2024年广东省广州113中中考数学四模试卷（含答案）

2024年广东省广州113中中考数学四模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.赤道长约为，用科学记数法可以把数字表示为( )
A. B. C. D.
2.下列各数：，，，，其中比小的数是( )
A. B. C. D.
3.下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，，则的长为( )
A. B. C. D.
6.在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形如图甲，把余下的部分拼成一个矩形如图乙，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式( )
A. B.
C. D.
7. 中，，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
8.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点若点恰好落在边上，则点到直线的距离等于( )
A. B. C. D.
9.规定””为有序实数对的运算，如果如果对任意实数，都有，则为( )
A. B. C. D.
10.如图，在直角坐标系中，矩形的边，，不改变矩形的形状和大小，当顶点在轴正半轴上左右移动时，另一顶点始终在轴正半轴上随之上下移动则下列说法：当时，对角线轴；在矩形运动过程中，、两点有最大距离；为中点，当的面积是时，是等腰三角形其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：______．
12.分式方程的解为______．
13.代数式有意义时，应满足的条件是 ．
14.如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，以为半径画弧，交对角线于点，则图中阴影部分的面积是____结果保留．
15.如图，线段表示连通、两市之间的公路，两市相距，分别从、处测得国家级风景区中心处的方位角如图所示，，则处到公路的距离为______．
16.如图，中，，为边上的中线，则的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程组．
18.本小题分
如图，点、在线段上，，，，证明：．
19.本小题分
已知，且．
化简；
若数轴上点、表示的数分别为，，且，求的值．
20.本小题分
广州市某中学响应国家政策，减轻家长负担，为学生提供优质午托食堂为参加午托的名同学提供了、、、四种套餐，为了解同学对这四种套餐的喜好情况，学校随机抽取了名进行“你最喜欢哪一种套餐必选且只选一种”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
在抽取的人中最喜欢套餐的人数为______，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为______；
依据本次调查的结果，估计所有午托同学中最喜欢套餐的人数；
如果你是学生会主席，你决定从甲、乙、丙、丁四名学生会干部中随机选两人担任食堂“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
21.本小题分
史载伟大诗人屈原之弟子宋玉与楚怀王对话，赞美东家之子“增之一分则太长，减之一分则太短，著粉则太白，施朱而太赤”．
据考据，当时一分约为现在的厘米，若东家之子增十分后的身高是减十分后身高的倍，求其身高是多少厘米？
楚时好华服，东家之子欲买绢与锦共匹制成裳，绢价每匹钱，锦价每匹钱，若锦的数量不少于绢数量的倍，请你为他设计一种购买方案，使所需总费用最低．
22.本小题分
如图，点是直径延长线上一点．
尺规作图：在外作点，使，；只需作一种情况，不写作法，保留作图痕迹
连接，，交于点．
求证：；
若，，求．
23.本小题分
如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过边的中点和的中点已知等边的边长为．
求该双曲线所表示的函数解析式；
求等边的边长．
24.本小题分
已知一次函数的图象与轴相交于点，二次函数的图象过点与．
求与之间的等量关系式；
若对于任意实数，总有，求二次函数的解析式；
记中抛物线与轴交点为，点为对称轴上一动点，当时，求点纵坐标的取值范围．
25.本小题分
如图，点是圆中优弧上一动点，平分，平分交于点，交于．
求证：；
若，求的长；
记，，，求在点运动过程中，点运动路径长用含，，的式子表示．
参考答案
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17.解：，
得：，
把代入得：，
方程组的解为：．
18.证明：，
．
在和中，
．
．
19.解
；
数轴上点、表示的数分别为，，且，
，
．
20.在抽取的人中最喜欢套餐的人数为：，
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为：，
故答案为：，；
人，
答：估计所有午托同学中最喜欢套餐的有人；
树状图如下所示，
由上可得，一共有种等可能性，其中甲被选到的可能性有种，
故甲被选到的概率为．
21.解：设东家之子的身高是厘米，
根据题意得：，
解得：．
答：东家之子的身高是厘米；
设购买匹绢，则购买匹锦，
根据题意得：，
解得：．
设所需总费用为钱，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时．
答：当购买匹绢，匹锦时，所需总费用最低．
22.解：图形如图所示：
证明：，
，
，
；
过点作于点．
，，
，
，
，
，
．
23.解：过点作于点，
点是等边的边的中点，
，，
，，
点的坐标是，
由，得：，
该双曲线所表示的函数解析式为；
过点作于点，设，则
点的坐标为，
点是双曲线上的点，
由，得，
即：，
解得：，舍去，
，
等边的边长是．
24.解：一次函数的图象与轴相交于点，则点，
由题意得，抛物线的表达式为：，
即；
由对于任意实数，总有知，抛物线和一次函数只有一个交点，
联立两个函数表达式得：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
作的外接圆，根据函数和圆的对称性点在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交圆于点、，
，
故当点在、之间时，，
设点，
由得：，
解得：，
则点，
则圆的半径，
则点、的坐标分别为：、，
则点纵坐标的取值范围为：．
25.证明：平分，
．
平分，
，
，
，
，
，
．
；
解：连接，如图，
平分，
，
，
．
，
∽，
，
，
．
平分，
，
，，
，
；
解：延长，交圆于点，连接，，，如图，
平分，
，
，
，．
平分，
，
，，
，
，
，
点运动路径为以点为圆心，为半径的圆弧．
，，
∽，
，
，，
．
四边形为圆的内接四边形，
，
，
．
点运动路径长．
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