八年级数学上册 15.2 线段的垂直平分线 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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15.2 线段的垂直平分线 导学案
（一）学习目标：
1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，会画已知线段的垂直平分线。
2.能运用线段的垂直平分线的性质理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题。
（二）学习重难点：
重点：掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理
难点：能运用线段的垂直平分线的性质理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题
阅读课本，识记知识：
1.线段的垂直平分线
(1)定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
(2)线段垂直平分线的尺规作图
求做线段AB的垂直平分线
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线．
2.线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
3.线段的垂直平分线逆定理
(1)线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
①到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合．
②三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心．
【例1】如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求三角形周长，涉及中垂线性质和三角形周长等知识，根据中垂线性质得到，再由的周长为，即可得到答案，掌握中垂线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：是的垂直平分线，，
，
的周长为，
，
的周长，
故选：A．
【例2】如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( )
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查中垂线的性质．根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结果．
【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等，
∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处；
故选A．
选择题
1.如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（　　）
A．，两边高线的交点处
B．，两边中线的交点处
C．，两边垂直平分线的交点处
D．，两内角平分线的交点处
2.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为(　　)
A.8　　B.11　　C.16　　D.17
3.如图，在中，，，垂直平分，P点为直线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4.和三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
5.如图所示,线段AB,AC的垂直平分线相交于点P,则PB与PC的关系是(　　)
A.PB>PC　　　　B.PB=PC C.PB6.如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且．下列确定点的方法正确的是（ ）
A．为两角平分线的交点
B．为的平分线与的垂直平分线的交点
C．为两边上的高的交点
D．为两边的垂直平分线的交点
7.如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（ ）
A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
8.在联合会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
9.如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10.四边形中，，，在上分别找一点M、N，当的周长最小时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
填空题
11．如图，在中，是的中垂线，，的周长是12，则 ．

12.如图,AD⊥BC,BD=CD,点C在AE的垂直平分线上,若AB=5 cm,BD=3 cm,则BE的长为　　　　.
13．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心、大于一半的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；作直线交于点D；连结，若，且的周长为13，则的长为 ．
14．如图所示,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C的度数为　　　　.
15．如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于点，下列结论：；；；；，正确的是 （填序号）．
三、解答题
16．如图,在△ABC中,AB=AC,G为三角形外一点,且GB=GC.
(1)求证:AG垂直平分BC;
(2)若点D在AG上,求证:DB=DC.
17.如图，中，，．
(1)尺规作图：作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若是的一条角平分线，求的度数．
18.如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证．
(2)若，，当的长为多少时，点在线段的垂直平分线上 说明原因．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答．
【详解】解：如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，
∴足球应放置在，两边垂直平分线的交点处，
故选：C．
【答案】B　
【分析】∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,
∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故选B.
3.【答案】C
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．设交于点D，连接，根据题意知点B关于直线的对称点为点C，证明当点P与点D重合时，的值最小，进而可求出周长的最小值．
【详解】解：设交于点D，连接，
∵垂直平分，
∴B、C关于对称，,
∴.
∵,
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
故选C．
4.【答案】D
【分析】由题意直接根据垂直平分线的性质，进行分析即可得出答案．本题考查的是垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：根据线段垂直平分线的性质可得：和三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【答案】B　
【分析】如图,连接AP,
∵线段AB,AC的垂直平分线相交于点P,
∴AP=PB,AP=PC,∴PB=PC,故选B.
6．【答案】B
【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的判定：到角两边的距离相等的点在角平分线上；到线段端点距离相等的点在垂直平分线上，据此即可作答．
【详解】解：点到的两边的距离相等，
在的平分线上．
，
在的垂直平分线上．
即为的平分线与的垂直平分线的交点．
故选：B．
7．【答案】B
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”判断即可．
【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则学校应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选：B．
8．【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，利用要使游戏公平，凳子就需要放在到、、三名选手距离相等的位置即可得到答案．
【详解】解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到、、三名选手距离相等的位置，
则凳子所在的位置是的外接圆圆心，
∵三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，
∴凳子的位置应该放在三边中垂线的交点．
故选：C．
9．【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
故选D．
10．【答案】B
【分析】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N，此时周长最小，推出，进而得出的度数．
【详解】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N．

，
关于对称，关于对称，
此时的周长最小，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，
．
，
故选：B．
11.【答案】7
【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，直接利用线段垂直平分线的性质得出，再利用已知得出答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
，的周长为12，
．
故答案为：7．
12. 【答案】11 cm
【解析】　∵AD⊥BC,BD=DC,∴AB=AC.
又∵点C在AE的垂直平分线上,
∴AC=EC,∴AC=CE=AB=5 cm.
∵BD=CD=3 cm,∴BE=BD+CD+CE=3+3+5=11(cm).
13.【答案】9
【分析】此题主要考查线段垂直平分线的性质，直接利用垂直平分线的性质即可求解.
【详解】解：根据作图过程可知：
是的垂直平分线，
∴，
∵，且的周长为13，
即，
∴
故答案为：9.
14.【答案】24°
【解析】　∵直线DE是AC的垂直平分线,∴EA=EC,
在Rt△ADE与Rt△CDE中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDE,∴∠EAC=∠C,∴∠FAC=∠EAC+19°,
∵AF平分∠BAC,∴∠FAB=∠FAC=∠EAC+19°,
∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴70°+2(∠C+19°)+∠C=180°,解得∠C=24°.
15．【答案】
【分析】此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理，根据角平分线的性质，得，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点在的垂直平分线上；根据等角对等边，，则点在的垂直平分线上，从而可证得；又因为，为公共边，是角平分线，从而可根据证明，则有，由则有，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用．
【详解】∵为的角平分线，于，于，
∴，
∴点在的垂直平分线上，，
∵，
∴，
∴，故正确；
∴点在的垂直平分线上，
∴，故正确；
∵，，，
∴，
∴，故错误，
由，，
∴，
∴，故正确；
∵的大小不确定，
∴不能确定，故错误，
综上可知：正确，
故答案为：．
16．证明　(1)∵GB=GC,AB=AC,
∴点G,点A在线段BC的垂直平分线上,
又∵两点确定一条直线,∴AG垂直平分BC.
(2)∵AG垂直平分BC,点D在AG上,∴DB=DC.
17.【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作垂线、作角平分线、直角三角形的两个锐角互余等等：
（1）根据尺规作图—作垂线的方法步骤作图即可；
（2）根据角平分线的定义求得，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，再进而可求解．
【详解】（1）解：如图所示，高即为所求；
（2）解：如图，线段是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
又∵，
∴，
∴．
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)当时，点在线段的垂直平分线上，理由见解析．
【分析】（）根据“”证明，即可求证；
（）由（）可得，当是，可得，根据线段垂直平分线的判定定理即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定定理，掌握这些定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当时，点在线段的垂直平分线上．
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
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