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【人教A版(2019)】选修一 第2章 直线和圆的方程 单元检测卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线 x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线 x+y﹣1=0化为y=﹣ x+1，
∴tanθ=﹣ ，
∵θ∈[0，π），∴θ= ．
故答案为：C．
2．已知直线，，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线，所以，即.
故答案为：B.
3．已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆，，，
，圆心，，
由题意可知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，
，，的中点，，则直线的斜率为，
故的方程：，即．
故答案为：C．
4．圆与圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】 圆 的圆心为，半径；
圆的 的圆心为，半径；
因为，可知两圆外切，所以两圆有3条公切线.
故答案为：C.
5．若点在圆的外部，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点在圆的外部，
则，则，又因为方程为圆，
则，则，则a的取值范围为.
故答案为：A.
6．P是直线上的一个动点，过点P向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为Q，由，
则．
故选：D
7．已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆的方程为，因为圆过，两点，
且，两点的横坐标满足方程，
所以，，
所以圆的方程为，
又在圆上，所以，解得，
所以圆的方程为，
即，
令，解得或，
即圆恒过点和，又，所以该定值为．
故答案为：B．
8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆心坐标为，则，
圆的方程为
因为两点在圆上，所以，解得或，
当时，为劣弧所对角，故舍去．
所以，
所以，
所以为等腰直角三角形，
所以，
故答案为：B．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
B．直线在轴的截距是
C．直线的倾斜角为
D．过点且倾斜角为的直线方程为
【答案】C,D
【解析】对于A，当截距为0时，设与轴，轴截距相等的直线方程为
又因为直线过点P(1，2)，所以，所以，
所以，过点且在轴，轴截距相等的直线方程为y=2x，
当截距不为0时，设与轴，轴截距相等的直线方程为，又因为直线过点P(1，2)，
所以，，所以a=3，所以，过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 ，
综上所述，过点且在轴，轴截距相等的直线方程为y=2x或，所以A错；
对于B，直线在轴的截距是-，所以B错；
对于C，直线的斜率为，设直线的倾斜角为
又因为所以，直线的倾斜角为，所以C对；
对于D，因为倾斜角为的直线斜率不存在，所以设直线为，
又因为直线过点，所以m=5，所以，所以，过点且倾斜角为的直线方程为，
所以D对.
故答案为：CD.
10．已知直线l：与圆C：，则（ ）
A．直线l过定点
B．圆C的半径为4
C．直线l与圆C一定相交
D．圆心C到直线l的距离的最大值是1
【答案】A,C,D
【解析】A、直线，化简为，
令，解得，即直线过定点，故A正确；
B、圆的标准方程为，即圆的半径为2，故B错误；
C、因为，所以点在圆内，即直线与圆一定相交，故C正确；
D、圆心到直线距离的最大值为，点到圆心的距离，即，故D正确.
故答案为：ACD.
11．已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）
A．
B．
C．外接圆圆心的轨迹方程为
D．重心的轨迹方程为
【答案】A,B,C
【解析】易知圆的圆心，半径为，且点在圆内，
A、，根据圆的性质，可得，
即，即，所以的最大值为，故A正确；
B、因为，当线段的中垂线经过点时，取得最值，如图所示：
即时，，
时，可得，故B正确；
C、设的外接圆的圆心为，则，
则有，可得，
即，故C正确；
D、设的重心为点，则，
由C项知的外接圆的圆心点的轨迹方程为，
且点为的中点，即，所以，
即，即，故D错误.
故答案为：ABC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 .
【答案】
【解析】由直线与直线互相平行，可得，解得，
则直线与直线的距离为.
故答案为：.
13．已知圆：，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 ．
【答案】
【解析】由圆，知，得，
故圆，即，
令可得，令可得，
显然两圆相交，两圆方程作差可得，
由，解得或，
所以直线与圆相交的弦长为，
所以，则.
故答案为：.
14．已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，连结，，，和交于点，
，
因为，所以，
设，易知其在为增函数，
则的最小值为圆心到直线的距离，
所以的最小值为，那么的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知直线，直线．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
【答案】（1）解：因为，所以，解得或.
当时，直线，即；直线，即，此时两直线重合，不满足，故舍去；
当时，直线，即；直线，即，此时，满足题意；
综上可得：当，直线的方程为：.
（2）解：当直线在两坐标轴上的截距相等，都为时，直线过点，
则，解得.
此时直线方程为：；
当直线在两坐标轴上的截距相等，不为时，
则直线的斜率为，解得
此时直线方程为：.
综上可得：直线的方程为：.
16．已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.
（1）求直线的方程：
（2）求的面积.
【答案】（1）解：边上的高所在直线方程为，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.
（2）解：边上的中线所在的直线方程为，由解得，即.设，则，所以，解得，即.，到的距离为，所以三角形的面积为.
17．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
【答案】（1）解：因为圆心在直线上，所以设，
因为圆经过，两点，所以，
解得，即，半径，
所以圆的标准方程为．
（2）解：因为过点的直线被圆截得的弦长为8，所以到直线距离，
当直线斜率不存在时，直线满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
所以，解得，
此时直线方程为，即
综上所述，直线的方程为或．
18．已知直线与圆交于，两点，过点的直线与圆交于，两点.
（1）若直线垂直平分弦，求实数的值；
（2）已知点，在直线上（为圆心），存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有为同一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数.
【答案】（1）解：依题意，圆C方程变形为，圆心，半径
又直线l的方程即为
因为垂直平分弦，圆心必在直线上
过点和，斜率，
（2）解：设直线上的点取直线与圆的交点，则
取直线与圆的交点，则.
令，解得或（舍去，与重合），此时
若存在这样的定点满足题意，则必为
下证：点满足题意.设圆上任意一点，则
∴
∴
综上可知，在直线上存在定点使得为常数
19．在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.
（1）求曲线的方程；
（2）当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3）是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）设，由得，
化简得，则曲线的方程为；
（2）由题意知，设，
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，
则，所以(舍去)或，即，
则，
则直线方程为；
（3）设直线方程为，设，
联立方程，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线始终经过此定点.
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【人教A版(2019)】选修一 第2章 直线和圆的方程 单元检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，，若，则( )
A． B． C． D．
3．已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为( )
A． B． C． D．
4．圆与圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．若点在圆的外部，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．P是直线上的一个动点，过点P向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
7．已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（ ）
A． B． C． D．
8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，则的最大值为( )
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
B．直线在轴的截距是
C．直线的倾斜角为
D．过点且倾斜角为的直线方程为
10．已知直线l：与圆C：，则（ ）
A．直线l过定点 B．圆C的半径为4
C．直线l与圆C一定相交 D．圆心C到直线l的距离的最大值是1
11．已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）
A．
B．
C．外接圆圆心的轨迹方程为
D．重心的轨迹方程为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 .
13．已知圆：，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 ．
14．已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知直线，直线．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16．已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.
（1）求直线的方程：
（2）求的面积.
17．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
18．已知直线与圆交于，两点，过点的直线与圆交于，两点.
（1）若直线垂直平分弦，求实数的值；
（2）已知点，在直线上（为圆心），存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有为同一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数.
19．在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.
（1）求曲线的方程；
（2）当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3）是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
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