人教版八年级上册数学第十一章三角形证明题训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学第十一章三角形证明题训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-11 07:08:30 | ||
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文档简介
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人教版八年级上册数学第十一章三角形证明题训练
1．如图，在中，，于D．
(1)求证：；
(2)若平分分别交、于E、F，求证：．
2．如图，，相交于点，连结，，，分别平分，，与相交于点，与相交于点．求证：．
3．已知：如图，在中，，是的角平分线，是高，与相交于点．
(1)若，，，求上的高．
(2)求证：．
4．如图，四边形中，，，交的延长线于点E．
(1)判定和的位置关系，并说明理由；
(2)，，求的度数．
5．如图，C在上，，．
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的度数．
6．如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F
(1)若，，试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数
7．如图，在中，是角平分线，点E、F分别在边上，相交于点G，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
8．如图所示，在四边形中，，平分交于点E，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若，试说明．
9．如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，．
(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
10．如图，、、、是边上的点，，．
(1)试证：；
(2)若平分，，，求的度数．
11．如图，在中，平分，平分，过点作直线，使，平分交的延长线于点．
解答下列各题，并要求写出每步推导的理由．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
12．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点，且，求的度数．
13．如图，点在直线上，，平分交于，．
(1)求证：；
(2)若平分，：，求的度数．
14．如图，已知，且．
(1)试判断和的大小关系，并说明理由；
(2)若平分，且，，求的度数．
15．如图，在中，是上一点，于点，于点，是上一点，且满足．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
16．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
(1)求证：．
(2)若，平分，求的度数．
17．如图，是上一点，于点，，分别是，上一点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，请说明．
18．如图，在中，点D在边上，连接为的角平分线，，点E，F分别在线段上，且．
(1)求证∶；
(2)，求的度数．
19．如图，已知，与相交于F．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
20．如图，，相交于点E，点F、G是线段上的点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求的度数．
22．如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接、、，与的延长线交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的度数．
23．如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB．
(1)求证：；
(2)若平分，，求．
24．在中，与的平分线相交于点P．
(1)如图1，，，求的度数．
(2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D．
①试探究，之间的数量关系．
②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数．
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参考答案：
1．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
（1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明．
【详解】（1）证明：，于D，
，，
；
（2）证明：在中，，
同理在中，．
又平分，
，
，
又，
．
2．见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键，由角平分线得，由三角形的内角和定理得，从而得，进而得，，两式相加即可得解．
【详解】证明：∵，分别平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴．
3．(1)4.8
(2)见解析
【分析】考查了三角形的面积，余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握并且灵活运用．
（1）根据三角形的面积公式可求上的高；
（2）根据余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义可证．
【详解】（1）解：
，
故上的高是4.8；
（2）证明：，
，
是的角平分线，
，
，
．
4．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可；
（2）根据平行线的性质得出，根据，求出，根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：，理由是：
因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）解：因为，，
所以，
因为，
所以．
因为，
所以，
因为，
所以．
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质．
（1）根据平行线的性质可得，，结合即可证明；
（2）根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴．
6．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定、四边形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握“四边形的内角和是”是解题的关键．
（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用三角形的外角的性质得到，然后证明；
（2）根据四边形的内角和定理得到，即可得到，然后利用角平分线的性质得到，，然后利用三角形的外交和定理即可解题．
【详解】（1），理由为：
∵，
∴，
∵，平分，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵是四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，平分，，
∴，，
∴．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理：
（1）根据已知条件和平角的定义证明，进而证明，则可证明；
（2）先由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则由平行线的性质可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴．
8．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的内角和定理，多边形的内角和，角平分线的性质：
（1）根据四边形的内角和为360度，得到，进而求出，角平分线得到，再根据三角形的内角和定理，求解即可；
（2）根据三角形的内角和得到，由（1）可知，结合，即可得出结论．
