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【人教A版(2019)】必修一 第3章 函数概念与性质 单元检测卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】设，则，所以，
则，所以.
故选：A
2．已知，且，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】令2x-5=3，解得x=4，所以 .
故答案为：C．
3．已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为①，用代替可得，
又因为函数为奇函数，函数为偶函数，所以②，
由①②可得，所以.
故答案为：D.
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
因为，
所以.
故答案为：B.
6．设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1，则h(-X)h(X)，所以h(X)不是奇函数，故A不符合；
对于B：因为h(x)= f(x-1)+1，则h(-X)＝h(X)，所以h(X)是奇函数，故B符合；
对于C：h(x)= f(x+1)－1，则h(-X)h(X)，所以C不符合； 对于D：h(x)= f(x+1)+1，则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
故答案为：B.
7．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】当x ∈ [0，2]时f(x)=x(2-x)=1-(x-1)2∈ [0，1]，则当x ∈ [-2，0]时，即x+2∈ [0，2]，
所以
当x ∈ [2，4]时，即x -2 ∈[0， 2]，由，得f(x+2)=-2f(x)，则f(x)= -2f(x- 2)∈[-2，0]，
当x∈ [4，6]时，即x-2∈ [2，4]，则f(x)=-2f(x-2)∈ [0，4].
综上得函数f(x)在-， 上的值域为， .
故答案为：D.
8．已知函数，关于的性质，有以下四个推断：
①的定义域是； ②的值域是；
③是奇函数； ④是区间上的增函数．
其中推断正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：因为函数，
对于①，函数的定义域是，所以①对；
对于②，因为，所以，，
因为，所以，函数的值域是，所以②对；
对于③，因为的定义域为R，又因为，
所以，函数f(x)是奇函数，所以③对；
对于④，因为函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又因为函数是奇函数，所以，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，所以④错.
综上所述，推断正确为①②③.
故答案为：C.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【解析】对A，因为为定义在上的奇函数，所以，
为定义在上的偶函数，所以
所以，故A正确；
所以，故B正确；
所以，即，故C正确；
所以，故D错误.
故答案为：ABC.
10．已知函数是定义在上的奇函数，，对任意的，且，均有，则（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．函数为常数函数
【答案】A,C,D
【解析】因为，所以，
即，
由的任意性可知函数为常数函数，
不妨令为常数，则，即，
所以，解得，故，
则在上单调递增，为常数函数.
故答案为：ACD.
11．函数下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A．，使得的图象关于原点对称
B．若，则方程有大于2的实根
C．若，则方程至少有两个实根
D．若，则方程有三个实根
【答案】A,B
【解析】【解答】解：画出函数的图象，如图所时：
由图可知函数为奇函数；
A、当时，，因为为奇函数，所以为奇函数，故，使得的图象关于原点对称，故A正确；
B、若，则，由，可得，
由图象可知：若与有三个交点，存在交点的横坐标大于2，所以方程有大于2的实根，故B正确；
C、 若，则由图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍可得的图象，
由，可得，
由图象可知：若与至多有2个交点，所以方程至多有两个实根，故C错误；
D、当时，由，可得，
由图象可得：与只有一交点，即方程只有一个实根，故D错误.
故答案为：AB.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．若函数是奇函数，则 ．
【答案】-3
【解析】因为函数是奇函数 ，所以，化简可得：.
故答案为：
13．已知函数在上的值域为，则的值为 ．
【答案】6
【解析】函数的图像抛物线开口向上，对称轴方程为，
则，解得，
所以在上单调递增，所以即
所以为方程的两个根，即为方程的两个根，
由韦达定理有．
故答案为：6
14．已知函数，若对任意，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由，当a<0时，当x→-∞时，ax-1→+∞，f(x)≤0不恒成立，故不符合题意；
当a=0时，f(x)=2|x|-1，x=-1时，即有f(x)>0，不符合题意；
当a>0时，f(x)≤0，即，(4-a2)x2-2ax-1≤0，
令g(x)=(4-a2)x2-2ax-1
当4-a2=0，即a=2时，g(x)=-4x-1，不符合题意；
当4-a2≠0时，则需满足4-a2<0，，g(-1)≤0，
解得：a≥3.
