人教版九年级上册数学第二十三章旋转证明及计算基础题训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十三章 旋转证明及计算训练
1．如图，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接、．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
2．如图，绕点A顺时针旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上．
(1)求的度数；
(2)F是延长线上一点，且，，如图2．求证：垂直平分．
3．如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接．
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
4．在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，，以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
5．如图，中，点E在边上，，将线段绕点A旋转到的位置，使得．连接，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
6．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
7．如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到，点、点、点共线．
(1)求证：；
(2)若正方形的周长为，．求的长．
8．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．

(1)判断的形状；
(2)求证：平分．
9．如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点．
(1)求证：；
(2)顺次连接，，，，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
10．如图，矩形中，，，为上一点，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，旋转角等于，过点作于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的长．
11．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______．
12．如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接．
(1)若，求的长；
(2)若D为的中点，求证：是等边三角形．
13．如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
14．如图，将绕顶点A逆时针旋转至．连接．

(1)若，，求的度数．
(2)若，求证．
15．如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
16．如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，
(1)求证：平分；
(2)若，求旋转角的度数．
17．如图1，在中，，D、E是边上的两点，且满足，以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，若，其他条件不变，探究之间的关系，并证明．
18．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．

(1)判断的形状；
(2)求证：平分．
19．如图，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B的对应点为点D，点C的对应点F落在边上，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
20．如图，中，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好在边上，边交边于点F．
(1)求证：；
(2)若，求点C到直线的距离．
21．如图，点O是等边内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接OD．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由．
22．已知是等腰直角三角形，，点D是平面内任意一点，绕着点C逆时针旋转到．
(1)如图①，若D为内一点，求证：；
(2)如图②，若D为边上一点，，求的长．
23．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边上．

