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【人教A版(2019)】必修一 第1章 集合与常用逻辑用语 单元检测卷（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下面选项中的两个集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误.
对于B.集合M表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合N是点集，只有1个元素为(1，0)，所以不是相等集合，故B错误.
对于C.由x2-4x+4=0，得x=2，即M=N={2}，故C正确 ：
对于D.集合M是空集，但集合N是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误.
故答案为：C.
2． “甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若甲和乙的生肖相同，则甲和乙的生肖不一定都是龙；
若甲和乙的生肖都是龙，则甲和乙的生肖肯定相同，
所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的必要不充分条件.
故答案为：A.
3．集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】D
【解析】因为集合有2个元素，所以集合的子集个数是.
故选：D.
4．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】命题“，”的否定是，.
故答案为：D.
5．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式成立的一个充分不必要条件是，等价于集合的真子集.是的必要不充分条件，
是的非充分非必要条件，是的充分必要条件.
故答案为：A
6．已知集合，，若，则的值可以为( )
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】由元素的互异性知集合中且，则．由得．
若，则，满足；若，则，矛盾，舍去．
故答案为：A.
7． 若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为命题是假命题，所以是真命题，即，因为，所以，故.
故答案为：B.
8．设集合 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A．
B．
C． 或 或
D． 或 或
【答案】D
【解析】由题意 知 是集合 的子集，又因为 ．所以（1）当 是空集时，即 无解，所以 ，解得 ，符合题意；（2）当 中仅有一个元素，则 ，解得 时，此时 的根是 ，不符合题意，舍去；（3）当 中有两个元素时，并且这两个元素之积为6，考察集合 ， ， 都符合题意，此时由韦达定理可得 ，或 ；
综上可得： 的取值范围为 或 或 ，
故答案为：D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．已知集合为单元素集，则a的可能取值为（ ）
A．0 B．2 C．-1 D．4
【答案】A,B,C
【解析】 因为集合为单元素集，
所以当a=0时， ，符合题意.
当时，解得 a=1或2，此时或，符合题意.
故答案为：A、B、C.
10．下列叙述中不正确的是（ ）
A．“ ”是“方程 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B．若 ，则“ ”的充要条件是“ ”
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．若 ,则“ ”的充要条件是“ ”
【答案】A,B
【解析】A.令 ，方程 有一个正根和一个
负根，则 ，则有 ，∴“ ”是“方程
有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，错误.
B.当 时，若“ ”成立，而 ，充分性不成立
,错误.
C. ,∴“ ”是“ ”的充分不必要条
件，正确
D. 可以推出 ，而 也可以推
出 ，正确.
故答案为：AB.
11．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论，正确结论为（ ）
A．
B．
C．
D．整数属于同一“类”的充要条件是“”
【答案】A,C,D
【解析】对于A：因为，
令，解得，所以，故A正确；
对于B：因为，
令，解得，所以 ，故B错误；
对于C：因为任一整数被除所得余数有且仅有，所以，故C正确；
对于D：若整数属于同一“类”，则，
可得；
设，不妨令，
若，且，
因为，可得，即，所以整数属于同一“类”，
所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，故D正确.
故答案为：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ．
【答案】-3
【解析】因为为单元素集，所以只有一个元素，
结合集合表示的意义
可知
据此可得：
故答案为：
13．命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】命题等价于在有解，即在有解，
因为，所以，所以.
故答案为：
14．若集合 ， ， ， ，且满足集合 中最大的数大于集合 中最大的数，则称有序集合对 为“兄弟集合对”.当 时，这样的“兄弟集合对”有 对；当 时，这样的“兄弟集合对”有 对（用含有 的表达式作答）.
【答案】14；
【解析】由题意可知， 时， .
当集合 中最大数为1，即 时，无满足题意的集合 ；
当集合 中最大数为2，即 或 时，只有一种满足题意的集合 ，此时“兄弟集合对”有 种；
当集合 中最大数为3，即 ， ， 或 时，满足题意的集合 有 ， 和 三种可能，此时“兄弟集合对”有 种；
故当 时，这样的“兄弟集合对”有 种.
若集合 中最大数为 时，集合 的个数为 的子集个数，即 个，
此时集合 的个数为 的真子集个数，即 个，
因此这样的“兄弟集合对”有 种，
故当 时，这样的“兄弟集合对”有：
种.
