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1.6 有理数的乘方 导学案
(一)学习目标:
1.学生能够理解有理数乘方的概念,掌握正整数次幂、零次幂和负整数次幂的计算方法,特别是负数的乘方运算。
2. 通过观察、归纳、验证等数学活动,培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力,学会运用乘方的性质解决实际问题。
3.激发学生对数学的兴趣,增强解决问题的自信心,体验数学的规律之美。
(二)学习重难点:
重点:正整数次幂、零次幂和负整数次幂的计算规则。
难点:负数的乘方运算及幂的性质的理解与应用。
阅读课本,识记知识:
1.有理数的乘方:求个相同因数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果为幂。
表示个相同的因数相乘,记作,即:,中,叫作底数,叫作指数。
一个数可以看作这个数本身的1次方。
2.有理数的乘方运算法则:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0.
3.有理数混合运算的顺序:先乘方,再乘除,后加减;同级运算,按从左到右的顺序进行;如果有括号,先算括号里的运算(括号里的运算顺序是:先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的。)
【例1】若一个算式中,是底数,4是指数,则这个算式是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据中,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数,去列式即可.
【详解】解:是底数,4是指数,这个算式是.
故选:B.
【点睛】本题考查了幂的构造,底数,指数,正确理解幂的意义是解题的关键.
【例2】 如图所示的运算程序中,若开始输入x的值为3,则第2023次输出的结果是( )
A.﹣4 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣6
【答案】B
【分析】根据题目所给出的运算程序进行计算得出规律即可.
【详解】解:输入,
是奇数,
∴输出.
输入,
是偶数,
∴输出.
输入,
是奇数,
∴输出.
输入,
是偶数,
∴输出.
输入,
是奇数,
∴输出.
输入,
是偶数,
∴输出.
输入,
是偶数,
∴输出.
输入,
是偶数,
∴输出.
输入,
是奇数,
∴输出
依次类推,除去第一次输入,输出分别以循环.
.
故第次输出的结果是.
故选:B.
【点睛】本题考查了流程图与有理数的运算,熟练掌握有理数的相关运算法则,根据运算结果得出数字的变化规律是解本题的关键.
选择题
1.下列说法正确的是( )
A.-25的底数是-2 B.-110读作“负1的10次幂”
C.(-3)3与-33意义相同 D.(-1)2 017=-12 017
2.下列算式正确的是( )
A. B. C. D.
3.若是负数,则下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列各数为负数的是( )
A. B. C. D.
5.下列计算结果最小的是( )
A.-(-2)2 B.(-2)2 C. D.-
6.下列各对数中,运算后结果相等的是( )
A.23和32 B.(-2)3与-23 C.(-3)2与-32 D.-
7.计算(-2)2的结果是( )
A.4 B.-4 C.1 D.-1
8.使用科学计算器按下图按键顺序输入,则它表达的算式的计算结果是( )
A. B. C. D.
9.下列计算正确的是( )
A.14-22÷10=10÷10=1 B.2×52=(2×5)2=102=100
C.3÷×2=3÷1=3 D.-23÷×=-8
10.定义一种新运算:,如,则的结果为( )
A. B. C. D.
填空题
11. 在数-6,2,-5,+4中任取两个数相乘,所得的积中最大值记为a,最小值记为b,则ab= .
12. 将写成乘方的形式为 ,其中底数是 ,指数是 .
13.按照如图所示的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值是 .
14.22+22+22+22=2m,则m= .
15.为了求的值,可令,则,因此,所以.仿照以上方法计算的值是 .
三、解答题
16.计算题:
(1)
(2)
(3)
(4)
17.某校七年级(1)班的“数学晚会”上,有8个同学藏在8个大盾牌后面,男同学的盾牌前面写的是一个正数,女同学的盾牌前面写的是一个负数,这8个盾牌如图所示.
(-30)31 |-8| (-1)2 014
-210 4×(-2) (-2)3
请说出盾牌后面男、女同学各有多少人.
18.某公路检修组乘汽车沿笔直的东西走向的公路检修,约定向东为正,向西为负,某天检测组从A地出发到收工时所走的路程为:,,,,,,.(单位:千米)
(1)问收工时检测组位于A地东方还是西方?距A地多远?
(2)若检修组最后回到A地,且每千米耗油升,问共耗油多少升?
(一)课后反思:
本节课我学会了:
本节课存在的问题:
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
B
【分析】-43=-(4×4×4),所以-43表示3个4相乘的相反数.故选B.
