椭圆及其标准方程
授课人：胡勤
一、教学目标：
1.知识与技能目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，领会椭圆标准方程的推导方法．
2.过程与方法目标：经历椭圆定义的探究过程和标准方程的推导过程，理解椭圆的定义，掌握推导方程的基本方法，体会类比和数形结合的基本思想．
3.情感态度与价值观目标：以探究问题为中心，感受椭圆定义及标准方程，体会数学的对称美与简洁美，形成学生学习数学知识的积极态度．
二、教学重点、难点：
1.重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程.
2.难点：椭圆标准方程的推导.
三、教学辅助手段：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．
四、教学方法：启发式和探究式
五、教学程序及设计：
教学环节
教学程序及设计
设计意图
创
设情
境
给出椭圆的一些实例：神州七号运行轨迹，生活中的椭圆图片等
借助多媒体形成生动的直观图象，吸引学生的注意力，提高参与程度，为后续学习做好准备.
动手试验
2、学生动手试验：
1．学生分组试验，讨论概括椭圆上的点满足什么条件
2．动画演示椭圆形成过程.
注重概念形成过程.通过让学生亲自动手，分组讨论，从感性认识自然过渡到理性认识，培养学生的观察、归纳、概括能力.
概念透析
3．归纳，形成概念
定义：到平面内两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
定点F1、F2称为椭圆的焦点.F1、F2间的距离|F1F2|称为焦距.
问：为什么常数要大于|F1F2|？
在给出定义后，通过设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延.
椭圆
标准
方程
的推导
4．椭圆的标准方程的推导
（1）回顾：求圆的方程的基本步骤
（由学生回答，不正确的教师给予纠正）
（2）如何选取坐标系？(讨论)
（3）方程的推导
建系:以过F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系.
设点:设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距│F1F2│为2c（c>0）、正常数为2，则F1（-c,0）、F2（c,0）
列式:根据椭圆的定义可得：│MF1│+│MF2│=2
化简:（想一想：下面怎样化简？）
学生在下面进行运算，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生叙述自己的推导过程．
该方程叫做椭圆的标准方程,它表示的椭圆焦点在X轴上，
且F1(-c,0)、F2(c,0).
类比:若以过F1、F2的直线为Ｙ轴，线段F1F2的垂直平分线为Ｘ轴，建立平面直角坐标系.则椭圆的标准方程为:
.
讨论思考:已知椭圆的标准方程,如何判断焦点的位置?
学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，体会数学的对称美.
让学生参与到问题的解答中，体验方程推导的全过程，培养运算能力.
体现对称的思想及数学的美感.
学生运用类比的方法，大胆猜想出方程.对学生观察、归纳能力的训练.
尝试应用
下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，请确定a,b,c的值，并判断它的焦点在哪个坐标轴上？
注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然.
写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；
变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？
变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？
（学生直接抢答）
通过练习来强化理解，深化知识点的掌握，突出重点、难点 .
开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性.
谈谈收获
椭圆定义
图形
标准方程
焦点坐标
的关系
焦点位置的判断
以表格的形式更利于两种类型的椭圆方程的比较，强化概念.
布
置作
业
1.基础题：课本68页习题3.1A组第2题、第3题.
2.探究与拓展：查找神州七号的相关资料,深入了解其飞行原理.
3.课后反思与体验：
(1)本节课我学习了哪些知识，是用什么方法学会的.
(2)通过上述的回顾评价一下自己本节课的表现.
注重学习方法、情感、态度、价值观的小结
六、板书设计：
§3.1椭圆及其标准方程
一、椭圆的定义：
二、标准方程：
焦点在X轴：
焦点在Y轴：
三、例题讲解
椭圆及其标准方程的教学反思
一.教材内容分析
本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
二．学情分析
高二的学生思维活跃勇于探索，初步具备了用旧知识解决新问题的能力。但由于普通中学的学生基础较差，思维能力较弱，导致自信心较弱，因此克服困难的勇气和毅力也较弱。而且对应用“坐标法”和“数形结合思想方法”只是初步了解，对“坐标法”解决问题掌握不够，对“数形结合思想方法”理解不够透彻，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍,同时在求椭圆标准方程时，学生对根式方程的化简有一定的难度，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。因此，在教学过程中教师必须进行细致的启发和引导，从而激发学生的学习兴趣，充分发挥其主观能动性，才能达到预期的教学目的.
