人教版八年级上册数学第十三章轴对称单元试题（含解析）

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人教版八年级上册数学第十三章 轴对称单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点E，作射线，连接，以下说法错误的是（ ）
A．证明射线是角平分线的依据是 B．垂直平分
C．点E到的距离相等 D．是等腰三角形
2．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点与点关于x轴对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，；点C，D，E在的延长线上，且，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是等边三角形，过边上的点D作的垂线交于点E，作交于点F，作交于点G，，相交于点M．若，，则的长为（ ）
A．7 B． C．8 D．
7．如图，在中，，，，若点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，设、分别从点、同时出发，运动的时间为时，是直角三角形（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积是12平方单位，腰的垂直平分线交于，交于，若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
9．如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点．以下几个结论：①；②；③；④，⑤，恒成立的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．在等腰中，，，为直线上一个动点，当时，则的度数为 ．
12．如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．

13．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ．
14．如图，已知等边中，，，连接并延长，交的延长线于点，则的度数 ．
15．如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ．
16．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为，则的周长是 ．
17．如图，已知平分，平分且过点O，设，则的周长是 ．
18．如图，中，，，点D在AC上，，将线段沿方向平移得到线段，点E，F分别落在，上，则的周长为 ．
19．如图是屋架设计图的一部分，点 D是的中点，，，, 则 ．
20．如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ．
三、解答题（共60分）
21．如图，是等腰三角形底边上的高线，，交于点，求证： 是等腰三角形．
证明：∵，
∴______（等腰三角形________）
∵，
∴ ____（__________）
______ ______（等量代换）
（在同一个三角形中，________）
即是等腰三角形．
22．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
23．如图，在中，平分平分，过点O作的平行线分别交于点M、N．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
24．在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，三点在格点上．
(1)作出关于轴对称的：
(2)作出向下平移5个单位长度后得到的；
(3)的面积为__________（直接填写结果）．
25．如图，，，，，垂足分别为、．
(1)若，，求的长；
(2)若，求的度数．
26．如图：等边三角形中，、分别是、边上的点，，与相交于点，，是射线上的动点．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若为直角三角形，求的值．
27．如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点．
(1)①若，求的度数；
②若，则__________°（用含的代数式表示）；
(2)若，则的周长为__________．
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参考答案：
1．A
【分析】根据作图得到，判断D正确；根据角平分线的性质得：点到、的距离相等，判断C正确；根据作图不能得出垂直平分，判断B正确；连接、，根据作图得到、，利用证得从而证明得到射线平分，判断A错误．
【详解】解：根据作图得到，
是等腰三角形，故选项D正确；
根据作图可知：是的平分线，
点到、的距离相等，故选项C正确；
连接、，
，，
是的垂直平分线，故选项B正确；
根据作图得到、．
在与中，
，
，
，即射线是的平分线，故选项A错误；
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质， 平行线的性质是解题的关键．
根据折叠的性质可得，从而得到，再由平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，，
∴，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴．
故选：D．
3．A
【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案．
【详解】解：点E和点F分别是点D关于和的对称点，
，
，
，
，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征，根据“关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”即可解答．
【详解】解：∵点与点N关于x轴对称，
∴点N的坐标为，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，先求解，再求解，再进一步求解即可；
【详解】解： ∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
6．A
【分析】如图所示，过点M作于H，先证明，由含30度角的直角三角形的性质求出，进而求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点M作于H，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了含度角的直角三角形，分两种情况讨论是解题的关键．先利用含度角的直角三角形性质可得，，然后设运动时间为秒，根据题意可得：，，从而可得，最后分两种情况：当时；当时；分别进行计算即可解答．
【详解】解：，，，
，，
设运动时间为秒，
由题意得：，，
，
分两种情况：
当时，如图：
，
，
，
解得：；
当时，如图：
，
，
解得：；
综上所述：运动的时间为或时，是直角三角形，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故选：C
9．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
垂直平分，
，
平分，，，
，
在和中
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，，
．
故选：A．
10．D
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定与性质，只要证明，可推知；由得，加之，得到，可知②，③正确；利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确；利用等边三角形性质可得，从而得到，可知⑤正确．
【详解】解：三角形和三角形都是正三角形，
，
∴
，
，
，
，故①正确；
又，
，
，故②，③正确；
，
，
，
，故④正确；
，
，
，
综上所述正确的结论有：①②③④⑤，共5个，
故选：D．
11．或
【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是分情况讨论；
