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2.4.1 平面向量基本定理
A
D
F
B
E
本节结束感谢观看北师大高中数学必修第二册2.4.1平面向量基本定理-同步练习
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列各组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，1) B．e1＝(1，2)，e2＝(－2，1)
C．e1＝(－3，4)，e2＝(，－) D．e2＝(2，6)，e2＝(－1，－3)
2．已知A(1，3)，B(4，－1)，则与向量共线的单位向量为( )
A．(，)或(－，) B．(，－)或(－，)
C．(－，－)或(，) D．(－，－)或(，)
3．若向量1＝(1，1)，2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝( )
A． B．2 C． D．
4．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋＝( )
A． B．2 C．3 D．4
5．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b C．a－b D．－a＋b
6．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足＝，＝.若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为( )
A．－ B． C．－ D．
7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的条件是( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1
8．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若第四象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－) C．(－1，－) D．(－1，－)
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列结论中正确的是( )
A．0＋0＝0 B．对任一向量a，0∥a
C．对于任意向量a，b，a＋b＝b＋a D．对于任意向量a，b，|a＋b|>0
10．下列四个式子中一定能化简为的是( )
A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋)
C．(＋)－ D．(－)＋
11．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝( )
A． B． C．－ D．－
12．下列结论正确的是( )
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
B．已知直线上有P1，P2，P三点，其中P1(2，－1)，P2(－1，3)，且P1P＝PP2，则点P的坐标为(，)
C．向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为－2或11
D．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且＝x＋y，则x＋y＝1
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则t＝________．
14．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________．
16．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标．
18．(12分)如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上．
19.(12分)已知点A(－1，2)，B(2，8)以及＝，＝－，求点C，D的坐标和的坐标．
20．(12分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
21.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c的值；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N(点N靠近点B)，求.
22．(12分)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求|＋3|的最小值．
参考答案与解析
1．答案：B
解析：A，C，D中向量e1与e2共线，不能作为基底；B中e1，e2不共线，所以可作为一组基底．
2．答案：B
解析：因为A(1，3)，B(4，－1)，
所以向量＝(3，－4)，
所以与向量共线的单位向量为(，－)或(－，).
3．答案：C
解析：F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，|F1＋F2|＝＝.
4．答案：D
解析：因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.
5．答案：B
解析：∵AD为边BC上的中线，
∴＝－＝－，
又BE为边AC上的中线，
∴＝＋＝＋＝＋，
又＝a，＝b，
∴a＝－，b＝＋，
∴＝a＋b.
6．答案：B
解析：由题意，设＝a，＝b，则在平行四边形ABCD中，
因为＝，＝，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且CF＝2DF，
所以＝a＋b，＝a＋b，
又因为＝λ＋μ，且＝－＝b－a，
所以－a＋b＝λ＋μ＝λ(a＋b)＋μ(a＋b)＝(λ＋μ)a＋(λ＋μ)b，
所以，解得，所以λ＋μ＝.
7．答案：D
解析：由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.
8．答案：C
解析：方法一 设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，
又＝＋λ＝(3，1)＋λ(5，7)
＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以即
因为点P在第四象限，所以
解得－1<λ<－.
故所求实数λ的取值范围是(－1，－).
方法二 ＝＋＝＋＋λ
＝＋λ＝(5，4)＋λ(5，7)
＝(5＋5λ，4＋7λ)，
所以P(5＋5λ，4＋7λ).
因为点P在第四象限，所以
解得－1<λ<－.
9．答案：BC
解析：0＋0＝0，A不正确；根据0的规定，B正确；根据向量加法交换律，C正确；a＝－b时，|a＋b|＝0，D不正确．
10．答案：ABD
解析：对于A，(＋)＋＝＋＋＝＋＝；对于B，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝；对于C，(＋)－＝＋＋＝2＋；对于D，(－)＋＝＋＝，故选ABD.
11．答案：BD
解析：a2＝5，b2＝25，且a＋kb与a－kb垂直，∴(a＋kb)(a－kb)＝a2－k2b2＝5－25k2＝0，解得k＝±.故选BD.
12．答案：BCD
解析：对于A，向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，A错误；
对于B，设P(x，y)，由P1P＝PP2，得
(x－2，y＋1)＝(－1－x，3－y)，
则解得B正确；
对于C，＝－＝(k，12)－(4，5)＝(k－4，7)，
＝－＝(k，12)－(10，k)＝(k－10，12－k).
因为A，B，C三点共线，所以∥，所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，
整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11，C正确；
对于D，∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R，使＝λ，∴－＝λ(－)，
∴＝(1－λ)＋λ，
∴x＝1－λ，y＝λ，
∴x＋y＝1，D正确．
13．答案：3
解析：∵＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，||＝1，∴＝1，∴t＝3.
14．答案：－4
解析：以a，b的公共起点为原点建立平面直角坐标系如图，
则a＝(2，2)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3).
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
即(－1，－3)＝λ(2，2)＋μ(6，2)＝(2λ＋6μ，2λ＋2μ)，
∴解得
∴＝＝－4.
15．答案：
解析：以D为原点，DC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设AB＝1，则D(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1).＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，
∵＝λ＋μ，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴解得
16．答案：2 (0，4)
解析：因为－＋＝＋＋＝，
又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.
又因为＝＋，且在菱形ABCD中，||＝2，
所以|||－|||<||＝|＋|<||＋||，即0<||<4.
17．解析：(1)证明：＝(3，2)－(2，1)＝(1，1)，|AB|＝＝；＝(－1，4)－(3，2)＝(－4，2)，|BD|＝＝；＝(－1，4)－(2，1)＝(－3，3)，|AD|＝＝.
由于AB2＋AD2＝BD2，∴AB⊥AD.
(2)设矩形ABCD的顶点C(x，y)，
则＝，即(1，1)＝(x＋1，y－4)，
∴∴
即点C的坐标为(0，5).
18．证明：设＝m，＝n，由＝＝，
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋＝(m＋n)－m
＝m＋n.
∴＝，∴∥，
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
19．解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，
＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6).
因为＝，＝－，
所以有和
解得和
所以点C，D的坐标分别是(0，4)，(－2，0)，
从而＝(－2，－4).
20．解析：(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝，
∴
解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).
21．解析：(1)∵A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝a，＝b，＝c，
∴a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)，
∴3a＋b－3c＝3×(5，－5)＋(－6，－3)－3×(1，8)＝(6，－42)，
(2)mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴，解得.
(3)∵线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N(点N靠近点B)，
∴＝＝(，－)，＝＝(－2，－1)，
∴M点坐标为(，)，N点坐标为(1，－2)，∴＝(，－).
22．解析：以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x(0≤x≤a)，
∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，
＝(2，－x)，＝(1，a－x)，
∴＋3＝(5，3a－4x)，
|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，
当x＝时取等号．
∴|＋3|的最小值为5.
