七年级数学上册1.5 有理数的乘除 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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1.5 有理数的乘除 导学案
（一）学习目标：
1.让学生理解和掌握有理数的乘除法法则。
2.提高学生运用有理数乘除法法则进行计算的能力。
3.培养学生的数学思维能力和推理能力。
（二）学习重难点：
学重点:理解和掌握有理数的乘除法法则。
难点:运用有理数乘除法法则进行实际计算。
阅读课本，识记知识：
1.有理数的乘法
（1）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘仍得0.
（2）有理数乘法法则的推广：
①几个数相乘，有一个因数为0，积为0.
②几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；负因数有奇数个，积为负；负因数为偶数个，积为正；积的绝对值等于各因数绝对值的积。
2.倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数。倒数的求法：若，则的倒数是；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。
3.有理数的乘法运算律：
（1）乘法的交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变（）；
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。
（3）乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
4.有理数的除法法则
（1）有理数的除法法则1：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意一个不为0的数仍得0.
5.有理数的乘除混合运算
（1）方法：有理数的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后将绝对值相乘得出结果。
（2）运算顺序：对于连除或乘除混合运算问题，可以按从左到右的顺序依次进行计算，也可以直接把除法转化为乘法来计算。
6.有理数的四则混合运算顺序：对于含有加、减、乘、除的有理数的混合运算顺序是：如果没有括号，应先做乘除法运算，后作加减法运算；如果有括号，则先进行括号内的运算，再做其他运算。
【例1】若，，，且，则与的值是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质和已知条件即可求出与的值．
【详解】解：，，
，，
，
，．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘法，解题的关键在于根据两数之积判断出和的正负性．
【例2】 某班有男生25人，女生18人，下面说法正确的是( )
A．至少有2名男生是在同一个月出生的
B．至少有2名女生是在同一个月出生的
C．全班至少有5个人是在同一个月出生的
D．以上选项都有误
【答案】B
【分析】一年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，把男女生的人数看做元素，由此利用抽屉原理逐项即可解答．
【详解】解：A：（人人
（人
即，至少有3名男生的生日在同一个月．
所以，题干说法错误．
B：（人（人
（人
即，至少有2名女生的生日在同一个月，
所以，题干说法正确．
C：（人
（人人
（人
即全班至少有4人在同一个月过生日，
所以，题干说法错误．
D：因为在选项AC说法错误，选项B说法正确，
所以，题干“以上说法都有误”说法错误．
故选：B．
【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数．
选择题
1.蜗牛前进的速度每秒只有毫米，恰好是某人步行速度的分之一，那么此人步行的速度大约是每小时（　　）
A．9公里 B．公里 C．米 D．米
2．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列结论中成立的是　　
A．，是一对均不等于0的相反数
B．，互为倒数
C．或
D．且
4．计算的值为（　　）
A．1 B．36 C．﹣1 D．0
5．对于下面两个等式①，②，下列说法正确的是（ ）
A．①表示加法交换律 B．②表示乘法结合律
C．①表示加法结合律 D．②表示乘法交换律
6.6．把一根木头锯成段，若每次锯的时间都相等，那么锯完每一段的时间是锯完这根木头所用时间的(　　)
A． B． C． D．
7．天干地支纪年法源于中国，是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支，如表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2014年，尾数4为甲，2014除以12余数为10，10为午，那么2014年就是甲午年．则2023年是( )
A．甲卯年 B．甲寅年 C．癸卯年 D．癸寅年
8．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．已知a，b，c，d都是负数，且，则的值（　　）
A．负数 B．0 C．正数 D．负数或0
10．老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下，自己负责的那一步错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
填空题
11．计算： ．
12.一个比例中，两内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是 ．
13．用简便方法计算： ．
14．若“!”是一种数学运算符号，并且，，，…，则
15．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以所得的商记为．例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数，新两位数与原两位数的和为，和除以的商为，所以．计算： ．
三、解答题
16．简便计算
(1)
(2)
17.计算：
18.A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.B
【分析】蜗牛与人的速度单位不一样，先化为统一单位，再计算人步行的速度．
【详解】解：∵蜗牛前进的速度每秒只有毫米，
∴每小时前进毫米米．
此人步行的速度大约是每小时米公里．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数运算的应用，解答此题的关键是计算出蜗牛每小时前进的速度，再计算出此人步行的速度．
2．C
【分析】根据倒数的定义，相乘等于1的两个数互为倒数．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
3．A
【详解】根据倒数和相反数的定义判断即可．
【分析】解：，
，，
，是一对均不等于0的相反数，
故选：A．
【点睛】本题考查了倒数和相反数的定义，熟练掌握倒数和相反数的定义是解题的关键．
4．C
【分析】先去绝对值，再将带分数化成假分数，然后运用乘法结合律进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了去绝对值、乘法结合律等知识点，灵活运用乘法结合律是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据加法结合律、交换律，乘法交换律、结合律分析判断即可求解．
【详解】解：①表示加法结合律，
②表示乘法交换律与乘法结合律，
故选：C．
【点睛】本题考查了加法结合律、交换律，乘法交换律、结合律，熟练掌握有理数的运算律是解题的关键．
6．C
【分析】根据把一根木头锯成段，要锯6次，进而即可求解．
【详解】解：次，
，
答：锯完每一段的时间是锯完这根木头所用时间的．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键．
7．C
【分析】先用2023的尾数3查出天干，再用2023除以12的余数查出地支即可．
【详解】解：2023年，尾数3为癸，2023除以12余数为7，7为卯，那么2023年就是癸卯年，
故选：C．
【点睛】本题是考查了推理，读懂天干地支的算法是解决本题的关键．
8．C
【分析】根据有理数的乘除混合运算，进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
9．C
【分析】先根据绝对值的非负性可得，从而可得，，，，再根据有理数的乘除法法则即可得．
【详解】解：，
，
，，，，
都是负数，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的乘除法法则，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．
10．A
【分析】根据乘除的混合运算，按照从左到右的顺序进行计算，先将除法转化为乘法计算，即可求解．
【详解】解：
，
∴甲负责的那一步错误了，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握运算顺序是解题的关键．
11.
【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，熟记有理数的乘法的运算法则是解本题的关键．
12.
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：设另一个外项是x，
∵两内项互为倒数，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积．
13．
【分析】根据乘法分配律，可得答案．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，把式子转化成乘法分配律的形式是解题关键．
14．10100
【分析】根据题意，得到，，相除即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知，，，
所以，，
故答案为：10100．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法，正确理解题干所给的新运算法则是解题关键．
15．7
【分析】根据相异数的定义，可知的相异数是34，
【详解】
故答案7．
【点睛】考查一元一次方程的应用，新定义问题的求解等知识，理解“相异数”是正确解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数的乘方运算律求解即可；
（2）根据有理数的乘方运算律求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了有理数的乘方运算律，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方运算律．
17.
【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．
18．4次
【分析】画出图形如图，根据图形分析得乙的速度是甲的9倍，甲走完全程共需800分钟，进而可得从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，因此，追及时间也变为200分钟，则可求得追上的次数．
【详解】解：画出图形如下：

由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在（分钟）内所走的路程恰等于线段的长度再加上线段的长度，即等于甲在分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍，则的长为的9倍，所以，甲从A到B，共需走（分钟），乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，因此，追及时间也变为200分钟，所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．
所以当甲到达B地时，乙追上甲4次．
【点睛】本题考查了追及问题，画出图形正确分析，得出从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，追及时间也相同，是解题的关键．
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