2025年高考数学一轮复习-3.3-导数与函数的极值、最值（课件+练习）（含答案）

(共47张PPT)
第3讲 导数与函数的极值、
最值
课标要求 考情分析
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 考点考法：高考命题以考查函数的极值、最值的概念，求函数的极值、最值为重点内容，常常需要对参数分类讨论，是每年的必考内容，三种题型都可能出现，题目难度较大.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.函数的极值
条件 附近的左侧 ____0,右侧 ____0 附近的左侧 ____0,右侧
____0
图象 __________________________________________ 形如山峰 __________________________________________
形如山谷
＞
＜
＜
＞
极值 为极____值 为极____值
极值 点 为极____值点 为极____值点
[提醒] （1）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
（2）在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.
大
小
大
小
续表
2.函数的最值
（1）在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值.
（2）若函数 在 上单调递增,则______为函数的最小值,______为
函数的最大值;若函数 在 上单调递减,则______为函数的最大值,
______为函数的最小值.
[提醒] 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，
有极值的未必有最值，有最值的未必有极值;极值有可能成为最值，最值
只要不在端点处必定是极值.




【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）导数为零的点不一定是极值点.( )
√
（2）函数的极大值不一定比极小值大.( )
√
（3）函数的极大值一定是函数的最大值.( )
×
（4）开区间上的单调连续函数无最值.( )
√
2.（人A选择性必修第二册 练习 变条件）已知函数
的定义域为 ,导函数 的图象如图所示，则函数
( )
A.无极大值点，有四个极小值点
B.有三个极大值点，一个极小值点
C.有两个极大值点，两个极小值点
D.有四个极大值点，无极小值点
√
解析：选C.设 的图象与 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为 , , , .
当 时， ,
当 时， ,
则 为极大值点，
同理, 为极大值点， , 为极小值点，故选C.
3.已知函数 ,则 的极大值为( )
A. B. C. D.
√
解析：选B.函数 的定义域为 ,且 ,令
,解得 ，
， 在 上的变化情况列表如下：

+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
所以函数 的极大值为 .
4.若函数 在 上的最大值为4，则 ___.
4
解析： , ，
当 时， ,则 在 上单调递减，
当 时， ,则 在 上单调递增.
又 , .
所以在 上， ,
所以 .
1.对于可导函数 ， 是函数 在 处有极值的必要
不充分条件.
2.若函数 的图象连续不断，则 在 上一定有最值.
3.若函数 在 上是单调函数，则 一定在区间端点处取得最值.
4.若函数 在区间 内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函
数的最值点.
【用一用】
1.(2023·山东济宁模拟)连续函数 在 上有最大值是有极大值的
( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选D.因为函数的最值是整体概念，而函数的极值是局部概念，这两
者之间没有必然关系，所以连续函数 在 上有最大值是有极大值
的既不充分也不必要条件，故选D.
√
2.(2023·重庆万州纯阳中学模拟)已知函数 在
处有极值0，则 _____.

解析：由题意得， ，
则 即 解得 或
若 则 ，
所以函数 在 上单调递增，函数无极值，故舍去，所以
经检验，符合题意，所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 用导数研究函数的极值问题（多维探究）
[高考考情] 函数极值是导数在研究函数中的一个重要应用，在高考中也是重点考查的内容，主要考查导数与函数单调性、极值或方程、不等式的综合应用，既有选择题、填空题，也有解答题，属于难度偏大的题目.
角度1 根据函数图象判断函数极值
例1 (2023·黑龙江牡丹江模拟)设函数 在 上可导，其导函数为 ，
且函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.函数 有极大值 和
B.函数 有极小值 和
C.函数 有极小值 和极大值
D.函数 有极小值 和极大值
√
解析：由题图可知，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以函数 有极小值 和极大值 .故选D.
由图象判断函数 的极值，要抓住两点：
（1）由 的图象与 轴的交点，可得函数 的可能极值点；
（2）由 的图象可以看出 的值的正负，从而可得函数 的单调性.两者结合可得极值点.
角度2 求函数的极值
例2 已知函数 .
（1）当 时，求 的极值；
【解】当 时， ， ，且
,
令 ,解得 ,
则当 变化时， , 的变化情况如下表：
2
+ 0 -
单调递增 单调递减
故 ,无极小值.
（2）讨论函数 在定义域内极值点的个数.
已知函数 .
【解】 .
当 时， 在 上恒成立，
则函数 在 上单调递增，无极值点；
当 时，若 ,则 ,若 ,则 ,
故函数 在 处有极大值.
综上可知，当 时，函数 无极值点；
当 时，函数 有一个极大值点，即 .
求函数的极值或极值点的步骤
（1）求导数 ，不要忘记函数 的定义域；
（2）求方程 的根；
（3）检查在方程的根的左、右两侧 的符号，确定极值点或函数的极值.
角度3 已知函数极值（点）求参数
例3.（1）(2023·山东威海模拟)已知函数 在
处取得极小值，且 的极大值为4，则 ( )
A. B. C. D.
解析：
，
因为函数 在 处取极小值，所以
，所以 ，
所以 ，
.
√
令 ，得 或 ，当 时， ，所以 在 上单调递增；当 时， ，所以 在 上单调递减；当 时， ，所以 在 单调递增，所以 在 处有极大值，为 ，解得 ，所以 .故选B.
（2）(2023·江苏苏州模拟)若函数 没有极值，
则实数 的取值范围为______________.

