八年级数学上册 13.1 三角形中的边角关系 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）
文档属性
| 名称 | 八年级数学上册 13.1 三角形中的边角关系 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-11 07:37:03 | ||
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文档简介
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13.1 三角形中的边角关系 导学案
（一）学习目标：
1.理解三角形的概念,知道它各部分的名称,掌握三角形按边长的分类方法.
2.理解三角形的三边关系的由来,会用三边关系判断三条线段能否构成三角形.
（二）学习重难点：
重点：掌握三角形按边长的分类方法
难点：会用三边关系判断三条线段能否构成三角形
阅读课本，识记知识：
1.三角形及其元素定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
在下图中，线段AB，BC，CA是三角形的边.点A，B，C是三角形的顶点.△A，△B，△C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2.三角形的表示：三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
3.三角形的分类
4.三边关系
文字语言 数学语言 理论依据 应用
三角形两边的和大于第三边 在△ABC中，a+b>c； b+c>a;a+c>b 两点之间，线段最短 (1)判断三条线段能否组成三角形 (2)已知三角形的两边，求第三边的取值范围
三角形两边的差小于第三边 在△ABC中，a-b5.三角形的高、中线与角平分线
（1）三角形的高
定义 几何表达形式
从三角形的一个顶点向它所 对的边画垂线，顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高 AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于D或 ∠ADB=∠ADC=90°
（2）三角形的中线
定义 几何表达形式
连接三角形的一个顶点 和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线 AD是△ABC的边BC上的中线或 BD = DC = BC或BC=2BD=2DC或 D为BC的中点
（4）三角形的角平分线
定义 几何表达形式
三角形的一个角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点 和交点之间的线段叫做三角形 的角平分线 AD是△ABC的角平分线或
（5）“三线”的交点
一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在直线都分别相交于一点.
线的名称 线的位置 交点名称
中线 三条中线交于三角形内部 重心
角平分线 三条角平分线交于三角形内部 内心
高 锐角三角形：三条高都在三角形内部 垂心
直角三角形；其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角形外部
注意：三角形的高、中线、角平分线都是线段。
6.三角形的稳定性
三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性.
三角形的稳定性有广泛的应用：桥梁、起重机、人字型屋顶等.
考点02 与三角形有关的角
1.三角形的内角
(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法
剪拼成平角、通过作平行线构造平角，构造两平行线下的同旁内角。
2.直角三角形的性质与判定
(1)性质：直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
(2)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
如下图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。
3.三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠ABD是△ABC的一个外角。
性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和为360°。
【例1】木工师傅要做一个三角形木架，现有两根长度分别为13和8的木条，则第三根木条的长度可以是（ ）
A．5 B．20 C．21 D．23
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
【详解】解：设第三根木条的长度为x，则，
即，
∴第三根木条的长度可以是20，
故选：B．
【例2】 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外角的性质，先求出，再根据三角形一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数之和进行求解即可．
【详解】解：如图，
由题意得，，
由三角形的外角性质得，．
故选：B．
选择题
1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2.如图，湖泊对岸的凉亭和到大门A的距离分别是和，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中有四条线段，其中有一条线段是的中线，则该线段是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
4.已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5.如图，木工师傅做门框时，常用木条固定矩形门框，使其不变形，这种做法的依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．四边形的不稳定性
C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角都是直角
6.三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微小的分子结构，到处都有三角形的形象．在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构，这样做应用的数学原理是（ ）
A．四边形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．三角形内角和等于 D．全等三角形的性质
7.如图，在中，，分别平分，，，分别平分，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8.如图，已知直线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9.图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11． 已知的三边长均为整数，且，，则中的长为 ．
12.如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为 ．
13．如图，自行车是人们日常代步的工具．你发现了没有，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这样设计的原理是 ．
14．如图，点E是的边上一点，若，则在条件①；②；③中，能判定的条件有 ．
15．如图，在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得在第2个中，；在上取一点D，延长到，使得在第3个中，；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以为顶点的内角的度数为 ；第n个三角形中以为顶点的底角的度数为 ．
三、解答题
16．如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A，B，C均在格点上．
(1)标出一个格点D，使线段所在直线与线段所在直线互相垂直；
(2)三角形的面积为______；
(3)标出所有的格点E，使三角形与三角形的面积相等．
17.如图，，分别是的高和角平分线，且，，求．
18.如图，已知：点P是内一点．
(1)求证：；
(2)若平分，平分，，求的度数．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”逐项判断即可得．
【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意；
B、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意；
C、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意；
