北师大高中数学必修第二册1.3弧度制-专项训练【原卷版】
1．给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(2024·福建联考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A．π B．－π
C．π D．－π
3．若α是第二象限角，则( )
A．cos(－α)>0 B．tan >0
C．sin(π＋α)>0 D．cos(π－α)<0
4．平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边上一点P绕原点顺时针旋转到达点Q(3,4)的位置，则sin＝( )
A．－ B．
C．－ D．
5．(2024·淄博模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
6．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A．α＋β＝540° B．α＋β＝360°
C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°
7．(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S1，圆心角为α1，圆面中剩余部分的面积为S2，圆心角为α2，当S1与S2的比值为≈0．618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )
A．α1≈127．5° B．α1≈137．5°
C．α2＝(－1)π D．＝
8．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________．
9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m及sin α的值．
10．在平面直角坐标系中，已知点P(cos t，sin t)，A(2,0)，当t由变化到时，线段AP扫过形成图形的面积等于( )
A．2 B．
C． D．
11．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
12.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段弧上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α答案：
13．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
14．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点p(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sos θ＝，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y＝sos x”，有同学得到以下性质，其中正确的是( )
A．该函数的值域为[－，]
B．该函数的图象关于原点对称
C．该函数的图象关于直线x＝对称
D．该函数为周期函数，且最小正周期为2π
15．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角(正角)为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
北师大高中数学必修第二册1.3弧度制-专项训练【解析版】
1．给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：C ①中－是第三象限角，从而①错．②中＝π＋，则是第三象限角，从而②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．(2024·福建联考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A．π B．－π
C．π D．－π
解析：B 分针每分钟转6°，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为－6°×(2×60＋20)＝－840°，∴－840°×＝－π，故选B．
3．若α是第二象限角，则( )
A．cos(－α)>0 B．tan >0
C．sin(π＋α)>0 D．cos(π－α)<0
解析：B 若α是第二象限角，则cos(－α)＝cos α<0，故A错误；为第一、三象限角，则tan >0，故B正确；sin(π＋α)＝－sin α<0，故C错误；cos(π－α)＝－cos α>0，故D错误．故选B．
4．平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边上一点P绕原点顺时针旋转到达点Q(3,4)的位置，则sin＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：D 依题意可知Q(3,4)在角α－的终边上，所以sin＝＝，故选D．
5．(2024·淄博模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
解析：A ∵<2<3<π<4<，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0．
6．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A．α＋β＝540° B．α＋β＝360°
C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°
解析：AC 假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，由α和β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，又根据终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°，k∈Z，所以满足条件的为A、C．故选A、C．
7．(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S1，圆心角为α1，圆面中剩余部分的面积为S2，圆心角为α2，当S1与S2的比值为≈0．618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )
A．α1≈127．5° B．α1≈137．5°
C．α2＝(－1)π D．＝
解析：BCD 设扇形的半径为R，由＝＝＝，故D正确；由α1＋α2＝2π，所以α2＋α2＝2π，解得α2＝(－1)π，故C正确；由≈0．618，则－1≈1．236，所以α2＝(－1)π≈1．236×180°≈222．5°，所以α1≈360°－222．5°＝137．5°，故B正确．故选B、C、D．
8．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝________．
解析：依题意，得cos α＝＝x<0，由此解得x＝－．
答案：－
9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m及sin α的值．
解：(1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为OM＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±．
又α为第四象限角，故m<0，
所以m＝－，sin α＝＝＝－．
10．在平面直角坐标系中，已知点P(cos t，sin t)，A(2,0)，当t由变化到时，线段AP扫过形成图形的面积等于( )
A．2 B．
C． D．
解析：C 当t＝时，设点P在B处，当t＝时，设点P在C处，如图所示，线段AP扫过形成图形为坐标系中的阴影部分，因为BC∥x轴，所以S△COA＝S△BOA S△COD＝S△BDA，所以线段AP扫过形成图形的面积等于扇形BOC的面积，S扇形BOC＝×12×＝．故选C．
11．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为．
答案：
12.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段弧上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α解析：因为tan α答案：
13．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝．
综上，sin θ＋cos θ＝±．
(2)当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0；
当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin >0．
综上，当a>0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a<0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
14．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点p(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sos θ＝，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y＝sos x”，有同学得到以下性质，其中正确的是( )
A．该函数的值域为[－，]
B．该函数的图象关于原点对称
C．该函数的图象关于直线x＝对称
D．该函数为周期函数，且最小正周期为2π
解析：AD A中，由三角函数的定义可知x0＝rcos x，y0＝rsin x，所以y＝sos x＝＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]，所以是正确的；
B中，y＝sos x＝sin，所以f(0)＝sin＝1≠0，所以函数关于原点对称是错误的；
C中，当x＝时，f＝sin＝sin π＝0≠±，所以图象关于直线x＝对称是错误的；
D中，y＝sos x＝sin，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以是正确的．故选A、D．
15．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角(正角)为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？
解：(1)由题意得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，
∴θ＝(0(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50，
装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，
∴花坛的面积与装饰总费用的比y＝(0令t＝17＋x，则t∈(17,27)，则y＝－≤－ ＝，
当且仅当t＝，即t＝18时，y取得最大值，最大值为，此时x＝1，θ＝．
故当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．(共38张PPT)
§3 弧度制
3.1 弧度概念
3．2 弧度与角度的换算
