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【人教A版(2019)】必修一 第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
4． 若正实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．若不等式的解集为，则不等式的（ ）
A． B．或
C． D．或
6．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．若都是正数，则
B．若，则
C．若都是正数，且则
D．若，则
8．已知， ，且，则（ ）
A．有最小值1 B．有最小值1
C．有最小值 D．有最小值
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．下列不等式的解集为的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值16
11．已知，且，则( )
A． B．，使得
C．可能大于 D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知集合，，若且，则实数a的取值范围是 .
13． 已知实数，满足且，则的取值范围是 .
14．已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．用作差法证明下列不等式：
（1）对，；
（2）对，.
16．已知p：实数x满足，q：实数x满足．
（1）若，且p和q至少有一个为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
17．已知均为正实数.
（1）求证：，
（2）若一个直角的两条直角边分别为，斜边，求直角周长的取值范围.
18．已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
（1）当a＝2时，解关于x的不等式；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式．
19．已知集合，其中且，，若对任意的x，，都有，则称集合A具有性质．
（1）集合具有性质，求m的最小值；
（2）已知A具有性质，求证：；
（3）已知A具有性质，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．
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【人教A版(2019)】必修一 第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为
，所以.
故答案为：B.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，∴，所以，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
3．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【解析】当即时，不等式为，解集不是R，不符合题意；
当时，应有，解得.
故答案为：B.
4． 若正实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 正实数满足， 则，当且仅当时取等号.
故答案为：A.
5．若不等式的解集为，则不等式的（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【解析】因为不等式的解集为，
所以、为方程的两根且，
所以，所以、，
所以不等式，即为，即，
即，解得，
即不等式的解集为；
故答案为：C.
6．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，
所以，即，解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：C
7．下列说法不正确的是（ ）
A．若都是正数，则
B．若，则
C．若都是正数，且则
D．若，则
【答案】A
【解析】对于A， 若都是正数，则，
因为a与b大小不确定，故A错误.
对于B， 若，则，故B正确.
对于C， 若都是正数，且则
，所以 ，故C正确.
对于D，
故答案为：A.
8．已知， ，且，则（ ）
A．有最小值1 B．有最小值1
C．有最小值 D．有最小值
【答案】D
【解析】【解答】由，且可知，
而，则，则无最小值，A不符合题意；
设，且，
则，当且仅当，即时取等号，
这与题设矛盾，故最小值不为1，B不符合题意；
，由于函数在上递增，
故在上无最小值，即无最小值，C不符合题意；
，当且仅当时，即时取等号，D符合题意，
故答案为：D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．下列不等式的解集为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【解析】对于A，恒成立，所以 不等式的解集为.故A正确.
对于B，中，，所以，故B错误.
对于C，恒成立，故C正确.
对于D，恒成立，故D正确.
故答案为：ACD.
10．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值16
【答案】A,B,D
【解析】对于A，由已知条件知a=，故ab==4，当且仅当，即b=4时取最小值，故A正确；
对于B，a+b=(a+b)()=，当且仅当，即b=2a时取最小值，故B正确；
对于C，由得2ab=b+4a，故2ab+b=2(a+2b)=(a+2b)()=≧9+2=9+4，故C错误；
对于D，≥2=4ab，而由A选项知ab≥4，故4ab≥16，故D正确.
故答案为：ABD
11．已知，且，则( )
A． B．，使得
C．可能大于 D．
【答案】A,D
【解析】A、因为，且，所以，
所以，又因为，所以，故A正确；
B、因为，且，所以，即，则，
所以，得，故B错误；
C、因为，且，所以，所以，故C错误；
D、因为，所以，所以，
又因为，，所以，所以，故D正确.
故答案为：AD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知集合，，若且，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由得：，所以，因为且，所以.
故答案为：.
13． 已知实数，满足且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知：，
因为且， 则且，
可得，所以的取值范围是.
故答案为：.
14．已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】；
【解析】因为，且，所以，
当且仅当时等号成立，故的最大值为；
因为，且，所以，
则，
而，当且仅当 ，即 时取等号，
故，
当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：；.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．用作差法证明下列不等式：
（1）对，；
（2）对，.
【答案】（1）解：
对，，所以
（2）解：
对，，，所以，即.
16．已知p：实数x满足，q：实数x满足．
（1）若，且p和q至少有一个为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）p：实数x满足，解得．
当时，q：，解得，
∵p和q至少有一个为真命题，∴，
∴实数x的取值范围为．
（2）∵，∴由，得，解得，即q：，∵q是p的充分不必要条件，∴（等号不同时取），
∴，又，∴，
故实数m的取值范围为．
17．已知均为正实数.
（1）求证：，
（2）若一个直角的两条直角边分别为，斜边，求直角周长的取值范围.
【答案】（1）解：因为为正实数，
所以不等式等价于，
由，
所以，当时取“”.
（2）解：由题意，得.
由（1）的结论，，
当时取“”.
又，所以.
所以直角周长的取值范围为.
18．已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
（1）当a＝2时，解关于x的不等式；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式．
【答案】（1）解：当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，
∴不等式的解集为；
（2）解：不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，
当a＞0时，，
的根为：，
①当时，，∴不等式解集为，
②当时，，不等式解集为 ，
③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}，
综上，当时，不等式解集为，
当a时，不等式解集为，
当时，不等式解集为{x|x＜1}．．
19．已知集合，其中且，，若对任意的x，，都有，则称集合A具有性质．
（1）集合具有性质，求m的最小值；
（2）已知A具有性质，求证：；
（3）已知A具有性质，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．
【答案】（1）解：不妨设，
①当时，由，不满足题意；
②当时，由性质定义知：，且，
所以m的最小值为20；
（2）解：由题设，（，2，3，…，），且，
所以，（，2，3，…，），
所以，得证：
（3）解：由（2）知：，
同（2）证明得且，2，3，…．故，又，
所以在，2，3，…上恒成立，
当，取，则，故，
当，则，即，
经计算集合综上，集合A中元素个数的最大值为8．
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