人教版九年级上册数学第二十四章圆单元试题（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十四章圆单元试题
一、单选题
1．如图，是的直径，弦，垂足为，若，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，半径，是圆上，之间的一点，，与相交于点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则下列结论中错误的是( )
A． B．
C． D．点是的外心
4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接，将绕原点O逆时针旋转，扫过的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的直径垂直于弦，垂足是，，若点平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，分别切于A，B，，则等于（）
A． B． C． D．
9．如图，内接于，是的直径，点是圆上一点，连接，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为6，高为8的圆锥形漏斗模型(如图)，则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，的半径为4，弦长为，C是上一点（不同于A，B），则的度数是 ．
12．如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
13．弧长为，所在圆的半径是6，则弦所对的圆周角为 ．
14．是的弦，切于点，经过圆心．若，则 ．
15．如图，已知、是的两条弦，且，，，分别连接、并延长，两线相交于点，若，则的半径为 ．
16．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点不与点重合，则的度数为 ．
17．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为 ．
18．用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积为 ．
19．如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ．
20．四边形内接于，连接、、，若，则 ．
三、解答题
21．如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线．
22．如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点．
(1)若的半径为5，，则______，______；
(2)若，，求的半径．
23．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
(1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数；
(2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度．
24．如图，点，，，在以为直径的上，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
25．如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点F，作于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的边长为2，求的长度．
26．如图，为⊙的直径，、为⊙上不同于、的两点，，过点作交的延长线于点，直线与交于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)填空：
①若，当时，______；
②当的度数为______时，四边形是菱形．
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参考答案：
1．B
【分析】本题主要考考查了垂径定理和勾股定理．作辅助线构成直角三角形，熟练掌握定理，是解决问题的关键．
连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求得半径为5．
【详解】解：连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角，先求出，再由圆周角定理得出，最后由等边对等角即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线，
，，
，
，
．
，
，
A正确，C错误；
，，
，
点为的外心，故D正确；
，，
，故B正确．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查旋转的性质，坐标与图形，扇形面积公式，根据题意得到扫过的扇形半径和圆心角，再利用扇形面积公式求解，即可解题．
【详解】解：点A的坐标为，
，
绕原点O逆时针旋转，
扫过的面积为，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，根据圆周角定理求出，，求出和，再求出答案即可．
【详解】解：连接，
，，
，，
，，
，
故选：B．
6．B
【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到是等边三角形，得到，求出，因此，由圆周角定理推出，求出，得到．
【详解】解：如图，连接，
的直径垂直于弦，点平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是中点，，
，
，
是圆的直径，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，圆周角定理，关键是由含角的直角三角形的性质求出的长，即可得到的长．
7．B
【分析】本题考查了拱高的定义，垂径定理，勾股定理；圆心为，连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；理解拱高的定义，能结合垂径定理熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
【详解】解：圆心为，连接，
设，
，
，
，
在中，
，
，
解得：；
；
故选：B．
8．B
【分析】本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度，圆周角定理求解．
连接、，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数．
【详解】解：解：连接、，
∵、分别切于点、，
∴，
∴，
∵，
，
，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，圆周角定理；由圆的基本性质得，，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质即可求解；掌握圆周角定理和圆的基本性质是解题的关键．
【详解】解：是的直径，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可．
【详解】解：，，
，
这个圆锥漏斗的侧面积．
故选：C．
11．或
【分析】本题考查圆周角定理，分点在优弧和劣弧上两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：连接，则：，
∵，
∴，
∴，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，；
故答案为：或．
12．
【分析】本题主要考查了扇形的面积．先求出六边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可求出．
【详解】解：六边形的内角和为，
所以图中阴影部分的面积为．
故答案为：
13．或
【分析】本题考查弧长公式、圆周角定理、圆内接四边形性质等知识，根据弧长公式，列方程求出圆心角，再由弦所对的圆周角有两种情况，分类求解即可得到答案，熟记弧长公式、圆周角定理、圆内接四边形性质是解决问题的关键．
【详解】解：弧长为，所在圆的半径是6，
，解得，这个是所对的圆心角，
弦所对的圆周角有两种情况，
由圆周角定理可得所对的圆周角为；再由圆内接四边形性质可得弦所对的另一个圆周角为，
综上所述：弦所对的圆周角为或，
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了圆的切线的性质，一般作法是：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；同时要熟练掌握圆的切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．连接，根据切线性质得，再由三角形的内角和求出的度数，并根据同圆的半径相等求出结论．
【详解】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理和含角的直角三角形的性质．连接，根据，可知为直径，所以，根据，得，，所以，再根据勾股定理得，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
为直径，
，
，，，
，，则，
，
在中，，
，
，
的半径为．
故答案为：．
16．/36度
【分析】连接，，根据正五边形的性质可知的度数，再根据圆周角的定理即可解答．本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数．
【详解】解：如图，连接，，
∵是正五边形，
∴，
∴，
故答案为：．
17．/度
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先由切线的性质得到，则由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．根据扇形面积公式求出扇形面积，扇形弧长及底面圆的半径，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答即可．
【详解】解：扇形面积，
则这个圆锥的侧面积为，
设底面圆的半径为，
∴，
解得：，
圆锥的底面积为：，
∴这个圆锥的全面积为，
故答案为：
19．
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键．
作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点．
此时最小，且等于的长.
连接,
，
∴，
∴弧的度数是，
则弧的度数是 ，
根据垂径定理得弧的度数是：，
则
又，
则
故答案为：．
20．/20度
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据圆内接四边形对角互补，得到，再由圆周角定理，得到，然后利用等边对等角的性质求解即可．
【详解】解：四边形内接于，，
，
，
，
，
故答案为：
21．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案；
（2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
22．(1)；
(2)
【分析】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理及推论是解题的关键；
(1)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解；
(2)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解；
【详解】（1）解：如图，连接
是的直径，是的中点，
，
，
，
，
，
（2）解：是的直径，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
故的半径为
23．(1)
(2)这根绳子的最短长度为
【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离．
本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题．
【详解】（1）解： 设的度数为，
底面圆的周长等于，
解得．
（2）解：连接，过作于，
∴，
∵由（1）得
∴
∵
则
由，
∴，
∴，
∴，
即这根绳子的最短长度是．
24．(1)见解析
(2)10
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角性质、三角形中位线定理、垂径定理、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）连接，由是的直径得到，由圆内接四边形对角互补得到，进一步证明，即可得到结论；
（2）过点C作交于点F，连接，与相交于点H，证明，由垂径定理得到，，则，证明是的中位线，则，设的半径为r，则在中，，在中，，则，在中，，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴；
（2）解：过点C作交于点F，连接，与相交于点H，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
设的半径为r，则
∴，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得（不合题意，舍去），
∴

25．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）连接，根据等边三角形的性质求出，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接，根据等边三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
【详解】（1）解：证明：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴于点D．
∵点D在上，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接，
∵为直径，
∴．
∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
26．(1)见解析
(2)①1；②
【分析】（1）连接，如图，由于，则根据三角形外角性质得，而，所以，根据平行线的判定得到平行，再得到，然后根据切线的判定定理得为的切线；
（2）①由平行线分线段成比例可得，即可求的长；②根据三角形的内角和得到，根据等腰三角形的性质得到，连接，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，由菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
为的切线；
（2）解：∵，
，
，
∵，
，
，
故答案为：；
当的度数为时，四边形是菱形，理由如下：
，
，
，
，
，
连接，
是的直径，
，而，
∴，
，
在与中，
，
≌，
，
，
∵，
四边形是菱形．
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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