由等腰三角形的性质得到，当在上时，由等腰三角形的性质求出，从而求解；当在的延长线上时，由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出，从而求的度数即可求解；
【详解】解：如图：
，，
，
当在上，即点位置时，
，
，
，
当在的延长线上，即点位置时，
，
，
，
，
，
的度数为或，
故答案为：或
12．4
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
的周长是，
，即，
的周长是，
，
，
．
故答案为：4
13．40
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质与判定，先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出，再由于点可得出的度数，进而得出的度数，由线段垂直平分线的性质可得出，据此可得出结论．
【详解】解：在中，，，
．
，
，
，
．
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：40．
14．/度
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由是等边三角形，则，，又，则，再根据等边对等角得，最后由三角形外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．9
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形．
由线段垂直平分线的性质得到，由补角的性质推出，由证明，得到，，又，推出，得到，求出，即可得到．
【详解】解：过作交延长线于，连接，
于点，且，
，
，，
，
于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：9．
16．14
【分析】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可．
【详解】解：∵沿折叠点C落在边上的点E处，
∴，，
∵，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：14．
17．30
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，证明出，是解题的关键．先根据角平分线的性质得到，进而根据平行线的性质证明，则，同理可证，即可推出的周长．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
同理可证，
的周长
；
故答案为：30．
18．12
【分析】此题主要考查了平移的性质，以及等腰三角形的判定与性质，根据题意得出的长是解题关键．直接利用平移的性质得出，进而得出，进而求出答案．
【详解】解：∵将沿的方向平移得到线段，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故答案为：12
19．
【分析】本题考查了直角三角形的角所对的边等于斜边的一半．先根据点 D是的中点，，求出，再根据直角三角形的角所对的边等于斜边的一半求出．
【详解】解：∵点 D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
20．/18度
【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，由折叠的性质可得，，，由邻补角的定义可求得，则有，由平行线的性质得，，从而可求解．
【详解】解：由折叠性质得：，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
21．2； 三线合一； 3； 两直线平行，内错角相等； 2； 3； 等角对等边
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，根据等腰三角形的性质得，根据平行线的性质得，可得，即可得，掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键．
【详解】证明：∵，，
∴(等腰三角形三线合一)，
∵，
∴(两直线平行，内错角相等)，
∴（等量代换）
（在同一个三角形中，等角对等边 ）
即是等腰三角形．
故答案为：2；三线合一；3；两直线平行，内错角相等；2；3；等角对等边．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和，等腰三角形的性质，熟悉全等三角形的判定定理与性质，并能灵活选择很重要．
（1）先证明，再证明，得出结论即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，再根据三角形内角和和对顶角性质得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即：，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
23．(1)见解析
(2)18
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
（1）根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得；
（2）同理可得，从而确定出等腰三角形，再求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
平分，
，
，
，
，
，
的周长，
，
，
，
，，
的周长．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作图—平移变换、轴对称变换，利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先找到关于轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）利用割补法求三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：的面积为：．
25．(1)
(2)
【分析】（1）由三角形全等的判定与性质得到，数形结合得到，代值求解即可得到答案；
（2）由题意，根据等腰直角三角形的判定与性质得到，结合已知得到，再由对顶角相等及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：如图所示：
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形全等判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、对顶角相等、直角三角形两锐角互余等知识，熟记相关几何判定与性质，灵活运用是解决问题的关键．
26．(1)证明见解析；
(2)；
(3)或．
【分析】（）由等边三角形可得，，即可由证明；
（）由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角性质即可求解；
（）分和两种情况，利用直角三角形的性质即可求解；
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，

①当时，
∵，
∴，
∵，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴；
综上，或．
27．(1)①；②
(2)4
【分析】本题考查轴对称的性质与运用，
（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长．
熟知轴对称的性质是关键．
【详解】（1）解：①点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
；
②点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
，
故答案为：；
（2）点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
，
，
，
即的周长为4，
故答案为：4．
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