(1)若，则______
(2)求证：平分；
(3)连接，判断线段与线段的位置关系，并说明理由．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，得出全等三角形判定的条件即可解决问题．
（2）根据全等三角形的性质，得出，进而得出，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：由旋转可知，
，，
，
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，
，．
是等腰直角三角形，
，，
．
又，
则在中，
，
故的长为．
2．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．
（1）根据旋转的性质得到，，再利用三角形内角和定理求解即可；
（2）先证明，推出，由旋转的性质得到，，根据线段垂直平分线的判定定理即可得解．
【详解】（1）解：由绕点A按顺时针方向旋转得到，
，
，
，
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴垂直平分．
3．(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
（1）证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）根据全等三角形的面积相等，将所求面积转化为等腰直角的面积，进而利用直角三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转性质得，，又，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形的面积为．
4．(1)，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析．
【分析】（）先根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用为等边三角形得到，，则可得到；
（）通过证明得到；
（）先判断为等边三角形得到，，再与（）的证明方法一样证明得到，所以，又，从而可判断四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵逆时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（3）证明：∵顺时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
（1）由旋转的性质可得，利用“”证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，进而得到的度数，再由全等三角形的性质得出，最后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵将线段绕点A旋转到的位置，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质，得出，，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案；
（2）根据（1），得出是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理，求出度数即可．
【详解】（1）证明：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，，
是等腰三角形，
∴，
，
即的度数为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
（1）先根据旋转的性质可得，，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）由旋转的性质可得，由全等三角形的性质得到，建立方程，根据勾股定理即可求解；
【详解】（1）证明：由旋转的性质，得，
，．
，，
，
，
又，，
．
（2）解：∵正方形的周长是，
，
，
，，
设，则．
，
，
在中，，
，
解得，
8．(1)等边三角形
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定，图形的旋转，旋转前后找到相应的等量关系是解答本题的关键．
（1）找到旋转前后等量关系，，即可判断的形状；
（2）由旋转关系，可以得到，，，并且为等边三角形，故可以证明，得到平分．
【详解】（1）解：绕点A逆时针旋转，
，，
为等边三角形；
（2）证明：绕点A逆时针旋转，
，，
，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
平分．
9．(1)证明见解析；
(2)能，．
【分析】（1）根据正方形的性质及选转的不变性证明和即可；
（2）由旋转得：，故当互相平分时，四边形为矩形，设，则，，，在中，由勾股定理得：，解方程即可．
【详解】（1）证明：连接
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，
故当互相平分时，四边形为矩形，
∵互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
设，则，，
由（1）知，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质：
（1）根据矩形的性质可得，再由，可得，然后根据旋转的性质可得，从而得到，可证明，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，，再由矩形的性质以及勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
由旋转性质知：，
，即，
在和中，，
，
；
（2）解：由（1）得：，
∴，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在中，．
11．(1)证明见解析
(2)，
【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键．
（1）推出，即可求证；
（2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解．
【详解】（1）解：，
，
即，
，，
；
（2）解：由题意可得：旋转中心是点，
旋转角为或，
∴旋转角的度数为．
故答案为：，
12．(1)；
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．
（1）由勾股定理求得，由旋转的性质得，，求得，再根据勾股定理即可求解；
（2）由旋转的性质推出是线段的垂直平分线，得到，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴；
（2）证明：由旋转的性质得，，
∵D为的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
13．(1)见解析
(2)18
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判断，旋转的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）先由等边三角形的性质得到，再由旋转的性质得到，再证明，即可证明；
（2）先推出，再证明是等边三角形，得到，则，即的周长是18．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质，得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的周长是18．
14．(1)
(2)见详解
【分析】本题主要考查旋转的性质及全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键；
（1）由旋转可知，则有，然后根据三角形内角和及旋转的性质可进行求解；
（2）由旋转可知，，然后问题可求证．
【详解】（1）解：由旋转可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：由旋转可知，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
15．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转性质，等腰三角形等边对等角等知识点．
（1）证明，从而可证明；
（2）由可知：，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：由题意可知：，，
∵，
∴，
在与中，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
16．(1)见解析
(2)
【分析】对于（1），根据旋转的性质可得，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答；
对于（2），设与交于点O，根据旋转的性质可得，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：如图：
由旋转得，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，设与交于点O，
由旋转得，，，
∵，
∴，
∴ .
∵，
∴.
∵是的一个外角，
∴，
∴，
解得：，
∴旋转角的度数为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知旋转前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键．
（1）先证明，再由旋转的性质得到，，则可证明，进而证明，从而证明；
（2）由垂直的定义得到，根据等边对等角得到，由旋转，得，，则，由勾股定理得到，由（1）得，则．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
由旋转得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转，得，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
18．(1)等边三角形
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定，图形的旋转，旋转前后找到相应的等量关系是解答本题的关键．
（1）依题意，将绕点逆时针旋转，得到，找到旋转前后等量关系，，即可判断的形状；
（2）由旋转关系，可以得到，，，并且为等边三角形，故可以证明，得到平分．
【详解】（1）解：绕点逆时针旋转，
，，
为等边三角形；
（2）证明：绕点逆时针旋转，
，，
，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
平分．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，再根据等腰直角三角形的性质即可证明；
（2）根据，，再结合，即可求出．，由旋转可知，则利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：将绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴根据旋转可知：，
∴在中，，
∴，
由旋转可知，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理等知识，充分利用勾股定理是解答本题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，可得到，进而得到，可得到，即可；
（2）过点C作于点G，则，根据旋转的性质可得，可得到，从而得到，再由直角三角形的性质，可得，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：根据题意得∶，．
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，过点C作于点G，则．
由旋转的性质得：．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴中，．
∴．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握图形旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)直角三角形，见解析
【分析】（1）由旋转得 ，，即可证明；
（2）由旋转得，根据是等边三角形，可，进而求得的度数即可得出结论．
【详解】（1）证明：由旋转得 ，，
∴是等边三角形；
（2）为直角三角形，理由如下：
当，由旋转得，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是利用旋转得到对应边相等、对应角相等．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件和旋转的性质，证明，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，以及勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵绕着点C逆时针旋转到，
∴．
∴，
即，
在和△中，，
∴（SAS），
∴．
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由题意得，根据旋转得，则即可求得；
（2）由旋转可得和，则有，得到，即可证明结论；
（3）由旋转得和，则有和，进一步求得，结合，即可求得，故．
【详解】（1）解：∵，
∴，
根据旋转得，则，
∴．
故答案为：；
（2）解：由旋转可得，，
∴，
∴，
∴平分
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义以及垂直定义，解题的关键是熟悉旋转的性质和等腰三角形的性质．
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