【详解】（1）解：在四边形中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，，
∴；
（2）由（1）得，，
∵，
∴．
在中，，
∵，
∴．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的判定与性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
（1）先根据垂直定义得出，根据平行线判定可得出，故可得出，推出，根据平行线的判定即可得出结论；
（2）先根据得出，由直角三角形的性质得出的度数，故可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
；
（2）在中，，，
，
，
又，
．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行；三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
（1）根据得出，进而得出，即可求证；
（2）根据角平分线的定义得出，进而得出，根据三角形的内角和定理得出，则，再根据三角形的内角和定理得出，最后根据平行线的性质得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
11．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得出，，推出，即可得证；
（2）由三角形内角和定理结合角平分线的定义得出，再由三角形外角的定义及性质得出，最后再由平行线的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴（两直线平行，内错角相等）
∵平分，平分，
∴，（角平分线的定义）
∴．（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
（2）解：∵，，
∴．（等式性质）
∵平分，平分，
∴，．
∴．（等式性质）
∵，
∴．（等量代换）
∵，
∴．（两直线平行，同位角相等）
∴．（等量代换）
12．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．
（1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；
（2）由于A， 得出，再根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义及平行线性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵于A，
∴ ，
由（1）知 ，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴ ．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（1）首先根据题意可得，，进而可知，可证明，即可证明结论；
（2）根据平分线的定义可得，设，则，再求出，可得关于x的一元一次方程，解得x的值，进而求解即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
，即，
；
（2）解：平分，，
，
设，
，
，
，
，
解得：
．
14．(1)相等，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判断和性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，
（1）由，可得，则有，那么，结合题意可得，则，即可证得相等；
（2）根据题意得，进一步求得，根据角平分求得，结合即可求得．
【详解】（1）解：相等，理由如下，
∵，，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
答：的度数是．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据，得到，利用平行的性质得到，结合，利用等量代换得到，即可证明；
（2）利用平分得到，又，进而得到，利用三角形外角的性质得到，由此求得，根据，即可求得的度数．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
.
（2）解：平分
，
又，
，
在中，，
，
，
，
.
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
（1）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，根据三角形内角和是即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴．
故的度数为．
17．(1)，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理可知，由可知，即可推出；
（2）由可知，得到，连接，由得到，即可推出．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
（2）解：连接
，
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查三角形的外角，平行线的判定与性质；
（1）由角平分线可得，由可得，再由外角可得，即可得到，得到；
（2）由可得的度数．
【详解】（1）解：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
19．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算：
（1），得到，推出，即可得证；
（2）平行线的性质求出的度数，角平分线求出，再利用三角形的外角求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质定理与判定定理求解即可；
（2）根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
21．(1)见解析
(2)互补，见解析
(3)130°
【分析】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
（1）根据同位角相等两直线平行，可证；
（2）根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得与之间的数量关系；
（3）根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，，再根据平角的定义可求的度数．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，
，
．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）先利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答；
（2）利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
，
，
∴；
（2）解：∵，，
，
是的一个外角，
，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质；
（1）根据平行线的性质得出，由，得到，证明；
（2）利用角平分线得出，，由，得到，进而由，，得出，由，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵，
∴
∴，
（2）∵平分，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24．(1)
(2)
(3)①；②或或或
【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，利用数形结合和分类讨论求解是解答的关键．
（1）利用三角形内角和求出，再根据角平分线求出和，最后再利用三角形内角和求解；
（2）同（1）中方法计算即可；
（3）①根据角平分线的定义得到，，利用外角的性质可得，再结合即可证明；
②分四种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：在中，
，，
．
∵P是和的平分线的交点，
，
（2）解：，
，
∵P是和的平分线的交点，
，
，
．
（3）①∵是的外角的平分线，
．
∵平分，
．
，
，
即．
，
，
即．
②的度数是或或或．
由图得
．
