人教版九年级上册数学第二十二章二次函数图形运动解答题训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十二章二次函数图形运动解答题训练
1．如图，在中，，，，动点以的速度从点开始沿边向点移动，动点以的速度从点开始沿边向点移动，若两点分别从两点同时出发，设运动时间为．
(1) ______， ______， ______；（用含的式子表示）
(2)为何值时，的面积为？
(3)为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
2．如图，在长方形中，，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，到点停止；同时动点从点出发，以每秒的速度在间做往复运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点运动的时间是（秒），的面积是．
(1)点共运动________秒；
(2)当点沿折线运动时，用含的代数式表示线段的长；
(3)当且时，用含的代数式表示S；
(4)当两点相遇时，直接写出的值．
3．如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为．
(1)当点D落在上时，x的值为______．
(2)当点D落在上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
4．如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）．
(1)的长为______cm（用含x的代数式表示）．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围．
5．如图所示，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在原点，，若矩形以每秒个单位长度沿轴正方向做匀速运动同时点从点出发以每秒个单位长度沿的路线做匀速运动当点运动到点时停止运动，矩形也随之停止运动．
(1)求点从点运动到点所需的时间；
(2)设点运动时间为秒．
①当时，求出点的坐标；
②若的面积为，试求出与之间的函数关系式并写出相应的自变量的取值范围．
6．如图，在矩形中，，动点E从点A出发，以的速度沿射线方向运动，以为底边，在的右侧作等腰直角三角形，当点F落在射线上时，点E停止运动，设与矩形重叠部分的面积为S，运动的时间为．
(1)当t为何值时，点F落在射线上；
(2)当线段将的面积二等分时，求t的值；
(3)求S与t的函数关系式．
7．如图，等腰的直角边，点、分别从、两点同时出发，以相同速度作直线运动．已知点沿射线运动，点沿边的延长线运动，与直线相交于点．
(1)设的长为，的面积为．求出关于的函数关系式；
(2)当的长为何值时，；
(3)作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？证明你的结论．
8．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是．
(1)t为何值时，？
(2)t为何值时，的长度为？
(3)设五边形的面积为，当t为何值时，五边形的面积最小？最小面积为多少？
9．如图，在中，，点D为边的中点.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以为邻边作，设点P的运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)当线段被边平分时，求t的值；
(3)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出时t的值.
10．如图，在中，，，点D为边上一点，且，动点E从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，运动时间为．作，与边相交于点F．设长为．
(1)当________s时，；
(2)求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点E运动路线的长；
(3)当为等腰三角形时，求x的值．
11．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒.
(1)几秒时，的长度为？
(2)几秒时，的面积为？
(3)当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值．
12．如图，已知中，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A、B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止．过Q作交于点D，连结，设运动时间是秒时，四边形的面积为S．
(1) _________（用含的代数式表示）；
(2)求S关于的函数解析式，并求出为多少时梯形的面积最大？最大面积是多少？
(3)连结，在运动过程中，能否使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
13．如图，正方形的边长为，动点、同时从点出发，以的速度分别沿，和的路径向点移动．设运动时间为秒，由点、、、确定的图形的面积为．

(1)直接写出与之间的函数关系式________；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出以上所写函数的图象，并写出该函数的一条性质________；
(3)当取最大值时，________．
14．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t．
(1)______，______，______；
(2)t为何值时的面积为？
(3)t为何值时的面积最大？
15．如图，在中，，，，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿运动，点沿，运动，两点同时到达点C．

(1)点Q的速度是点P速度的多少倍？
(2)设，的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)求出y的最大值．
16．在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，，点D在第二象限．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设．
(1)如图①，当时，与交于F点，求点，F的坐标；
(2)若矩形与重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，分别与交于点G，与交于点H．与交于点N，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
17．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动．设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为
(1)当点落在边上时，______；
(2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)设的中点为，直接写出在整个运动过程中，点移动的距离．
18．如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动；同时动点从点出发，以速度沿向终点匀速运动，连接，设点的运动时间为（），的面积为（）．

(1)当时，求的值；
(2)求与之间的函数关系式，并写出自变量取值的范围；
(3)当的面积是矩形面积的时，直接写出的值．
19．如图，在矩形中，，，点P在线段上从点A向点B以的速度移动；同时，点Q在线段上从点B向点C以的速度移动，设P、Q两点运动时间为x（秒）．其中任何一点运动到线段端点时停止运动．
(1)请用x表示出下列线段的长： ______cm；_______cm；________cm；
(2)求的面积S关于时间x的函数解析式及x的取值范围．
(3)当x为何值时，的面积为8cm2？
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．
（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图中阴影部分A′B′CE）的面积；
（2）将△A′B′D′以2cm/s的速度沿直线BC向右平移，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为ycm2，移动的时间为x秒，请你求出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，.动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，设运动的时间为秒，.