D、，满足三角形的三边关系，能构成三角形，则此项符合题意；
故选：D．
2.【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；因此此题可根据三角形的三边关系进行求解．
【详解】解：由题意得：，即；
∴的长不可能是；
故选D．
3.【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据定义可得答案．
【详解】解：∵三角形的中线是一边的中点与此边所对顶点的连线
∴在中有四条线段中，线段是的中线
故选B
4.【答案】B
【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案．
【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，，
可得：，
已知，
可得，
三边均为整数．
又个答案分别是10，12，14，16．
的边长可能是12．
故选：B．
5．【答案】C
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：常用木条固定矩形门框，使其不变形，这种做法的依据是三角形的稳定性，
故选：C．
6．【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性可进行求解．
【详解】解：由题意得：其中运用的数学原理是三角形的稳定性；
故选B．
7．【答案】A
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理解题即可．
【详解】∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
又∵，分别平分，，
∴，
∴，
∴，
故选A
8．【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，先根据，得出，再根据直角三角形两锐角互余得出，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．【答案】A
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，首先根据得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【详解】如图所示，
∵，，
∴，
∵
∴．
故选A．
10．【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质得到，由对顶角的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选C．
11.【答案】4
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出的取值范围，再由为整数，即可得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解：由三角形三边关系可得：，即，
的三边长均为整数，
，
故答案为：．
12. 【答案】17
【分析】本题考查三角形的中线，根据为边长的中线，可得出和的周长关系，进而解决问题．
【详解】解：因为是边上的中线，
所以．
又，
，
所以．
又，，的周长为20，
所以．
故答案为：17．
13．【答案】三角形具有稳定性
【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据“自行车的几根梁做成三角形的支架”，即可作答．
【详解】解：∵活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，
∴这样设计的原理是三角形具有稳定性
故答案为：三角形具有稳定性
14．【答案】①②③
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的判定与性质，三角形内角和定理逐项判定即可．
【详解】解：①∵，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故③正确；
故答案为：①②③．
15．【答案】
【分析】本题考查的是三角形外角的性质，解答此题的关键是先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形外角的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以为顶点的底角的度数．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，是的外角，
∴，
同理可得，，，
以此类推，第n个三角形的以为顶点的底角的度数．
故答案为：；．
16．【答案】(1)见解析
(2)4
(3)见解析
【分析】（1）根据的方向，寻找过点C且与互相垂直的直线，再寻找格点D即可；
（2）利用割补法求面积即可；
（3）根据同底等高的三角形面积相等，寻找过点C且与互相平行的直线，以及的另一侧且到的距离和点C到距离相等的直线，再寻找格点E即可；
【详解】（1）如图所示点D即为所求作的点；(两点取其一即可)
（2），
故答案为：4；
（3）如图所示点即为所求作的点；
17.【答案】．
【分析】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出的度数，根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余的性质即可得出答案；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
【详解】解：∵
∵是的角平分线，
，
∵是的高，
18．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义．
（1）延长交于D，根据外角的性质知，根据外角的性质知，所以易证．
（2）由三角形内角和定理求出，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图：延长交于D，
是的一个外角，是的一个外角，
，，
；
（2）在中，
，
，
平分，平分，
，，
在中，
．
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13.1 三角形中的边角关系 导学案
（一）学习目标：
1.理解三角形的概念,知道它各部分的名称,掌握三角形按边长的分类方法.
2.理解三角形的三边关系的由来,会用三边关系判断三条线段能否构成三角形.
（二）学习重难点：
重点：掌握三角形按边长的分类方法
难点：会用三边关系判断三条线段能否构成三角形
阅读课本，识记知识：
1.三角形及其元素定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
在下图中，线段AB，BC，CA是三角形的边.点A，B，C是三角形的顶点.△A，△B，△C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2.三角形的表示：三角形可以用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
3.三角形的分类
4.三边关系
文字语言 数学语言 理论依据 应用
三角形两边的和大于第三边 在△ABC中，a+b>c； b+c>a;a+c>b 两点之间，线段最短 (1)判断三条线段能否组成三角形 (2)已知三角形的两边，求第三边的取值范围
三角形两边的差小于第三边 在△ABC中，a-b
（1）三角形的高
定义 几何表达形式
从三角形的一个顶点向它所 对的边画垂线，顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高 AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于D或 ∠ADB=∠ADC=90°
（2）三角形的中线
定义 几何表达形式
连接三角形的一个顶点 和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线 AD是△ABC的边BC上的中线或 BD = DC = BC或BC=2BD=2DC或 D为BC的中点
（4）三角形的角平分线
定义 几何表达形式
三角形的一个角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点 和交点之间的线段叫做三角形 的角平分线 AD是△ABC的角平分线或
（5）“三线”的交点
一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在直线都分别相交于一点.
线的名称 线的位置 交点名称
中线 三条中线交于三角形内部 重心
角平分线 三条角平分线交于三角形内部 内心
高 锐角三角形：三条高都在三角形内部 垂心
直角三角形；其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角形外部
注意：三角形的高、中线、角平分线都是线段。
6.三角形的稳定性
三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性.
三角形的稳定性有广泛的应用：桥梁、起重机、人字型屋顶等.
