人教版九年级上册数学第二十二章二次函数单元试题（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向右移动1个单位，再向下移动7个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．若，，是抛物线上的三点，则以下判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．把抛物线向右平移个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则的值可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．当，函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
7．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数，当x取时，函数值相等．则当x取时，函数值为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图像的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
10．抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的解析式是 ．
12．抛物线的对称轴方程为 ．
13．若，且，则的最小值为 ，最大值为 ．
14．已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，若关于的一元二次方程有整数根，则的值有 个．
15．已知二次函数．当时，则的取值范围 ．
16．已知函数，当时，y随x的增大而增大，则m的范围为 ．
17．已知抛物线与直线l交于点，（）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为 ．
18．已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ．
19．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为 元，每日的销售量为 件，每日的利润 ，所以每件降价 元时，每日获得的利润最大为 元．
20．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是 m．
三、解答题
21．已知一次函数的图像与二次函数的图像相交于点．
(1)求一次函数的表达式：
(2)若点C是抛物线的顶点，连接，求的面积．
22．某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
23．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为12米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求的长．
(2)当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
24．宜昌四中男子篮球队在区篮球比赛中蝉联冠军，让全校师生倍受鼓舞．在一次与第25中学的比赛中，运动员小涛在距篮下4米处跳起投篮，如图所示，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)运动员小涛的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米处出手，问：球出手时，小涛跳离地面的高度是多少？
25．“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)．
(1) ，_____；
(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式；
(3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？
26．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图②，连结、．
①求直线的表达式；
②在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由；
③点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由．
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，根据的顶点坐标为即可求解，掌握二次函数图象顶点式的特点是解题的关键．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为，
故选：B ．
2．C
【分析】本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是，得出；再求得当时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得的下限．
【详解】函数的对称轴为直线，
当时，有最小值，此时，
函数在上的最小值是，
；
当时，，对称轴为直线，
当时，，
函数在上的最大值是1，且；
．
故选：C．
3．D
【分析】此题考查了二次函数图像的平移．熟练掌握在平面直角坐标系中函数图像平移的规律是解答此题的关键．
根据在平面直角坐标系中函数图像平移的规律：左加右减，上加下减；即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线向右移动 1 个单位，再向下移动 7 个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：，
∴．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，开口向上，结合各点到对称轴的距离，比较即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，由二次函数的平移规律得平移后得到的抛物线为，由二次函数的性质得：当、在对称轴的左侧时，，即可求解；当、在对称轴的两侧时，同理可求；掌握二次方函数图象的平移规律，理解抛物线的开口向上时，到对称轴距离越远的点对应的函数值越大，据此进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：平移后得到的抛物线为，
对称轴为直线，
，
抛物线的开口向上，
到对称轴距离越远的点对应的函数值越大，
，，
当、在对称轴的左侧时，
，
解得：，
当、在对称轴的两侧时，
，
解得：；
故选：A．
6．A
【分析】根据，可知，或，，然后进行分类讨论函数的图象所在的位置，即可解答本题．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．
【详解】解：，
，或，，
当，时，的函数图象的开口向上，顶点在原点，的图象经过第一、三、四象限，故选项A正确；
当，时，的函数图象的开口向下，顶点在原点，的图象经过第一、二、四象限，此时无选项符合；
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查二次函数的增长率问题．本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
根据题意可知，原价为，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则即可求得函数关系式．
【详解】解：原价为18，
第一次降价后的价格是，
第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，
则函数解析式为：，
故选：C
8．D
【分析】本题考查抛物线的对称性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
由题意可得互为相反数，即，由此可以确定所求的函数值．
【详解】∵在中，当x取时，函数值相等，抛物线的对称轴是y轴，
∴互为相反数，
∴，
当时，．
故答案为：D．
9．B
【分析】此题考查了二次函数与几何变换，直接利用函数图象平移法则，左加右减，上加下减，得出答案．
【详解】解：将二次函数的图象先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
即，
故选B．
10．B
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性，增减性以及二次函数图像上点的坐标特征是关键．根据抛物线的对称轴和增减性可知，进而判断①；根据函数的最值可判断②；由时的函数值大于0，可判断③；由点的对称点为，可判断④．
【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点，且，
∴抛物线开口向下，则，，
，
故①错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为，
∴函数的最大值为，
∴对任意实数m都有：，即，故②错误；
∵对称轴为，．
∴当时的函数值大于0，即，
∴，故③正确；
∵对称轴为，点的对称点为，
∵抛物线开口向下，
∴若，则，故④正确；
综上，正确的有③④共2个．
故选：B．
11．
【分析】本题考查了二次函数图象平移，掌握图形平移规律是解题的关键，根据函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”，由此即可求解．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位得，，再向上平移1个单位得，，
故答案为： ．
12．/
【分析】本题考查求抛物线的对称轴，根据对称轴公式进行计算即可．