（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：_______；
（2）当时，求的值；
（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由.
22．如图，已知梯形ABCD中，，，，.
（1）求BC的长度.
（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/s的速度运动，当P，Q分别从B，C同时出发时，求出△PQC的面积S与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.
（3）写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t（s）之间的函数关系式.（不包含点P在B，C两点的情况）
23．如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO；
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
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参考答案：
1．(1)，，
(2)当或时，的面积是
(3)当为时，的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）根据题意和三角形的面积公式列出方程，解方程即可；
（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
故答案为：，，；
（2）解：，
，
解得：或4，
即当或时，的面积是；
（3）解：，
∴当为时，的面积最大，最大面积是．
2．(1)15
(2)当时，；当时，
(3)当时，；当时，；当时，
(4)11或15
【分析】本题考查列代数式，二次函数的应用，一元一次方程的应用，方程思想与分类讨论是解题的关键．
（1）根据点Q运动时间与点P运动时间相同，求出点P运动时间即可得点Q运动时间；
（2）分情况讨论：当时，当时，分别求解即可；
（3）分情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可；
（4）根据P、Q共有两次相遇求解即可．
【详解】（1）解：点Q运动时间为（秒），
故答案为：15；
（2）解：当时，点P在上运动．；
当时，点P在上运动，；
综上，当时，；当时，；
（3）解：当时，点P在上运动，点Q由点B向点C运动，
此时，，，
；
当时，点P在上运动，点Q由点C向点B运动，
此时，，，
；
当时，点P在上运动，点Q由点B向点C运动，
此时，，，
；
综上，当时，；当时，；当时，；
（4）解：当P与Q第一次相遇时，根据题意，得：，
解得：；
当P与Q第二次相遇时，根据题意，得：，
解得：；
综上，当或15时，P、Q两点相遇．
3．(1)
(2)
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分类讨论是解题的关键．
（1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解；
（2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，结合图形即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
当点在上时，如图所示，此时，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴；
（3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，，
当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，，
∴，则，
又∵是正方形，
∴，则，
∴，则，
∴；
当时，如图，
，
∴．
4．(1)或
(2)当时，；当时，
(3)或
【分析】本题考查动点的函数，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，恰当分类是解题的关键．
（1）分两种情况：和，根据动点运动的路程、速度和时间的关系，结合勾股定理求解即可；
（2）分两种情况：和，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（3）先画出是直角三角形的图形，求出此时的值，再结合的取值范围求解即可．
【详解】（1）当时， 点E运动的路程就是的长，即：=，
当时，作于点，如图所示，
在中，，，
在中，，。
故答案为：或；
（2）点F运动的路程就是线段的长，即，
当时，，即；
