八年级数学上册 15.3 等腰三角形 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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15.3 等腰三角形 导学案
（一）学习目标：
1.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性。
2.掌握等腰三角形、等边三角形的性质。
3.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程。
（二）学习重难点：
重点：掌握等腰三角形、等边三角形的性质
难点：理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程
阅读课本，识记知识：
一、等腰三角形的定义
1、定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.
3.等腰三角形的对称性
（1）等腰三角形是轴对称图形；
（2）∠B＝∠C；
（3）BD＝CD，AD为底边上的中线.
（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的各个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形的性质的作用
证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．
三、等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
等边三角形的判定定理
三个角相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【例1】等腰三角形周长为，其中一边长为，则该三角形的底边长为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系由于长为的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
【详解】解：由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为时，则另一腰也为，
底边为15﹣2×3＝9cm，
边长分别为，，9cm，不能构成三角形；
（2）当底边长为时，腰的长，
∴边长为，，，能构成三角形．
故选：A．
【例2】 如图，在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理；
求出，，，可得，①正确；证明，根据三角形内角和定理求出，即可证明是正三角形，故②正确；延长到T，使得，证明，可得，再由线段之间的关系可得，③正确；根据可得，则是定值，再由的面积是变化的可知④错误．
【详解】解：如图，设交于点J．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴是正三角形，故②正确；
延长到T，使得，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，是定值，
∵的面积是变化的，
∴，故④错误；
故选：C．
选择题
1.如图，在和中，与交于点E，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，，点在边上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．5，6，6 C．1，1，2 D．3，4，5
4.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，于点D，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5.等腰三角形有两条边长为和，则该三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
6.在等腰三角形中，若，，则这个三角形的周长为( )
A．21 B．20 C．19 D．18或21
7.如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是( )
A．③ B．①② C．②③ D．①②③
8.如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
9.如图，，，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在中，，，的垂直平分线交于点M，交于点N，，则（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
填空题
11． 已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是 ．
12.如图，，若，则 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
14．如图，在中，，，交于点D，若，则 ．
15．如图，点在等边三角形的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
三、解答题
16．如图，在中，，点D，F在边上，过点D作交于点E，G为上一点，连接，且．
(1)求证：；
(2)若点E为的中点，且，求的度数．
17.如图，已知在中，，是的中点．
求证：．

18.如图，，垂足分别为D、C，并且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)若，则__________．（用含m的式子表示）．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先根据得出，再结合，，得出，再利用全等三角形的性质判断即可．
【详解】解：，
，故D选项结论正确；
又，，
，
，，故A选项、C选项结论正确；
现有条件不能够得出，故B选项结论不正确；
故选B．
2.【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由，得到，．由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到．
【详解】解：，
，
∵，
∴，
，
，
∴．
故选： B ．
3.【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，根据组成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，以及等腰三角形的两边相等，逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、有两条边相等们可以组成等腰三角形，符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、三条边都不相等，不能组成等腰三角形，
故选：B．
4.【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
5．【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，注意要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形，然后再求解．根据等腰三角形的两腰相等，分是腰长和是腰长两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当是腰长，
，
、、不能组成三角形，
当是腰长，能够组成三角形，
，
所以，三角形的周长是，
故选：B．
6．【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系的应用，根据等腰三角形的定义结合三角形三边关系进行分类讨论即可．
【详解】解：根据题意，当这个三角形的三边长分别为8，5，5时，这个三角形的周长为
当这个三角形的三边长分别为8，8，5时，这个三角形的周长为，
故选：D．
7．【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质即可判断①；结合等腰三角形的性质即可判断③；结合三角形外角性质即可判断②．掌握全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，，
故结论①错误，不符合题意；
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故结论③正确，符合题意；
∵，
∴，
故结论②正确，符合题意；
∴正确的结论是②③．
故选：C．
8．【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度．
【详解】解：，，
，，
，，
，，
，
，
，
．
故选：C．
9．【答案】C
【分析】本题考查了等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：，
，
，
又，
．
故选：C．
10．【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．连接，先利用线段垂直平分线的性求得，再求，然后利用直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：如下图，连接，
∵的垂直平分线交于点M，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
11.【答案】24
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时，当等腰三角形的腰长为4，底边长为10时，然后分别进行计算即可解答，分两种情况讨论是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时，
∴这个等腰三角形的周长；
当等腰三角形的腰长为4，底边长为10时，
∵，
∴不能组成三角形；
综上所述，这个等腰三角形的周长为24，
故答案为：24．
12. 【答案】/65度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据证明得，，，再求出，然后利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，以点A为圆心，以为半径画弧，以点B为圆心，以为半径画弧，画线段的垂直平分线，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
【详解】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，这两个交点中有一个是与B重合的，应舍掉，故只有1个；
若以点B为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，故有2个；
线段的垂直平分线与x轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：（个），
故答案为：4．
14．【答案】9
【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，含直角三角形的性质，首先根据直角三角形两锐角互余得到，，然后利用含直角三角形的性质求解即可．解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，含直角三角形的性质．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：9．
15．【答案】
【分析】本题主要考查轴对称-最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点关于的对称点，连接，当点三点共线，时，的值最小，由此即可求解，掌握轴对称-最短路径，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，
∴，，
∴，
当点三点共线，时，的值最小，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
16．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；
（1）根据可得，进而证明，即可得到结论；
（2）根据条件证是的垂直平分线，得到，根据等腰三角形的性质，结合三角形外角的性质求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
17.【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，推出，再利用“三线合一”的性质即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴．
18.【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）利用等式的性质可得，再根据“”可证，可得，即可得出结论；
（2）根据直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得、，再根据角的和差计算求解即可；
（3）根据直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得、，再根据角的和差计算求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定、等腰直角三角形的性质及角的和差计算，熟练掌握相关定理是解题的关键．
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