综上所述a≥3.
答案：
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）根据定义证明函数在区间上单调递增．
【答案】（1）可知函数的定义域为，
因为，都有，
且，
所以，函数为奇函数；
（2），且
∴
=
=
，且
，
，即，
，即在上单调递增．
16．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹 郁金香 月季（其中区域的形状 大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
（2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【答案】（1）解： 设矩形花园的长为，
矩形花园的总面积为，
，可得，
又阴影部分是宽度为的小路，
可得，可得，
即关于的关系式为.
（2）解： 由（1）知，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
17．已知二次函数，满足，．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上最小值为5，求实数的值．
【答案】（1）解：由，得，
由，得，
故，解得，所以.
（2）解：由（1）得：，则的图象的对称轴方程为，
最小值，故或（即或）
当时，最小值，解得，
当时，最小值，解得.
综上或.
18．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图象，并写出单调区间；
（3）若与有个交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由于函数是定义域的奇函数，；
当时，，因是奇函数，所以．
所以，
综上：函数在上的解析式为：；
（2）解：图象如下图所示：
单调增区间：，，单调减区间：；
（3）解：因为方程有三个不同的解，由图象可知，
满足题意的的取值范围为：．
19．设为实数，函数．
（1）当时，求在区间上的最大值；
（2）设函数为在区间上的最大值，求的解析式；
（3）求的最小值.
【答案】（1）解：a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，
∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，
在区间上的最大值为0
（2）解：g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，
①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上是增函数，
故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；
②当0＜a＜1时，
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2a）上是减函数，在[2a，2]上是增函数，
而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，
g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣22）（a+22），
故当0＜a＜22时，
t（a）＝g（2）＝4﹣4a，
当22≤a＜1时，
t（a）＝g（a）＝a2，
③当1≤a＜2时，
g（x）在[0，a）上是增函数，在[a，2]上是减函数，
故t（a）＝g（a）＝a2，
④当a≥2时，g（x）在[0，2]上是增函数，
t（a）＝g（2）＝4a﹣4，
故t（a）
（3）解：由（2）知，
当a＜22时，t（a）＝4﹣2a是单调减函数，，无最小值；
当时，t（a）＝a2是单调增函数，且t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8；
当时，t（a）＝4a﹣4是单调增函数，最小值为t（2）＝4；
比较得t（a）的最小值为t（22）＝12﹣8．
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【人教A版(2019)】必修一 第3章 函数概念与性质 单元检测卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．9 B．3 C． D．
2．已知，且，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
3．已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知函数，关于的性质，有以下四个推断：
①的定义域是； ②的值域是；
③是奇函数； ④是区间上的增函数．
其中推断正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9．已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则( )
A． B．
C． D．
10．已知函数是定义在上的奇函数，，对任意的，且，均有，则（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．函数为常数函数
11．函数下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A．，使得的图象关于原点对称
B．若，则方程有大于2的实根
C．若，则方程至少有两个实根
D．若，则方程有三个实根
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
12．若函数是奇函数，则 ．
13．已知函数在上的值域为，则的值为 ．
14．已知函数，若对任意，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
15．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）根据定义证明函数在区间上单调递增．
16．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹 郁金香 月季（其中区域的形状 大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
（2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
17．已知二次函数，满足，．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上最小值为5，求实数的值．
18．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图象，并写出单调区间；
（3）若与有个交点，求实数的取值范围．
19．设为实数，函数．
（1）当时，求在区间上的最大值；
（2）设函数为在区间上的最大值，求的解析式；
（3）求的最小值.
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