当时，作于点，如图所示，
∴，
∵，
∴，
综上可得，求y关于x的函数解析式为：；
（3）当时，是直角三角形，如图所示，
在中，，，，
∴，
解得：，
当时，是直角三角形，如图所示，
在中，，，，
∴，
解得：，
∴当为钝角三角形时，x的取值范围是：或．
5．(1)16秒
(2)①；②
【分析】根据路程，速度，时间的关系，构建方程求解；
当时，点从点运动到上，此时点到点的时间秒，，，再过点作于点，则，，得出，所以得出点的坐标；
可分三种情况“，，”进行讨论解题即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，行程问题等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【详解】（1）由题意，
点从点运动到点所需的时间为秒；
（2）当时，点从点运动到上，
此时点到点的时间秒，，
，
过点作于点，则，，
，
点的坐标为；
分三种情况：
当时，点在上运动，此时，，
；
当时，点在上运动，此时，
；
当时，点在上运动，此时，，
，
；
综上所述，与之间的函数关系式是：．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由矩形的性质和等腰直角三角形的性质得出，再由运动得出，即可；
（2）由等腰直角三角形的性质得出斜边上的高也是中线，根据三角形的中线把三角形面积平分，判断出点F在上，即可；
（3）分三种情况先利用矩形和运动的特点显示出三角形高，底边和梯形的上下底，高，再利用三角形和梯形的面积公式求解．
【详解】（1）如图1，
过点F作于H．
在矩形中，
，，
∵点F落在射线上，
∴，
是等腰直角三角形，,
，
∴；
（2）如图2，
∵是等腰直角三角形，,
,
,
∴将 的面积二等分，
,
∴，
∴；
（3）当时，如图3，
过点F作，
由运动知，，
，
，
当时，如图4，
过点F作，
由运动知，，
，
,
当时，如图5，
过点F作，
,
,
综上所述，；
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，梯形，三角形的面积公式，用运动时间表示线段是解本题的关键．
7．(1)
(2)当的长为时，
(3)当点、运动时，线段的长度不会改变，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，根据题意画出对应的图形，进行求解是解题的关键．
（1）本题要分两种情况进行讨论：①当在线段上；②当在延长线上；都是以为底，为高，可据此得出、的函数关系式．
（2）先计算出的面积，然后将其值代入（1）中得出的两个函数式中，即可得出所求的的长；
（3）过作，交直线于点，连接、，易证，证得四边形是平行四边形，再结合，可求得，同理，当点在点右侧时，．
【详解】（1）解：①当点在线段上时，．
∵，，
∴．
即；
②当点在延长线上时，．
∵，．
∴．
即；
综上，；
（2）．
①令，即，此方程无解；
②令，即，解得，负值舍去．
故当的长为时，；
（3）当点、运动时，线段的长度不会改变，理由如下：
过作，交直线于点，连接、，
在和中
∵，，
∴，与都是等腰直角三角形，则，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，且是对角线的一半
又∵，
∴，
∴当点、运动时，线段的长度不会改变
同理，当点在点右侧时，，
综上所述，当点、运动时，线段的长度不会改变．
8．(1)当时，．
(2)当或时，的长度为．
(3)当秒时，五边形的面积最小，最小面积为．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点问题，三角形的面积二次函数的性质等，解题的关键是根据题意列函数关系式．
（1）根据题意得，，则，当时，点在的中垂线上，进而列方程求解即可；
（2）根据矩形的性质可得，根据勾股定理得出，，求解即可得出答案；
（3）根据题意可得当五边形的面积为时，，再利用函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
∴，，
则，
当时，
故，
解得：，
故当时，．
（2）∵四边形是矩形，
∴，
在中，，且，，，
即，
解得：，．
∴当或时，的长度为．
（3）∵五边形的面积四边形的面积，
故当五边形的面积为时；
∴，
∵，有最小值，
∴当，
最小值为：，
∴当秒时，五边形的面积最小，最小面积为．
9．(1)当时，，当时，；
(2)
(3)
【分析】（1）分和两种情况进行求解即可；
（2）设与相交于点F，求出，由平行四边形的性质得到，又有，则，解方程即可得到答案；
（3）过点Q作于点H，分和两种情况求解，再分两种情况代入进一步求解即可.
此题考查了列函数关系式、等腰直角三角形的性质、二次根式运算等知识，数形结合和分类讨论是是解题的关键.
