人教版九年级上册数学第二十三章旋转单元试题（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十三章 旋转单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知等腰三角形，，绕点逆时针旋转得到，若且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ）
A． B．1.5 C． D．
5．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（ ）
A．4 B． C．6 D．
6．如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2 023 次旋转结束时，点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三角形中，，，将三角形绕点按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点在一条直线上，那么旋转角等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．与点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则 度．
13．如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个．
14．如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时的度数等于 ．
15．如图，将绕点C逆时针旋转α度得到交于点D．若，则 °．
16．如图，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，若，则的度数为 ．
17．如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ．
18．已知点与点是关于原点的对称点，则的值为 ．
19．如图，已知菱形的顶点O，B，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 ．
20．如图，在等边中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得，连接，若，，则下列说法：①；②；③是等边三角形；④的周长是9，其中正确的有 （只填序号）
三、解答题（共60分）
21．按要求画图：
(1)画出图的另一半，使它成为一个轴对称图形．
(2)把图向右平移5格．
(3)把图绕点顺时针旋转．
22．如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系．
(1)画出四边形关于原点对称的四边形，并写出点的坐标是 ．
(2)画出四边形绕点顺时针方向旋转后得到的四边形．并写出点的坐标是 ．
23．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．

(1)判断的形状；
(2)求证：平分．
24．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
25．如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)顺次连接，，，，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
26．如图，为等腰三角形，，，点O为的中点，过O作于点D．点P为射线上一点，Q为线段上一点（不与点B，C重合），连接．
(1)求的长；
(2)若，将点P绕点Q逆时针旋转，得到点E，当点E落在的一边上时，求的长；
(3)当点P与点O重合时，在线段上取点F，使点C、F关于成轴对称，求点F到的距离h．
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．由旋转的性质可求，可求，由等腰三角形的性质可求，即可求解．
【详解】解：绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
的值为：．
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，连接，证明为等边三角形，求得便可得出结果．
【详解】连接，
由旋转性质得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵边长为1的正方形，
∴，
∴，
∴
故选：A．
5．D
【分析】过点作于，如图所示，由旋转性质得到，从而得到是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定是线段的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到，进而由全等性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：过点作于，如图所示：
将边绕点逆时针旋转至点，
，
由等腰三角形三线合一性质可得是线段的垂直平分线，则，
在正方形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，则，
在中，，，
则由勾股定理可得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键．
6．C
【分析】本题考查了中心对称的性质．根据中心对称的性质，为，的中点，即可求解．
【详解】解：与关于点成中心对称，点A的坐标为，
设，
依题意，，
解得：，
点的坐标为，
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，点的坐标，确定旋转后的位置是解此题的关键．
作出旋转后的图象，找出图形变换规律，再根据点的坐标即可求出旋转后点的坐标．
【详解】解：由题可知，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，
每旋转4次则回到原位置，
，
第2023次旋转结束后，图形逆时针旋转了，
，，
，
第2023次旋转结束时，点的坐标是，
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．首先解得的值，结合旋转的性质可得，然后计算的角度，即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴．
故选：B．
9．D
【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键．
由旋转性质知，据此得、，再根据等腰三角形性质即可解答．
【详解】解：由旋转的性质的可得：，
∴、，
∴．
故选：D．
10．D
【分析】过点作轴于点D，利用直角三角形的性质，勾股定理解答即可．
本题考查坐标与图形变化—旋转，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质和直角三角形的有关性质是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点D，
∵，绕点逆时针旋转，得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是，

故选D．
11．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：与点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12．25
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．先由旋转性质得，，，再由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，即可求解．
【详解】解：由旋转性质得，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：25．
13．3
【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形的小方格即可．
【详解】如图所示，
∴这样的白色小方格有3个．
故答案为：3．
14．/80度
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转可得，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵将逆时针旋转，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据旋转的性质得到，然后利用互余计算出的度数即可．
【详解】解：∵绕点C逆时针旋转α度得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：25．
16．/度
【分析】由旋转的性质和全等三角形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解．
【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转得，
∴，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
17．/105度
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案，正确记忆横纵坐标的符号是解题的关键．
【详解】解：∵点与点是关于原点的对称点，
∴，，
∴，
故答案为：．
19．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据菱形的性质，得出点一开始的坐标，根据题意求出一共旋转，除以发现旋转周后再旋转，得到此时点在轴上，即可得到答案．
【详解】解：菱形的顶点O，B，
点坐标为，
由于每秒旋转，则第秒时，得，
周，
故旋转了周后再旋转，
此时点在轴上，
∵
∴此时菱形的对角线交点D的坐标为，
故答案为：．
20．①③④
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由等边三角形的性质得出，，由旋转的性质得出，，推出，即可判断①；由旋转的性质得出，，即可判断③；求出即可判断②；利用，，求出的周长即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转，得，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵将绕点逆时针旋转，得，
∴，，
∴是等边三角形，故③正确；
∵在中，，
∴，即，
∴，故②错误；
∵，，
∴的周长，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作轴对称图形、作平移之后的图形，作旋转一定角度后的图形，作图的关键是找到各对应顶点．
（1）根据作轴对称图形的方法找到对应点，再依次连接即可；
（2）先找到平移后的各点，再依次连接即可；
（3）以为旋转中心，把图顺时针旋转，找到对应点，再依次连接即可．
【详解】（1）解：作图如下：
；
（2）解：平移后的图形如图所示：
；
（3）解：旋转后的图形如图所示：
．
22．(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点、、绕点顺时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，四边形，即为所求作的图形，点；
故答案为：；
（2）解：如图所示，四边形，即为所求作的图形，点．
故答案为：．
23．(1)等边三角形
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定，图形的旋转，旋转前后找到相应的等量关系是解答本题的关键．
（1）找到旋转前后等量关系，，即可判断的形状；
（2）由旋转关系，可以得到，，，并且为等边三角形，故可以证明，得到平分．
【详解】（1）解：绕点A逆时针旋转，
，，
为等边三角形；
（2）证明：绕点A逆时针旋转，
，，
，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
平分．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质，得出，，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案；
（2）根据（1），得出是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理，求出度数即可．
【详解】（1）证明：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
是等腰三角形，
∴，
，
即的度数为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
25．(1)证明见解析；
(2)能，．
【分析】（1）根据正方形的性质及选转的不变性证明和即可；
（2）由旋转得：，故当互相平分时，四边形为矩形，设，则，，，在中，由勾股定理得：，解方程即可．
【详解】（1）证明：连接
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，
故当互相平分时，四边形为矩形，
∵互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
设，则，，
由（1）知，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
26．(1)，；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）根据三线合一得出，根据勾股定理求得，进而根据等面积法求得；
（2）当点在上时，过点作交于点，过点作于点，设交于点，证明，进而求得是等腰直角三角形，，进而求得的长，当点在上时，证明即可求解；
（3）连接，证明，勾股定理求得，进而求得，，等面积法即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
在中，，
∵，
∴；
（2）当点在上时，如图，
过点作交于点，过点作于点，设交于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，，
∴平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点绕点逆时针旋转，得到点，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
当点在上时，如图，
∵，，，
∴，
∴；
综上所述：的长为或；
（3）解：如图，连接，
根据题意，得点和点F关于对称，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
即点到的距离为．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
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