人教版八年级上册数学第十二章全等三角形证明题训练（含解析）

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人教版八年级上册数学第十二章 全等三角形证明题训练
1．如图，已知：在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，．求证：
(1)
(2)
2．如图，四边形，点E，F在边上，满足，，．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
3．如图，已知，，为的中点，过作一条直线分别与，交于点，，点，在直线上，且．
(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；
(2)求证：．
4．如图，已知分别交于点M、N．试说明
(1)
(2)
5．如图，D是的边上一点，，交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
6．如图，在四边形，，，．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出的长．
7．如图，在中，为边上一点，于点，于点，．
(1)求证：平分；
(2)若，，，则的长为 ．
8．如图，B、C、E三点在同一条直线上，
(1)求证：
(2)若,求的度数．
9．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为．
(1)如果， 求的度数；
(2)判断和是否全等．请说明理由．
10．如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结．
(1)求∠的度数．
(2)求证：．
11．如图，已知点A在上，，

(1)试说明：；
(2)若，，求的长
12．如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G．
(1)求证：；
(2)求证：．
13．如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F．
(1)求证：
(2)若，求的度数．
14．如图，在中，，，垂足为，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的面积．
15．如图，点，在线段上，，，，试说明：
(1)；
(2)．
16．如图，于E，于F，若．

(1)求证：平分；
(2)已知，求的长．
17．在中，平分于．
(1)求证：；
(2)求的长．
18．在中，和的角平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
19．如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
20．如图，在中，，点D是边上一点，，且，与交于点G，过点E作交于点F，交于点H．

(1)求证：；
(2)若，求的值．
21．如图，在和中，
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
22．如图，在中，，，于点，于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
23．如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
24．如图，在中，，于点D，，且，过C作．
(1)求证：；
(2)求证：．
25．如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．

(1)求证：；
(2)连接，求证：．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、平行线的判定与性质，找出的条件是解题的关键．
（1）先证明全等于，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）依据全等三角形的性质得到，最后依据平行线的判定定理进行证明即可．
【详解】（1）证明：，
．
，
．
在和中
，
．
．
（2）证明：，
，
．
2．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握其判定和性质是解题的关键．
（1）根据，可得，结合，，即可证明；
（2）根据可得，，结合，即可证明，由此可得．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在和中，
，
，
．
3．(1)；，，，
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键．
（1）结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形；
（2）先证明，即可证明．
【详解】（1）解：有对全等三角形，分别为：
，，，，
（2）证明：，，，
，
，
即，
为的中点，
，
又，
，
，，
，，，
，
，
，，
，
即，
又，
，
．
4．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质去证明三角形全等．
（1）利用证明即可；
（2）根据，得到，再利用证明，即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
在和中，
，
，
．
5．(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，
（1）由平行线的性质可得，，再利用“”证明即可；
（2）由（1）可得，，即可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴．
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴．
6．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）证明即可求证；
（）由可得，进而得到，再根据（）的结论即可求解；
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
7．(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）连接，证明，得，再利用角平分线的性质即可解决问题；
（2）结合（1），根据，代入值计算即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
于点，于点，
平分；
（2）解：，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：4．
8．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得是解题的关键．
（1）根据平行线求出，再说明，最后结合运用即可证明结论；
（2）根据全等三角形性质得出，进而根据平角定义即可解答．
【详解】（1）证明∶ ∵，
∴ ，
∵，
∴，
∵ ，
∴．
（2）解：∵ ，
∵，
∴，
∴ ．
9．(1)
(2)，理由见详解
【分析】（1）由长方形的性质得，，则可得．再由折叠的性质得，则可得．在中，根据三角形内角和定理即可求出的度数．
（2）由长方形的性质和折叠的性质可得，，，根据即可证明．
【详解】（1）解：∵四边形是长方形，
，，
∴，
，
，
，
由折叠知，
，
在中，．
（2）解：，理由如下：
∵四边形是长方形，
，，
由折叠知，，，
，，，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、折叠的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．(1)115°
(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质；
（1）根据得出，进而根据三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】（1）解：．
．
，
；
（2）证明：在中，，，
．
．
在和中，
，
，
．
11．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
又∵，
∴．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形性质和判定，补角定义，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）首先利用角平分线的性质可得，然后再利用“”判定即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据等角的补角相等可得，再证明，即可证明．
【详解】（1）证明：是的平分线，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，，，
，
．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，
（1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案.
【详解】（1）证明：∵是腰上的高，，
∴.
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵是等腰三角形，
∴.
∵是的外角，
∴，
∴．
14．(1)；
(2)．
【分析】（）根据垂直的定义得，由直角三角形两锐角互余可得，又角度和差可得，最后根据角平分线的定义即可求解；
（）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得，再由三角形面积公式即可求解；
本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义和两角和差，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵ 平分，
∴；
（2）过点作，垂足为，
∵平分，， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定：
（1）利用证明即可；
（2）根据，推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：因为，
所以．
因为，
所以
即．
因为．
所以
（2）由（1）知；
所以．
因为，
所以．
所以．
16．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定：
（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线的判定定理，即可求证；
（2）根据得出，再由线段的和差关系求出答案，即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）解：在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质；
（1）根据角平分线的性质可得，再由“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，平分，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
18．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解；
（）在上截取，连接，证明，，再根据性质即可求证；
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由为中点得，然后用“”证明即可；
（）由，得， 三角形的内角和得，最后由平行线的性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定，垂直的定义，四边形内角和，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）利用平行线性质得到，利用垂直的定义得到，即可证明；
（2）利用平行线性质得到，在利用四边形内角和得到，即可解题．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，，
．
21．(1)证明见解析；
(2)4cm．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，对于（1），先证明，可得，即可得出答案；
对于（2），先根据“全等三角形的对应边相等”得，再说明，然后根据全等三角形的性质可得答案.
【详解】（1）在和中
∵
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴.
∵，
∴，
∴
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用证明是解此题的关键．
（1）证明出，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）证明，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵，
∴
，
∴
∵
（2）证明：∵，
∴
平分，，
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）证明，即可得到结论；
（2）先证明，再证明即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证；
（2）通过证明即可．
【详解】（1）作，垂足为点

平分，，（已知）
（在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等）
平分，，（已知）
（在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等）
（等量代换）
（2），（已知）
，（垂直的意义）
在和中，
（全等三角形对应角相等）
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