【详解】（1）解：∵点D为边的中点，
∴，
当时，，
当时，；
（2）如图1，
设与相交于点F，
在中， ，
∴，
∵以为邻边作，
∴，
又∵，
∴，
解得；
（3）如图，过点Q作于点H，
∵，
∴，
在中，，
∴，
当时，，
∴，
当时，；
∴，
∴，
当时，若，解得（不合题意，舍去），
当时，若，方程无解，
∴
10．(1)
(2)，
(3)的值为或或3
【分析】（1）求出，因为，由勾股定理求出长；
（2）由和推出，证出，得到，代入即可；
（3）①如图，若，由相似得到，求出；②如图，若，由相似求出，即可求出；③若，则，由得出即可求出．
【详解】（1），，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
（2）在中，，．
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
从运动的过程中可以得出点运动的路程正好是，
点运动路程为，
答：在点运动过程中，与之间的函数关系式是，点运动路线的长为．
（3）这里有三种情况：
①如图，若，则，
又，
，
，
，
动点的速度为，
此时；
②如图，若，则；
又，
，
，
，
动点的速度为
此时；
③如图，若，则；
又，
，
，
动点的速度为，
此时．
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或3．
答：的值为或或3．
【点睛】本题主要考查对二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．
11．(1)2秒或秒
(2)2秒或4秒
(3)当时，四边形的面积最小，最小值为21
【分析】本题主要考查了勾股定理，二次函数的极值，一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用t代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）设运动时间为t秒，分别用t的代数式表示出线段的长度，利用勾股定理列出方程即可求解；
（2）利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出方程即可求解；
（3）利用（1）中的方法求得四边形的面积，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设运动时间为t秒时，的长度为，
依题意得：， ，
，
，
，
，
解得：或．
∴2秒或秒时，的长度为；
（2）解：设运动时间为t秒时，的面积为，
依题意得：，
，
∵的面积为，
．
解得：或4．
∴2秒或4秒时，的面积为；
（3）解：四边形的面积，
，
∵，
∴当时，四边形的面积最小，最小值为21．
12．(1)
(2)当秒时，S最大值
(3)存在，当或时为等腰三角形
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线线的性质可得，然后求出即可；
（2）本题主要考查了列代数式、运用二次函数的性质求最值等知识点，根据已知条件表示出,然后利用梯形的面积公式得到，然后利用二次函数的性质可以求出s的最大值即可；求出梯形面积的函数表达式是解题的关键；
（3）如图：过D作,垂足为H,即是矩形，然后可得,，；再
分、、三种情况，分别根据勾股定理得到列出方程并求解即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵在中，,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：依题意得，
∴，
∴当秒时，S最大值；
（3）解：存在，如图：过D作，垂足为H,即是矩形，
∴，，，，，
∴，，，
①当时、
则，整理得：，解得：（舍去），，
②当时，则，整理得：解得：或（大于都舍去）；
③当时，，则，整理得解得：或（舍去）；
综上所述，当或时为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值、等腰三角形的性质、勾股定理、列代数式等知识点，综合运用所学知识成为解题的关键．
13．(1)
(2)图见解析，当时，随的增大而减小；当时， 随的增大而增大（答案不唯一）
(3)0或
【分析】（1）根据动点的运用，分类讨论，①当时，；②当时，如图所示，；图形结合，根据几何图形面积的计算方法即可求解；
（2）根据函数解析式作图即可；
（3）根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，线段是对角线，
∴，
∵点、的速度为，设运动时间为秒，
∴点从的时间为，从的运动时间为，
点从的时间为，从的运动时间为，
①当时，，
∴，，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
②当时，如图所示，

∴，
∴，，，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
综上所述，与之间的函数关系式为，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知，，
∴函数图象如下，

∴性质：当时，随的增大而减小；当时， 随的增大而增大；（答案不唯一）
故答案为：当时，随的增大而减小；当时， 随的增大而增大（答案不唯一）．
（3）解：根据（2）中图像可知，当或时，取最大值，
故答案为：0或．
【点睛】本题主要考查图形上动点规律与图形面积的函数关系，理解动点的运用，掌握二次函数解决实际问题的方法是解题的关键．