故答案为：14； .
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．设集合.求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：因为，
所以
（2）解：因为，
所以或，或.
故或
16．若集合
（1）若，写出的子集个数：
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：，
若，则，此时，
有3个元素，故子集个数为个，即8个.
（2）解：因为，所以，
①若中没有元素即，则，
此时；
②若中只有一个元素，则，此时.
则，此时.
③若中有两个元素，则，此时.
因为中也有两个元素，且，则必有，
由韦达定理得，则，矛盾，故舍去.
综上所述，当时，.
17．已知：关于的方程有实数根，：．
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）解：由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
18．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由；
（2）求证：集合是“和谐集”；
（3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．
【答案】（1）解：对于集合，当去掉元素2时，剩余的所有元素之和为13，
不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，
所以集合不是“和谐集”.
（2）证明：设，
当去掉元素1时，有；
当去掉元素3时，有；
当去掉元素5时，有；
当去掉元素7时，有；
当去掉元素9时，有；
当去掉元素11时，有；
当去掉元素13时，有.
所以集合是“和谐集”.
（3）证明：设“和谐集”所有元素之和为.
由题可知，均为偶数，因此的奇偶性相同.
（i）如果为奇数，则也均为奇数，
由于，所以为奇数.
(ii)如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是和谐集”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”.
此时各项之和也为奇数，集合中元素个数为奇数.综上所述，集合中元素个数为奇数.
19．设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数．
（1）若，求集合；
（2）若，求的所有可能的值组成的集合；
（3）若，求证：．
【答案】（1）由，则，
（2）当，不妨记集合为，且让，
则必有，
和中剩下的满足，
并且，下列有四种可能：
一是，则；
二是与与与三对数有两对相等，另一对不相等，则；
三是与与与三对数有一对相等，其它两对不相等，则；
四是与与与三对数全不相等，则；
综上述，的所有可能的值组成的集合为
（3）当，不妨记集合为，且让，
则必有，
和中剩下的元素为，满足，
所以有两种可能，当，；当，；
ⅰ）当，不妨记这6个元素为，且让，则必有，所以；
ⅱ）当，，
不妨记，，，，，
则，则必有，积中剩下的满足，则，
下面先证明．
假设，由，则，
即，所以，
令，由，则，
所以，则，与事实不符，所以．
下面再证明．
由上述分析知：要使，积中剩下的满足，必有两对积与七对中的两对相等，有如下五种情况：
一是，则可推得，令其比值为，则，于是，由，则，则，显然无解，故此情况不能；
二是，则可推得，令，显然，由，则，所以，而显然，故此情况不可能；
三是，则可推得，令其比值为，则，由，又，则，这与矛盾，故此情况不可能；
四是，可推得，令其比值为，则，
于是，，，，
于是由，则，所以，代入得，所以，推得，所以，所以，有，所以，这与是有理数相矛盾，所以此情况不能；
五是，可推得，令其比值为，则，于是，由，则，则，显然无解，故此情况不可能．所以．
综上，所以．
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【人教A版(2019)】必修一 第1章 集合与常用逻辑用语 单元检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下面选项中的两个集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
2． “甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
4．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，，若，则的值可以为( )
A． B． C．或 D．或
7． 若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设集合 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 或 D． 或 或
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．已知集合为单元素集，则a的可能取值为（ ）
A．0 B．2 C．-1 D．4
10．下列叙述中不正确的是（ ）
A．“ ”是“方程 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B．若 ，则“ ”的充要条件是“ ”
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．若 ,则“ ”的充要条件是“ ”
11．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论，正确结论为（ ）
A． B．
C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“”
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ．
13．命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 ．
14．若集合 ， ， ， ，且满足集合 中最大的数大于集合 中最大的数，则称有序集合对 为“兄弟集合对”.当 时，这样的“兄弟集合对”有 对；当 时，这样的“兄弟集合对”有 对（用含有 的表达式作答）.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．设集合.求：
（1）；
（2）.
16．若集合
（1）若，写出的子集个数：
（2）若，求实数m的取值范围.
17．已知：关于的方程有实数根，：．
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由；
（2）求证：集合是“和谐集”；
（3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．
19．设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数．
（1）若，求集合；
（2）若，求的所有可能的值组成的集合；
（3）若，求证：．
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