解析：因为函数 没有极值，所以
在 上没有变号的零点，令
.
①当 ，即 时，由 ，解得 ，所以 ；
②当 ，即 时，由 ，解得 ，
所以 .
由①②得， .
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
（2）验证：因为导数值等于零只是此点为极值点的必要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[注意] （1）导数为零的点不一定是极值点.
（2）对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程 的根的情况进行讨论，分两个层次讨论，第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小.
【对点训练】
1.函数 在 上的极大值点为( )
A. B. C. D.
解析：选C. ，令 ，得 ，又 ,所以
.当 时， ,函数单调递增；当 时， ，
函数单调递减，所以当 时，函数取得极大值，所以函数的极大值点
为 .故选C.
√
2.(2023·广西桂林模拟)已知函数 在 处取得极值，则
的极小值为___.
1
解析： ,由已知得 ,所以 ,
则 , .令 ,得 或 .当
时， , 单调递减；当 时， ,
单调递增；当 时， , 单调递减，所以
的极小值为 .
3. 若函数 在区间 上有两个极值点，则实数 的取值范围是___________ .
解析： ，因为函数 在区间 上有两个极值点，即 在 上有两个不等的实数根，
即 在 上有两个不等的实数根，即函数 和 的图象有两个交点.
，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，且当 时， ，当 时， ，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
考点二 利用导数研究函数的最值问题（师生共研）
例4 (2021·高考北京卷节选)已知函数 .若函数 在 处取
得极值,求 的单调区间，以及最大值和最小值.
【解】 .若函数 在 处取
得极值，令 ,则 ，解得 .经检验，当 时，
为函数 的极大值点，符合题意.此时 ,函数定义域为
， ，令 ,解得 , .
, 随 的变化情况如下表：
-1 4
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故函数 的单调递增区间为 , ,单调递减区间为 ，
极大值为 ，极小值为 .
又因为当 时， ,当 时， ,
所以函数 的最大值为 ，最小值为 .
求函数 在 上最值的方法
（1）若函数在区间 上单调递增或单调递减, 与 一个为最大
值,一个为最小值.
（2）若函数在闭区间 内有极值,要先求出 上的极值,与 ,
比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.
（3）函数 在区间 上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大
（或最小）值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.
【对点训练】
已知函数 ，其中 为常数.
（1）若 时，求 的最大值；
解：易知 的定义域为 ，当 时， ,
,令 ，得 .当 时， ;
当 时， ,所以函数 在 上单调递增，在 上
单调递减，所以 .所以当 时，函数 在
上的最大值为 .
（2）若 在区间 上的最大值为 ，求 的值.
已知函数 ，其中 为常数.
解： , 时， .①若 ,则 ,
从而 在 上单调递增，所以 ,不合题意.
②若 ,令 得 ，结合 ,解得 ；
令 得 ,结合 ,解得 ,从而 在
上单调递增，在 上单调增减,所以
.令 ,得 ,
即 .因为 ,所以 即为所求.故实数 的值为 .
考点三 函数极值和最值的综合应用（师生共研）
例5 已知函数 .
（1）判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由；
【解】函数 在区间 上为增函数.理由如下：
因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以函数 在区间 上为增函数.
（2）求证：函数 在 内有且只有一个极值点；
证明：设 ,则 ,
当 时， ，所以 在 上为减函数，
又 , ,
所以存在唯一 ，使得 ,
即存在唯一 ,使得 ,
已知函数 .
与 在区间 内的变化情况如下表：