14．(1)，，
(2)当秒或4秒时，的面积是；
(3)当为3时的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）由题意可直接利用t表示出，和；
（2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可；
（3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）根据题意得：，，
∴，
（2），
解得：或4，
∵，，
∴，
∴或4都符合题意，
∴即当秒或4秒时，的面积是；
（3）由（2）可知，
∵，，
∴当为3时的面积最大，最大面积是．
15．(1)Q的速度是点P速度的倍
(2)
(3)y的最大值为
【分析】（1）由于在中，，，，由此可以利用勾股定理求出，的长度，又两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点，利用这个条件即可求解；
（2）有两种情况：①当在上，利用（1）的结论和三角形的面积公式即可求解；②当在上，利用（1）的结论求出，的长度，也就可以求出到的距离，再利用三角形的面积公式即可求解；
（3）利用（2）的结论和二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
，，
而两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点，
的速度是的速度的倍；
（2）解：设，的面积是，
①当在上，

即时，，
②当在上，过Q作于E，如图，
∵，，
∴，

∴当时，，
即：；
综上所述：y关于x的函数关系式为；
（3）解：对于
当时，；
对于
当时，，
，
当时，．
【点睛】此题这样考查了二次函数的最值和勾股定理的应用，解题时首先利用勾股定理求出相关线段的长度，然后利用几何图形的性质求出函数解析式，最后利用函数的最值即可解决问题．
16．(1)点的坐标，点的坐标
(2)①．其中的取值范围是；②
【分析】（1）由、，可得点C坐标，根据是等腰直角三角形可证是等腰直角三角形，从而可得，即可求得结果；
（2）①过点G作于M，根据平移的性质可得，，，
，由，可证与均为等腰直角三角形，可得，，再根据，即可得出结果；②根据时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，当时，矩形与重叠部分为五边形，分别进行计算即可．
【详解】（1）解：由点，得，
由已知矩形平移得，，，，
又是等腰直角三角形，得，
是等腰直角三角形，
，
∴点的坐标，点的坐标；
（2）解：①由平移知，，，，
如图，过点G作于M，
，
，
由，
得，
与均为等腰直角三角形，
又，
，
，
，
，
其中的取值范围是；
②∵时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，
∴，
当时，矩形与重叠部分为五边形，
∴，
【点睛】本题考查平移的性质、平面直角坐标系与图形、等腰直角三角形的性质及求二次函数解析式，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
17．(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，，再根据矩形的性质得，进而得出，然后根据勾股定理求出答案；
（2）分时， 时，时，分别根据面积公式计算表示即可；
（3）先确定点的运动轨迹是线段，再根据勾股定理求出答案．
【详解】（1）解：如图中，
是等腰直角三角形，
∴，.
四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：4；
（2）解：当时，如图中，重叠部分是 ，
∵，
∴；
当时，如图中，则重叠部分是四边形，是等腰直角三角形，
由（1）知，，
∴，
∴；
当时，如图中，重叠部分是五边形，
由题意，和是等腰直角三角形，

．
综上所述：；
（3）解：如图中，连接．
当点落在上时，，此时点与重合，
的中点的运动轨迹是线段，．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，求分段函数关系式，勾股定理等，分情况求关系式要找到临界点．
18．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）当时，点在上，此时，由此构建含时间方程求解即可．
（2）分两种情形：当时，，当时，，分别求解即可．
（3）分两种情形分别构建方程求出t的值即可．
【详解】（1）解：当时，点在上，此时，
，解得．
时，．
（2）解：当时，，
当时，，
综上所述：
（3）当时，解得或（舍去），
当，解得，
综上所述，或时，的面积是矩形面积的．
【点睛】本题综合考查了四边形，矩形的性质，三角形的面积，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
19．(1)x，，
(2)
(3)当或时，的面积为
【分析】（1）根据运动与速度表示出长度，列出代数式即可．
（2）根据三角形面积公式求解即可；
（3）把代入（2）中函数解析式即可求解．
【详解】（1）解：设运动时间为x（秒），
则，，
又，
∴，
故答案为：x，，；
（2）解：由题意得，
即；
（3）解：解：当时，，
∴，
∴，
∴，，
答：当或时，的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确找出的面积S与时间x的关系是解题的关键.