考点02 与三角形有关的角
1.三角形的内角
(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法
剪拼成平角、通过作平行线构造平角，构造两平行线下的同旁内角。
2.直角三角形的性质与判定
(1)性质：直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
(2)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
如下图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。
3.三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，∠ABD是△ABC的一个外角。
性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和为360°。
【例1】木工师傅要做一个三角形木架，现有两根长度分别为13和8的木条，则第三根木条的长度可以是（ ）
A．5 B．20 C．21 D．23
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
【详解】解：设第三根木条的长度为x，则，
即，
∴第三根木条的长度可以是20，
故选：B．
【例2】 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外角的性质，先求出，再根据三角形一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的度数之和进行求解即可．
【详解】解：如图，
由题意得，，
由三角形的外角性质得，．
故选：B．
选择题
1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2.如图，湖泊对岸的凉亭和到大门A的距离分别是和，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中有四条线段，其中有一条线段是的中线，则该线段是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
4.已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5.如图，木工师傅做门框时，常用木条固定矩形门框，使其不变形，这种做法的依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．四边形的不稳定性
C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角都是直角
6.三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微小的分子结构，到处都有三角形的形象．在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构，这样做应用的数学原理是（ ）
A．四边形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．三角形内角和等于 D．全等三角形的性质
7.如图，在中，，分别平分，，，分别平分，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8.如图，已知直线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9.图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11． 已知的三边长均为整数，且，，则中的长为 ．
12.如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为 ．
13．如图，自行车是人们日常代步的工具．你发现了没有，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这样设计的原理是 ．
14．如图，点E是的边上一点，若，则在条件①；②；③中，能判定的条件有 ．
15．如图，在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得在第2个中，；在上取一点D，延长到，使得在第3个中，；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以为顶点的内角的度数为 ；第n个三角形中以为顶点的底角的度数为 ．
三、解答题
16．如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A，B，C均在格点上．
(1)标出一个格点D，使线段所在直线与线段所在直线互相垂直；
(2)三角形的面积为______；
(3)标出所有的格点E，使三角形与三角形的面积相等．
17.如图，，分别是的高和角平分线，且，，求．
18.如图，已知：点P是内一点．
(1)求证：；
(2)若平分，平分，，求的度数．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”逐项判断即可得．
【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意；
B、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意；
C、，不满足三角形的三边关系，不能构成三角形，则此项不符合题意；
D、，满足三角形的三边关系，能构成三角形，则此项符合题意；
故选：D．
2.【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；因此此题可根据三角形的三边关系进行求解．
【详解】解：由题意得：，即；
∴的长不可能是；
故选D．
3.【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据定义可得答案．
【详解】解：∵三角形的中线是一边的中点与此边所对顶点的连线
∴在中有四条线段中，线段是的中线
故选B
4.【答案】B
【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案．
【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，，
可得：，
已知，
可得，
三边均为整数．
又个答案分别是10，12，14，16．
的边长可能是12．
故选：B．
5．【答案】C
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：常用木条固定矩形门框，使其不变形，这种做法的依据是三角形的稳定性，
故选：C．
6．【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性可进行求解．
【详解】解：由题意得：其中运用的数学原理是三角形的稳定性；
故选B．
7．【答案】A
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理解题即可．
【详解】∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
又∵，分别平分，，
∴，
∴，
∴，
故选A
8．【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，先根据，得出，再根据直角三角形两锐角互余得出，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．【答案】A
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，首先根据得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【详解】如图所示，
∵，，
∴，
∵
∴．
故选A．
10．【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由平行线的性质得到，由对顶角的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选C．
11.【答案】4
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出的取值范围，再由为整数，即可得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解：由三角形三边关系可得：，即，
的三边长均为整数，
，
故答案为：．
12. 【答案】17
【分析】本题考查三角形的中线，根据为边长的中线，可得出和的周长关系，进而解决问题．
【详解】解：因为是边上的中线，
所以．
又，
，
所以．
又，，的周长为20，
所以．
故答案为：17．
13．【答案】三角形具有稳定性
【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据“自行车的几根梁做成三角形的支架”，即可作答．
【详解】解：∵活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，
∴这样设计的原理是三角形具有稳定性
故答案为：三角形具有稳定性
14．【答案】①②③
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据平行线的判定与性质，三角形内角和定理逐项判定即可．
【详解】解：①∵，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故③正确；
故答案为：①②③．
15．【答案】
【分析】本题考查的是三角形外角的性质，解答此题的关键是先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形外角的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以为顶点的底角的度数．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，是的外角，
∴，
同理可得，，，
以此类推，第n个三角形的以为顶点的底角的度数．
故答案为：；．
16．【答案】(1)见解析
(2)4
(3)见解析
【分析】（1）根据的方向，寻找过点C且与互相垂直的直线，再寻找格点D即可；
（2）利用割补法求面积即可；
（3）根据同底等高的三角形面积相等，寻找过点C且与互相平行的直线，以及的另一侧且到的距离和点C到距离相等的直线，再寻找格点E即可；
【详解】（1）如图所示点D即为所求作的点；(两点取其一即可)
（2），
故答案为：4；
（3）如图所示点即为所求作的点；
17.【答案】．
【分析】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出的度数，根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余的性质即可得出答案；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
【详解】解：∵
∵是的角平分线，
，
∵是的高，
18．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义．
（1）延长交于D，根据外角的性质知，根据外角的性质知，所以易证．
（2）由三角形内角和定理求出，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图：延长交于D，
是的一个外角，是的一个外角，
，，
；
（2）在中，
，
，
平分，平分，
，，
在中，
．
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