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【人教A版(2019)】选修一 第1章 空间向量与立体几何 单元检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，且，，与的夹角为直角，则y的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
2．在正四面体中，其外接球的球心为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，，若平面的一个法向量为，则（ ）
A． B． C． D．
4．设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（ ）
A．0 B． C． D．
5．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．三棱锥的体积是定值
D．存在点，使得与所成的角为
7． 如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2023个 D．4046个
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影向量为
10．如图所示，平行六面体中，，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．平面
D．
11．已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，且与正方体的内切球为球心交于，两点，则下列说法正确的是( )
A．线段的长为
B．三棱锥的体积为
C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
D．设为球上任意一点，则的范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .
13．在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 ．
14．如图，已知圆柱，A在圆上，，，，在圆上，且满足，则直线与平面所成角余弦的最小值是 ．
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．设，向量，，，且，.
（1）求；
（2）求向量与夹角的大小．
16．如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．
（1）若F是PE中点，证明：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18．在四棱柱中，已知平面，，， ，，是线段上的点．
（1）点到平面的距离；
（2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定
点位置；若不存在，试说明理由．
19．在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
（1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量写出一个即可；
（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数的值；
（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面有公共棱所成二面角的大小．
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【人教A版(2019)】选修一 第1章 空间向量与立体几何 单元检测卷（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，且，，与的夹角为直角，则y的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【答案】B
【解析】 向量，且 ，则解得：则，
又 与的夹角为直角 ，且
则解得：y=2.
故答案为：B.
2．在正四面体中，其外接球的球心为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，将正四面体转化为正方体，
则O为AN的中点，
可知
.
故答案为：C.
3．已知，，，若平面的一个法向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
得，
则平面的一个法向量为，∴，
即，解得，
∴，
故答案为：C．
4．设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】空间四点共面，但任意三点不共线，所以系数和为1，
，解得：.
故答案为：C.
5．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在平行六面体中，，
，，
，
则，
而，且，
于是，
因此，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：C.
6．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．三棱锥的体积是定值
D．存在点，使得与所成的角为
【答案】B
【解析】A、在正方体中，，因为P为线段的中点，即为的中点，所以，故不可能平行，故A错误；
B、若为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
，面，则面，
所以存在Q使得平面，故B正确；
C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，
所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，
故三棱锥的体积不是定值，故C错误；
D、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，且，
所以，，若它们夹角为，
则，
令，则，
当，则，；
当则；当，则，；
所以不在上述范围内，故D错误.
故答案为：B.
7． 如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得， 为正方体，
则平面，，且平面，
所以，
又因为，平面，所以平面，
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
正方体 的 棱长为1 ，则，，
设，，，
，，，
因为∥平面，所以，
因为，所以，即，
，
所以当时，最小，最小为.
故答案为：A.
8．设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2023个 D．4046个
【答案】B
【解析】设点，
则，
所以，，
，
所以，，
所以满足条件的点的个数为1个.
故答案为：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影向量为
【答案】A,C,D
【解析】因为 =2（-1，2，0）=2，所以、，故A、C正确，B错误.
在方向上的投影向量 ，故D正确.
故答案为：A、C、D.
10．如图所示，平行六面体中，，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．平面
D．
【答案】A,C,D
【解析】设，可得，
则，
A、根据向量的线性运算法则，可得，
则，
所以，即，故A正确；
B、由，，
则
，故B错误；
C、如图所示，连接交于点，连接，
可得分别为的中点，可得且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，且平面，所以平面，故C正确；
D、由，
可得，
所以，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
11．已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，且与正方体的内切球为球心交于，两点，则下列说法正确的是( )
A．线段的长为
B．三棱锥的体积为
C．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
D．设为球上任意一点，则的范围为
【答案】A,B,D
【解析】A、分别取，，，的中点，，，，则过、、三点的截面为正六边形，球心为其中心， 如图所示：
在正六边形中，，点到的距离为，，所以，故A正确；
B、建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，
，，，
因为，，
所以，，因为，平面，
所以，，
因为，故B正确；
C、过、、三点的截面为正六边形，边长为，，故C错误；
D、
因为，，
所以四边形为菱形，则，
所以
若与共线同向时，即，
若与共线反向时，即，，
所以的范围为，故D正确.
故答案为：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .
【答案】
【解析】由条件可知，，，，
又二面角的平面角为，则，
∴
，∴.
故答案为：.
13．在空间直角坐标系中，表示经过点，且方向向量为的直线的方程，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】由题意可知直线经过点，且方向向量为，
因为，所以，则，
所以，又由，所以点到直线的距离为.
故答案为：.
14．如图，已知圆柱，A在圆上，，，，在圆上，且满足，则直线与平面所成角余弦的最小值是 ．
【答案】
【解析】如图建立空间坐标系，则，
设A，则，
设平面OPQ的法向量为，则，取z=-1则
设直线与平面所成角，则，
当且仅当 时，A（0，-1，0）时等号成立.直线与平面所成角 正弦最大值为
直线与平面所成角余弦的最小值是.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．设，向量，，，且，.
（1）求；
（2）求向量与夹角的大小．
【答案】（1）解：，，
可得，解得，
则，，所以，
故.
（2）解：因为，
所以，
故向量与的夹角为.
16．如图，在直三棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：建立直角坐标系，其中为坐标原点.
依题意得，
因为，所以.
（2）解：设是平面的法向量，
由得
所以，令，则，
因为，所以到平面的距离为
17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．
（1）若F是PE中点，证明：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取的中点为，接，
因为分别为的中点，则，
又因为，则，
可知四边形为平行四边形，则，
且平面，平面，所以平面.
（2）解：由题意可知：，
可知四边形为平行四边形，则，
且平面，所以平面，
且，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得
设平面的法向量为，则，
令，则取，可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．在四棱柱中，已知平面，，， ，，是线段上的点．
（1）点到平面的距离；
（2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定
点位置；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）解：过作直线平面，
则可以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
则有，，，，，，
则，，
设面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，
所以点到面的距离
（2）解：因为为的中点，所以，所以，，
所以
所以异面直线与AE所成角的余弦值为．
（3）解：设，其中，
则，，
设面的一个法向量为，
则有，令，则，，
所以，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，
若存在点，使得二面角的余弦值为，
则，所以，解得或，
故存在或满足题意，即存在点在处或在靠近的三等分点处．.
19．在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
（1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量写出一个即可；
（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数的值；
（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面有公共棱所成二面角的大小．
【答案】（1）解：记平面，的法向量为，设直线的方向向量，
因为直线为平面和平面的交线，
所以，，即，取，则，
所以直线的单位方向向量为．
（2）解：设，
由平面经过点，，
所以，解得，即，
所以记平面的法向量为，
与同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得．
（3）解：由集合知，由一个边长是的正方体和个高为的正四棱锥构成，如图所示：
，，
设几何体相邻两个面有公共棱所成二面角为，
平面，设平面法向量，
平面，设平面法向量，
所以，
所以几何体相邻两个面有公共棱所成二面角为．
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