20．（1）；（2）当0≤x＜时，y＝﹣x2﹣x+24，当≤x≤4时，y＝x2-x+
【分析】（1）根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10，CD′＝B′D′﹣BC＝2，由tan∠B′D′A′＝，可求出CE，即可计算△CED′的面积，SA′B′CE＝SA′B′D′﹣SCED′；
（2）分类讨论，当0≤x≤时和当 ＜x≤4时，分别列出函数表达式；
【详解】解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴BD＝10cm，
根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10cm，CD′＝B′D′﹣BC＝2cm，
∵tan∠B′D′A＝，
∴，
∴CE＝cm，
∴S A′B′CE＝SA′B′D′﹣SCED′＝﹣2×÷2＝（cm2）；
（2）①当0≤x＜时，CD′＝2x+2，CE＝x，
∴S△CD′E＝x2+x，
∴y＝×6×8﹣x2﹣x＝﹣x2﹣x+24；
②当≤x≤4时，B′C＝10﹣2x，CE＝（10﹣2x）
∴y＝×（10﹣2x）2＝x2-x+．
【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
21．（1）；（2），；（3）经过点的双曲线的值不变.值为.
【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，依题意求得P、Q的坐标，进而求得PE、EQ的长，再利用勾股定理即可求得答案，由时间＝距离速度可求得t的取值范围；
（2）当，即时，代入（1）求得的函数中，解方程即可求得答案；
（3）过点作于点，求得OB的长，由，可求得，继而求得OD的长，利用三角函数即可求得点D的坐标，利用反比例函数图象上点的特征即可求得值.
【详解】（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1：
∵点B、C纵坐标相同，
∴BC⊥y轴，
∴四边形OPEC为矩形，
∵运动的时间为秒，
∴，
在中，，，，
∴，
即，
点Q运动的时间最多为：(秒) ，
点P运动的时间最多为：(秒) ，
∴关于的函数解析式及的取值范围为：；
（2）当时，
整理，得，
解得：，.
（3）经过点的双曲线的值不变.
连接，交于点，过点作于点，如下图2所示.
∵，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
在中，，，
∴，，
∴点的坐标为，
∴经过点的双曲线的值为.
【点睛】本题考查了二次函数的应用－动态几何问题，解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，构造正确的辅助线是解题的关键.
22．（1）6cm；（2）
【分析】（1）在Rt△BCD中，CD＝3cm，∠C＝60°，根据含30°直角三角形的性质就可以得到BC＝2CD；
（2）△PCQ中PC容易用时间t表示出来，PC边上的高可以通过解直角三角形用时间t表示出来，然后根据三角形面积公式列出函数关系式即可；
（3）由于，从而五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式就可以求出来．
【详解】解：（1）在Rt△BCD中，，，
∴，
∴（cm）；
（2）当P，Q分别从B，C同时出发ts时，，；∴.
如图，过点Q作于点E，则.
∴；
（3）由（2）知，.
∵，，梯形ABCD是等腰梯形.
∴.
又∵，，
∴.
∴.
∴，
∴.
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，主要考查了解直角三角形，三角形面积和梯形面积计算以及列二次函数关系式，通过解直角三角形表示出解题所需的线段长是解题关键.
23．（1）当t=秒时，PQ∥BO（2）①S=（0＜t＜），5②（，﹣3）
【分析】（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值．
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO得求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值．
②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．
【详解】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8．
∴．
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．
∵PQ∥BO，∴，即，解得t=．
∴当t=秒时，PQ∥BO．
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，
则PD∥BO．
∴△APD∽△ABO．
∴，即，解得PD=6﹣t．
∴．
∴S与t之间的函数关系式为：S=（0＜t＜）．
∴当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．
②如图②所示，当S取最大值时，t=，
∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO．
又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4．∴P（4，3）．
又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．
依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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