八年级数学上册 13.2 命题与证明 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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13.2 命题与证明 导学案
（一）学习目标：
1.了解命题、定义、公理、定理、证明及推论的含义，会区分命题的题设(条件)和结论会在简单情况下判断一个命题的真假理解证明的必要性,体会证明的过程要步步有据
2.理解逆命题、逆定理的概念,会识别互逆命题与互逆定理并知道原命题成立时其逆命题不一定成立;
3.能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行演绎证明
（二）学习重难点：
重点：了解命题、定义、公理、定理、证明及推论、逆命题、逆定理的含义
难点：能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行演绎证明
阅读课本，识记知识：
1.命题
（1）判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题．
（2）命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式.
（3）命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．
2.公理
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．
3.定理
从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据．
也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：
（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.
（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.
4.推论
由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.
二、逆命题和逆定理
1、互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.
2、互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.
三、演绎推理
1、从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.
2、演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明．
四、三角形内角和定理
定理：三角形的内角和等于180°.
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
【例1】下列命题：①内错角相等；②相等的角是对顶角；③同旁内角互补，两直线平行；④一个角的余角一定大于这个角．其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查的是真假命题的判断，熟记定义与性质是解本题的关键；根据平行线的性质对①进行判断；据对顶角的定义对②进行判断；根据平行线的判定对③进行判断；根据余角的定义对④进行判断．
【详解】解：①两直线平行，内错角相等，原命题为假命题；
②相等的角不一定是对顶角，原命题为假命题；
③同旁内角互补，两直线平行，原命题为真命题；
④一个角的余角不一定大于这个角，原命题为假命题；
故选A
【例2】 要证明命题“若为锐角，则”是假命题，下列的度数能作为反例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的命题的真假判断，举反例的方法理解，掌握举反例要明确：举例要满足条件，而不满足结论，从而可得答案．
【详解】解：证明命题“若为锐角，则”是假命题，
的度数能作为反例的是，
故选A
选择题
1.下列命题中，是假命题的是( )
A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 和为度的两个角是邻补角 D. 垂线段最短
2.下列语句是命题的是（ ）
A．画一条直线 B．正数都大于零
C．同位角相等吗？ D．明天晴天吗？
3.命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
4.下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．若数a、b满足，则
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．垂线段最短
5.下列说法中，正确的是( )
A. “同位角相等”是一个真命题
B. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动
C. “凡直角都相等”是一个假命题
D. 在平移的过程中，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等
6.能说明命题“对于任何实数”是假命题的一个反例可以是（　　）
A． B． C． D．
7.下列四个命题中，其正确命题的个数是（ ）
①若a＞b，则； ②垂直于弦的直径平分弦；③平行四边形的对角线互相平分；④反比例函数y=，当k＜0时，y随x的增大而增大．
A．1 B．2 C．3 D．4
8.命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是( )
A. B.
C. D.
10.对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．，
C．， D．，
填空题
11． 命题“垂直于同一直线的两直线平行”的题设是____________，结论是__________．
12.用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是_____，______，_______．
13．命题：若两个数相等，则它们的绝对值相等是 （填“真”或“假”）命题．
14．“平行于同一条直线的两条直线平行”这个命题的条件是 ．
15．如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
条件： ；
结论： ．（填序号）
三、解答题
16．已知，和中，，．试探究：
(1)如图1，与的关系是______，并说明理由；
(2)如图2，写出与的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
17. 如图，点在直线上，点在直线上，若，，则，请说明理由．
解：已知，
，( )
，
，( )
．( )
又已知，
，
________ ________同旁内角互补，两直线平行，
．( )
18.桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为．
(1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上；
(2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】
解：、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；
C、和为度的两个角是互为补角，不一定是邻补角，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、垂线段最短，是真命题，不符合题意；
故选：．
2.【答案】B
【分析】本题考查了命题．解题关键点：理解命题的意义．判断一件事情的语句叫命题，以此进行判断求解即可．
【详解】A．画一条直线，不是命题，故不符合题意；
B．正数都大于零，是一个命题，故不符合题意；
C．同位角相等吗？不是命题，故不符合题意；
D．明天晴天吗？不是命题，故不符合题意．
故选B．
3.C
4.【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、垂线段的性质、平行公理等等知识，难度不大．利用对顶角的定义、数的平方运算、平行公理以及垂线段的性质、逐项判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、若数a、b满足，则或，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、垂线段最短，故原命题正确，符合题意；
故选：D．
5．【答案】
解：“同位角相等”不是真命题，故A错误，不符合题意；
图形的平移是指把图形沿同一方向移动，故B错误，不符合题意；
“凡直角都相等”是一个真命题，故C错误，不符合题意；
在平移的过程中，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，故D正确，符合题意；
故选：．
6．【答案】A
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确举出反例是解题的关键．
根据题意、乘方的意义举例即可．
【详解】解：当时，
∴此时，故“对于任何实数”是假命题，
当时，，
故选：A．
7．B
8．【答案】C
【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，邻补角和对顶角的定义，两点之间线段最短等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：①邻补角互补，原命题是真命题；
②对顶角相等，原命题是真命题；
③两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
④两点之间线段最短，原命题是真命题；
∴真命题有3个，
故选C．
9．【答案】
解：例如选项图中：三角形三个内角都是锐角，则．
故选：．
8.【答案】两个角是对顶角
解：命题“对顶角相等”的题设是两个角是对顶角．
故答案为：两个角是对顶角．
10．【答案】A
【分析】本题考查了反证法；
根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
【详解】解：A.，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；
B.，，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
故选：A．
11.两条直线垂直于同一条直线，这两条直线互相平行
12. 2 3 -1
13．【答案】真
【分析】本题主要考查真假命题，根据真假命题可进行求解．熟练掌握概念是解题的关键．
【详解】解：命题：若两个数相等，则它们的绝对值相等是真命题．
故答案为：真．
14．【答案】两条直线平行于同一条直线
【分析】本题考查了对命题的题设和结论的理解，把命题改写成“如果 那么 ”的形式，即可求解，把命题改写成“如果那么”的形式是解题的关键．
【详解】解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”可改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，
∴命题的条件是“两条直线平行于同一条直线”，
故答案为：两条直线平行于同一条直线．
15．【答案】 ①② ③
【详解】条件：①②
结论：③
证明：平分，
．
，
，．
．（答案不唯一）
16．（1）解：，理由如下：
如下图，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠1，
又∵BC∥EF，
∴∠1=∠E，
∴∠B=∠E；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如下图，
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1=180°，
又∵BC∥EF，
∴∠E=∠1，
∴∠B+∠E=180°
故答案为：；
（3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
17.【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；，；两直线平行，内错角相等．
解：已知，
对顶角相等，
，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补．
又已知，
，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
18．【答案】(1)7
(2)14
【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案；
（2）根据三种情况进行分析，进而得出答案．
【详解】（1）解：总变化量：，
次数（至少）：，
故答案为：7；
（2）解：①两张由反到正，变化：；
②两张由正到反，变化：；
③一正一反变一反一正，变化，
要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14，
∵14无法由4，，0相加得到，
∴不能全正，故不能所有纸牌全正；
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可．
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