在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，可分为四种情况：
（Ⅰ），
则，；
（Ⅱ），
则，，；
（Ⅲ），又
则，；
（Ⅳ），又，
则，．
综上所述，的度数是或或或．
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1．如图，在中，，于D．
(1)求证：；
(2)若平分分别交、于E、F，求证：．
2．如图，，相交于点，连结，，，分别平分，，与相交于点，与相交于点．求证：．
3．已知：如图，在中，，是的角平分线，是高，与相交于点．
(1)若，，，求上的高．
(2)求证：．
4．如图，四边形中，，，交的延长线于点E．
(1)判定和的位置关系，并说明理由；
(2)，，求的度数．
5．如图，C在上，，．
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的度数．
6．如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F
(1)若，，试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数
7．如图，在中，是角平分线，点E、F分别在边上，相交于点G，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
8．如图所示，在四边形中，，平分交于点E，连接．
(1)若，，求的度数；
(2)若，试说明．
9．如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，．
(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
10．如图，、、、是边上的点，，．
(1)试证：；
(2)若平分，，，求的度数．
11．如图，在中，平分，平分，过点作直线，使，平分交的延长线于点．
解答下列各题，并要求写出每步推导的理由．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
12．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点，且，求的度数．
13．如图，点在直线上，，平分交于，．
(1)求证：；
(2)若平分，：，求的度数．
14．如图，已知，且．
(1)试判断和的大小关系，并说明理由；
(2)若平分，且，，求的度数．
15．如图，在中，是上一点，于点，于点，是上一点，且满足．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
16．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
(1)求证：．
(2)若，平分，求的度数．
17．如图，是上一点，于点，，分别是，上一点，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，请说明．
18．如图，在中，点D在边上，连接为的角平分线，，点E，F分别在线段上，且．
(1)求证∶；
(2)，求的度数．
19．如图，已知，与相交于F．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
20．如图，，相交于点E，点F、G是线段上的点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求的度数．
22．如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接、、，与的延长线交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的度数．
23．如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB．
(1)求证：；
(2)若平分，，求．
24．在中，与的平分线相交于点P．
(1)如图1，，，求的度数．
(2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D．
①试探究，之间的数量关系．
②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数．
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参考答案：
1．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
（1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明．
【详解】（1）证明：，于D，
，，
；
（2）证明：在中，，
同理在中，．
又平分，
，
，
又，
．
2．见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键，由角平分线得，由三角形的内角和定理得，从而得，进而得，，两式相加即可得解．
【详解】证明：∵，分别平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴．
3．(1)4.8
(2)见解析
【分析】考查了三角形的面积，余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握并且灵活运用．
（1）根据三角形的面积公式可求上的高；
（2）根据余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义可证．
【详解】（1）解：
，
故上的高是4.8；
（2）证明：，
，
是的角平分线，
，
，
．
4．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可；
（2）根据平行线的性质得出，根据，求出，根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：，理由是：
因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）解：因为，，
所以，
因为，
所以．
因为，
所以，
因为，
所以．
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质．
（1）根据平行线的性质可得，，结合即可证明；
（2）根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴．
6．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定、四边形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握“四边形的内角和是”是解题的关键．
（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用三角形的外角的性质得到，然后证明；
（2）根据四边形的内角和定理得到，即可得到，然后利用角平分线的性质得到，，然后利用三角形的外交和定理即可解题．
【详解】（1），理由为：
∵，
∴，
∵，平分，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵是四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，平分，，
∴，，
∴．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理：
（1）根据已知条件和平角的定义证明，进而证明，则可证明；
（2）先由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则由平行线的性质可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴．
8．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的内角和定理，多边形的内角和，角平分线的性质：
（1）根据四边形的内角和为360度，得到，进而求出，角平分线得到，再根据三角形的内角和定理，求解即可；
（2）根据三角形的内角和得到，由（1）可知，结合，即可得出结论．
【详解】（1）解：在四边形中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，，
∴；
（2）由（1）得，，
∵，
∴．
在中，，
∵，