【详解】解：抛物线的对称轴方程为；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查二次函数的最值．由得，得到，令，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：
，
∴，
设
∴抛物线开口向下，当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小，顶点为，当时，取得最大值，即取最大值为；
，，，，
∴当时，有最小值为，即取最大值为，
故答案为：，．
14．3
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．抛物线的对称轴为，得到，解得．抛物线与x轴的一个交点为．得到．则，对称轴，最大值，得到顶点坐标为，解方程得或，则当时，抛物线始终与x轴交于与，有整数根，以及常函数直线，，结合图象进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴，解得．
又∵抛物线与x轴的一个交点为．
把代入得，
解得，．
∴，
对称轴，最大值
如图所示，

顶点坐标为
令
即
解得或
∴当时，抛物线始终与x轴交于与
∵有整数根，以及常函数直线，由
∴
由图象得当时，，
其中x为整数时，，，，，，
∴一元二次方程的整数解有5个．
又∵与，与关于直线轴对称
当时，直线恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有3个．
故答案为：3．
15．
【分析】此题考查了二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，已知自变量的值求函数值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．将二次函数的解析式化为顶点式，得到二次函数顶点坐标为，抛物线开口向上，再分别计算出当时，当时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：，
∴二次函数顶点坐标为，抛物线开口向上，
当时，；
当时，，
∴当时，y的取值范围是，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据题干条件结合二次函数的性质解题即可．
【详解】解：，当时，y随x的增大而增大，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质，熟练配合函数图像将复杂问题直观化是解决问题的关键．先求出点和点的坐标，确定直线l的函数表达式，配合两个函数的图象求解即可．
【详解】解：分别将 、 代入得：
，
解得： ，（舍）
∴，
设直线的解析式为，则
解得
∴直线l的表达式为：，
，顶点为，开口向上，两个函数图象如图所示，
由图象可知，点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标b的取值范围为，
故答案为：
18．或
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最大值是解题的关键．
由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时；当时，结合题意利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，当时，y的最大值为4，
∵y的最大值为4，距离对称轴最远，
∴，
∴；
当时，在，当时，函数有最大值，
∴，
解得；
综上所述：k的值为或．
故答案为：或．
19． 5 625
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据单件利润=单件售价单件成本，即可得出单件利润；根据每日销售量增加的销售量，即可得出每日销售量；根据总利润=单件利润×销售量，即可得出y关于x的表达式；将y关于x的表达式化为顶点式，根据二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
单件的利润为元，
每日的销售量为件，
每日的利润，
∵，，
∴当时，y有最大值625，
∴每件降价5元时，每日获得的利润最大为625元，
故答案为：，，，5，625．
20．
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．设抛物线的表达式为：，将点代入上式求出a，进而求解．
【详解】解：设抛物线的表达式为：，
将点代入，得，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，则，即，
故答案为：．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式及三角形面积等知识点，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
（1）先求出，代入一次函数表达式求出即可；
（2）先求出点C坐标，过C作轴交于D，求出点D坐标，进而求出面积．
【详解】（1）解：由题意知在的图像上
∴，
∴
将代入一次函数，
得
∴
∴一次函数解析式为；
（2）
，
过C作轴交于D，
当时，
则 ，
，
∴．
22．(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为
(2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元
【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；
（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值
【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为，
由图象可知，函数经过，，
可得，解得，
这段时间内y与x之间的函数解析式为；
（2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，
，，
即，解得，
设获得利润为，即，
对称轴，
，即二次函数开口向下，的取值范围是，
在范围内，随着的增大而增大，
即当销售单价时，获得利润有最大值，
最大利润元．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
23．(1)的长为12米
(2)当时，苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，掌握一元二次方程的解法及二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案；
（2）先根据题意求出x的取值范围，然后表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）解：依题意可列方程，
∴
解得，
当时，，故舍去；
当时，，
，
∴的长为12米；
（2）解：依题意，得，
解得．
∵面积，
∴当时，有最大值，；
答：当时，苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．
24．(1)
(2)球出手时，他跳离地面的高度为.
【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法确定函数解析式等知识点，求得函数解析式是解答本题的关键．
（1）设抛物线的表达式为，再将点代入求得a的值即可．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为,则可得，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的表达式为．
由图知图象过以下点：．
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为,
因为（1）中求得，
则球出手时，球的高度为,
∴，
∴．
答：球出手时，他跳离地面的高度为.
25．(1)，
(2)
(3)在试销售的天中，共有天销售额超过元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解；
（3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，将，代入，
∴
解得：
∴
故答案为：，．
（2）解：依题意，
当时，
当时，
∴
（3）解：依题意，当时，
当时，
解得：
为正整数，
∴第天至第天，销售额超过元
（天）
答：在试销售的天中，共有天销售额超过元
26．(1)
(2)①直线为；②存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；③存在，此时面积的最大值为．
【分析】(1)运用待定系数法计算即可．
(2) ①运用待定系数法计算即可；②判定、是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长．③设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可．
【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：①中，当时，，
∴，
设直线为，
把，代入得，
，
解得，，
∴直线为；
②存在，点．理由如下：
∵抛物线与轴交于、两点，，
∴、关于二次函数对称轴对称，
∴，，，
∴的周长为，
根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小，
∵直线的解析式为，
∴当时，，
∴点，
∴的周长最小值为；
③存在，设，过点作交直线于点，则，
∵，，
∴，
故当时，取得最大值，且为，
当时，，
∴．
∴存在，此时面积的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
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