三.教后感
本节课按新课标的要求创设情境激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性；在新知的讲解中紧扣关键词易错点，设置不同的疑问，通过师生共同探究，逐个完成对各个易错点的突破；例题的讲解中，鼓励学生主体参与，采取到黑板书写，既能培养学生的反应能力又能训练了学生书写以及正规答题格式。课题的引入以及例题均采用投影仪、多媒体等现代教学手段，加大课堂容量和教学直观性。
在学习方法上主要使学生能很好的做到数形结合，启发他们利用已学的知识迁移到新知中，如椭圆定义的数学语言叙述，以及标准方程的推导。通过实验研究细心观察、认真分析、学会归纳、抽象的能力和语言表达能力，从而让学生的数学的能力完成不同层次的提升。
本节课椭圆定义的形成过程十分重要，实际教学中学生很难做到能用精确的数学语言来描述椭圆定义，或许正是这种不完整的描述引来的一些易错点会加深学生印象。在推导标准方程时，教材是对式子进行了有理化之后与原式相加达到化简的目的。实际上对含有两个根式的代数式的化简一般采取将一个根式保留在等号一边然后两边平方的方法，这种方法更具有一般性（学生对此运算技巧不熟悉，而且运算能力不高），而教材中的方法则充分利用了代数式的对称性，化简中的运算量较小，但从对含两个根式的代数式化简的方法来看不具有一般性，具有较强的技巧性.大多数学生在对方程进行化简时会采取两边平方的方法，在教学中应充分展示学生的不同方法，并注意引导学生对不同方法进行比较，点评，提高学生代数运算的能力.同时求轨迹方程的验证一项教材是以小字形式出现，对初学圆锥曲线的学生理解难度较大，在课堂不要做太多要求，要合理的处理。
本节课的不足之处：课堂容量较大，从而导致学生归纳总结这个环节较仓促。因此今后要合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效率。一部分学生的计算能力还不够熟练，缺乏简化计算的能力，今后还要继续加强对学生这方面能力的培养。
总之，本节课我将自己的想法融入课件之中，展示知识的形成过程，并通过学生的自主探究，使其感受到获得知识的乐趣。在以后的教学中，我要不断的努力，不断总结经验，提高自己的教学水平。
课件21张PPT。椭圆及其标准方程安徽省阜阳市 城郊中学 授课人:胡勤生活图片数 学 实 验通过图片已经知道了椭圆的形状，能否动手画一个椭圆呢？
先回忆圆的画法：平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆.如果把这一个定点分裂成两个定点，会画出什么图形呢？ 探究：椭圆有什么几何特征？活动：动手试一试根据刚才的实验请同学们回答下面
几个问题：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？数 学 观 察1、椭圆的定义：M 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常
数（大于|F1F2|）的点的集合叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。求曲线方程的一般步骤？设点建系列几何关系式代坐标化简证明? 探讨建立平面直角坐标系的方案方案一2、椭圆的标准方程：3.建立模型，得出方程 1.如何建立直角坐标系？2.怎样设点的坐标？3.如何列式？类比圆椭圆的方程是什么？列式：3.建立模型，得出方程 4.怎样化简？可化简得：3.建立模型，得出方程 焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程：椭圆的标准方程的特征：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式
的平方和，右边是1;（3）椭圆的标准方程中a、b、c满足a2=b2+c2（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，
则焦点在哪一个轴上;数 学 归 纳活动一：下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，请确定a,b,c的值，
并判断它的焦点在哪个坐标轴上？ 4.应用拓展，提高能力 活动二：写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点的坐标分别是（4,0）（-4，0），椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；
变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如 何？
变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？
（学生直接抢答） 定 义图 形方 程焦 点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间
的关系a2=b2+c2|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)椭圆的标准方程求法：一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值.一、二、二、三一个概念；二个方程；三个意识：求美意识，
求简意识，
猜想的意识。小结三个方法：作业习题 2.2 2 、 3、 4P68 练习 1 、2、4