+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
所以函数 在 内有且只有一个极值点.
（3）求函数 在区间 上的最小值.
【解】 由（1）（2）知， 在 内单调递增，在 内单调递减，
又因为 , ,所以当 时， .
又因为当 时， ,
所以 ,
当且仅当 时等号成立，所以 在 上的最小值为 .
已知函数 .
（1）求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.
（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.
（3）求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值.
【对点训练】
(2023·河南开封模拟)已知函数 .
（1）证明： 存在唯一的极值点；
解：证明：由题意得 ， ，显然 在
上单调递增，又 ，
，所以 ，使得 ，
即 ,当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 上存在唯一的极值点.
（2） 为整数， ，求 的最大值.
解： 等价于 ，
由（1）知，
且 .
又因为函数 在 上单调递增，所以 ,所以
，
又因为 ，所以 ，故整数 的最大值为 .
(2023·河南开封模拟)已知函数 .2025年高考数学一轮复习-3.3-导数与函数的极值、最值-专项训练
1
1.函数y=ex-x在x=0处的切线的斜率为(　　)
　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.1
C.2 D.e
2.质点M按规律s(t)=(2t-1)2做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=5 s时的瞬时速度为(　　)
A.16 m/s B.36 m/s
C.64 m/s D.81 m/s
3.已知函数f(x)=2f'(3)x-x2+ln x(f'(x)是f(x)的导函数),则f(1)=(　　)
A.- B.-
C. D.
4.函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线的方程为(　　)
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
5.若曲线y=-在点(0,-1)处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直,则点P的坐标为 (　　)
A.(e,1) B.(1,0)
C.(2,ln 2) D.
6.(多选题)若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线,则(　　)
A.m=-2 B.m=-1
C.n=6 D.n=7
7.曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为　　　　　　　　.
8.已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为.
9.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0.
(1)求a的值.
(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线 如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
2　
1.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则原函数y=f(x)的图象是(　　)
　　　 　　　　　 　　　　　
A B
C D
2.函数f(x)=(x-3)ex的减区间是(　　)
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
3.函数f(x)=ln(4x2-1)的增区间是(　　)
A. B.
C. D.(0,+∞)
4.已知函数f(x)=x3-3mx2+9mx+1在(1,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1) B.[-1,1]
C.[1,3] D.[-1,3]
5.已知函数f(x)=-x2-cos x,则f(x-1)>f(-1)的解集为(　　)
A.(2,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)
6.(多选题)若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间内存在单调递增区间,则实数a的值可以是 (　　)
A.-10 B.-8 C.-6 D.-4
7.若函数f(x)=,则函数f(x)的减区间为.
8.“当a>0时,函数f(x)=4ln x-ax在区间(0,1)上不是单调函数”为真命题的a的一个取值是.
9.已知函数f(x)=ln x+(a∈R).讨论函数f(x)的单调性.
参考答案
1　
1.A　2.B　3.D　4.B　5.D　6.AD
7.2x-y=0　8.x-y-1=0
9.解 (1)由已知得f'(x)=3ax2+6x-6a,∵f'(-1)=0,∴3a-6-6a=0,∴a=-2.
(2)存在.理由如下:
由已知得,直线m恒过点(0,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3+6x0+12).∵g'(x0)=6x0+6,∴切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,
①由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x=-1处,曲线y=f(x)的切线方程为y=-18;在x=2处,曲线y=f(x)的切线方程为y=9.∴曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线方程是y=9.
②由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-11;在x=1处,曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-10.∴曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线方程不是y=12x+9.
综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线方程是y=9,此时k=0.
2　
1.B　2.A　3.A　4.D　5.C　6.CD
7.(1,+∞)　8.5(答案不唯一,只要是大于4的实数即可)
9.解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),求导得f'(x)=
①当4-4a≤0,即a≥1时,f'(x)≤0恒成立,此时f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当即00,解得1-1+此时f(x)在(1-,1+)上单调递增,在(0,1-)和(1+,+∞)上单调递减.
③当即a≤0时,由f'(x)=0,解得x=1+或x=1-(舍去),由f'(x)>0,解得01+,此时f(x)在(0,1+)上单调递增,在(1+,+∞)上单调递减.综上,当a≥1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0当a≤0时,函数f(x)在(0,1+)上单调递增,在(1+,+∞)上单调递减.