∴．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的判定与性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
（1）先根据垂直定义得出，根据平行线判定可得出，故可得出，推出，根据平行线的判定即可得出结论；
（2）先根据得出，由直角三角形的性质得出的度数，故可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
；
（2）在中，，，
，
，
又，
．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行；三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
（1）根据得出，进而得出，即可求证；
（2）根据角平分线的定义得出，进而得出，根据三角形的内角和定理得出，则，再根据三角形的内角和定理得出，最后根据平行线的性质得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
11．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得出，，推出，即可得证；
（2）由三角形内角和定理结合角平分线的定义得出，再由三角形外角的定义及性质得出，最后再由平行线的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴（两直线平行，内错角相等）
∵平分，平分，
∴，（角平分线的定义）
∴．（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
（2）解：∵，，
∴．（等式性质）
∵平分，平分，
∴，．
∴．（等式性质）
∵，
∴．（等量代换）
∵，
∴．（两直线平行，同位角相等）
∴．（等量代换）
12．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．
（1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；
（2）由于A， 得出，再根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义及平行线性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵于A，
∴ ，
由（1）知 ，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴ ．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（1）首先根据题意可得，，进而可知，可证明，即可证明结论；
（2）根据平分线的定义可得，设，则，再求出，可得关于x的一元一次方程，解得x的值，进而求解即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
，即，
；
（2）解：平分，，
，
设，
，
，
，
，
解得：
．
14．(1)相等，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判断和性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，
（1）由，可得，则有，那么，结合题意可得，则，即可证得相等；
（2）根据题意得，进一步求得，根据角平分求得，结合即可求得．
【详解】（1）解：相等，理由如下，
∵，，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
答：的度数是．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据，得到，利用平行的性质得到，结合，利用等量代换得到，即可证明；
（2）利用平分得到，又，进而得到，利用三角形外角的性质得到，由此求得，根据，即可求得的度数．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
.
（2）解：平分
，
又，
，
在中，，
，
，
，
.
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
（1）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，根据三角形内角和是即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴．
故的度数为．
17．(1)，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理可知，由可知，即可推出；
（2）由可知，得到，连接，由得到，即可推出．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
（2）解：连接
，
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查三角形的外角，平行线的判定与性质；
（1）由角平分线可得，由可得，再由外角可得，即可得到，得到；
（2）由可得的度数．
【详解】（1）解：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
19．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算：
（1），得到，推出，即可得证；
（2）平行线的性质求出的度数，角平分线求出，再利用三角形的外角求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质定理与判定定理求解即可；
（2）根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
21．(1)见解析
(2)互补，见解析
(3)130°
【分析】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
（1）根据同位角相等两直线平行，可证；
（2）根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得与之间的数量关系；
（3）根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，，再根据平角的定义可求的度数．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，
，
．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）先利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答；
（2）利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
，
，
∴；
（2）解：∵，，
，
是的一个外角，
，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质；
（1）根据平行线的性质得出，由，得到，证明；
（2）利用角平分线得出，，由，得到，进而由，，得出，由，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵，
∴
∴，
（2）∵平分，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24．(1)
(2)
(3)①；②或或或
【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，利用数形结合和分类讨论求解是解答的关键．
（1）利用三角形内角和求出，再根据角平分线求出和，最后再利用三角形内角和求解；
（2）同（1）中方法计算即可；
（3）①根据角平分线的定义得到，，利用外角的性质可得，再结合即可证明；
②分四种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：在中，
，，
．
∵P是和的平分线的交点，
，
（2）解：，
，
∵P是和的平分线的交点，
，
，
．
（3）①∵是的外角的平分线，
．
∵平分，
．
，
，
即．
，
，
即．
②的度数是或或或．
由图得
．
在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，可分为四种情况：
（Ⅰ），
则，；
（Ⅱ），
则，，；
（Ⅲ），又
则，；
（Ⅳ），又，
则，．
综上所述，的度数是或或或．
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