的新定义问题
【典例1】 对于数集A，B，定义A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝{x|x＝，a∈A，b∈B}，若集合A＝{1，2}，则集合(A＋A)÷A中所有元素之和为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 根据新定义，数集A，B，定义A＋B＝，A÷B＝{x|x＝，a∈A，b∈B}，集合A＝{1，2}，(A＋A)＝{2，3，4}，(A＋A)÷A＝{1，2，3，4，1.5}，则可知所有元素的和为11.5.
【典例2】 (多选)若对任意x∈A，∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是( )
A．{－1，1} B．
C． D．{x|x>0}
[答案] ABD
[解析] 根据“影子关系”集合的定义，
可知{－1，1}，，{x|x>0}为“影子关系”集合，
由{x|x2>1}，得{x|x<－1或x>1}，当x＝2时， {x|x2>1}，故不是“影子关系”集合．
【典例3】 设Sn＝{a|a＝(a1，a2，…，an)，ai∈{0，1}，i＝1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，a＝(a1，a2，…，an)∈Sn，定义a的差分运算为D(a)＝(|a2－a1|，|a3－a2|，…，|an－an－1|)∈Sn－1.用Dm(a)表示对a进行m(m∈N*，m≤n)次差分运算，显然，Dm(a)是一个(n－m)维数组．称满足Dm(a)＝(0，0，…，0)的最小正整数m的值为a的深度．若这样的正整数m不存在，则称a的深度为n.
(1)已知a＝(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，则a的深度为__________．
(2)Sn中深度为d(d∈N*，d≤n)的数组个数为__________．
[答案] (1)4 (2)2d－1
[解析] (1)因为a＝(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，
则D(a)＝(1，0，0，1，1，0，0)，D2(a)＝(1，0，1，0，1，0)，D3(a)＝(1，1，1，1，1)，D4(a)＝(0，0，0，0)．
(2)易知Sm中仅有一组(0，0，0，…，0)，
Sm＋1中深度d＝1的数组仅1组(1，1，1，…，1)，
Sm＋2中深度d＝2的数组仅2组，
Sm＋3中深度d＝3的数组仅4组，
…，
Sm＋k中深度d＝k的数组仅2k－1组，
…，
所以Sn中深度为d的数组仅有2d－1组．
解决集合的新定义问题的关键
(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在．
(2)用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．