2.D
【分析】根据绝对值的定义、有理数的乘除法则、有理数的乘方法则逐项判断即可.
【详解】A、,该选项不符合题意;
B、,该选项不符合题意;
C、,该选项不符合题意;
D、计算正确,该选项符合题意.
故选:D.
【点睛】本题主要考查绝对值的定义、有理数的乘除法则、有理数的乘方法则,牢记绝对值的定义、有理数的乘除法则、有理数的乘方法则是解题的关键.
3.D
【分析】根据乘方的定义即可依次判断.
【详解】解:A、是负数,则,不符合题意;
B、是负数,则,不符合题意;
C、是负数,则,不符合题意;
D、,不符合题意;
故选:D.
【点睛】本题主要考查了有理数乘方,解题的关键是熟知乘方的运算法则.
4.B
【分析】根据绝对值的意义,乘方的运算法则,相反数的性质对各项判断即可.
【详解】解:∵,故项不符合题意;
∵,故项符合题意;
∵,故不符合题意;
∵,故不符合题意.
故选.
【点睛】本题考查了绝对值的意义,乘方的运算法则,相反数的性质等相关知识点,熟记对应性质的是解题的关键.
A
【分析】-(-2)2=-4,(-2)2=4,=,-=-,-4<-<<4,故选A.
B
【分析】因为23=8,32=9,所以23≠32,故A不符合题意.因为(-2)3=-8,-23=-8,所以(-2)3=-23,故B符合题意.因为(-3)2=9,-32=-9,所以(-3)2≠-32,故C不符合题意.因为-=-,=,所以-≠,故D不符合题意.故选B.
A
【分析】(-2)2=(-2)×(-2)=4,故选A.
8.D
【分析】根据计算器的使用方法,结合各项进行判断即可.
【详解】解:按下列按键顺序输入:
则它表达的算式是,
故选:D.
【点睛】此题主要考查了计算器的应用,根据有理数的输入方法正确输入数据是解题关键.
D
【分析】14-22÷10=14-4÷10=14-0.4=13.6,A选项计算错误;2×52=2×25=50,B选项计算错误;3÷×2=6×2=12,C选项计算错误;-23÷×=-8÷×=-8××=-8,D选项计算正确.故选D.
10.B
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值
【详解】解:原式
,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了新定义运算,解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则,准确计算.
11.-720
解析 根据题意可得a=(-6)×(-5)=30,b=(-6)×4=-24,则ab=30×(-24)=-720.
12. ;-;4
解析 由乘方的意义可知,四个-相乘可以写成,其中相乘的因数是底数,即-是底数,相乘的次数是指数,即4是指数.
13.2
解析 22×3-10=12-10=2.
14.4
解析 因为22+22+22+22=4+4+4+4=4×4=16=24,所以m=4.
15.
【分析】根据题目所给计算方法,令,再两边同时乘以5,求出,用,求出的值,进而求出的值.
【详解】解:令,
则,
,即,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查了数字的变化规律,有理数的混合运算,解答的关键是理解清楚题中的解答方式并运用.
16.(1)
(2)0
(3)0
(4)
【分析】(1)先化简符号,再算加减法;
(2)先算乘方和括号内的,再算乘法,最后计算加减法;
(3)利用乘法分配律展开计算;
(4)先算乘方,再算乘除,最后计算加减.
【详解】(1)解:
;
(2)
;
(3)
;
(4)
.
【点睛】此题考查了有理数的混合运算,有理数的混合运算首先弄清运算顺序,先乘方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里边的,同级运算从左到右依次进行计算,然后利用各种运算法则计算,有时利用运算律来简化运算.
17.解析 计算结果为正数的有,|-8|,(-1)2 014,,计算结果为负数的有(-30)31,-210,4×(-2),(-2)3,
所以有4个男同学,4个女同学.
18.(1)位于A地东方,距A地11千米
(2)升
【分析】(1)约定向东为正,向西为负,依题意列式求出和即可;
(2)用所走的总路程,乘以单位耗油量,即可得解.
【详解】(1)解:千米,
∴收工时检测组位于A地东方,距A地11千米;
(2)由题意可得:
升,
∴共耗油升.
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算,以及正数与负数,弄清题意是解本题的关键.正负数是表示相反意义的量,如果规定一个量为正,则与它相反的量一定为负.
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