人教版九年级上册数学第二十四章圆证明题训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十四章圆证明题训练
1．如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：是的切线．
2．如图，是的直径，点是上一点，连接并延长，交过点的切线于点，点是弧上一点，连接，，．
(1)求证：；（请用两种方法解答）
(2)连接，交于点，若垂直平分，，求四边形的面积．
3．如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过点A、E的分别交、于点D、F，连接交于点M．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
4．如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，
(1)求证：是的切线；
(2)直线与交于点，且，，求的半径．
5．如图，已知等边中，．以为直径的半圆与边相交于点D．过点D作，垂足为E；过点E作，垂足为F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长；
6．如图，点，，，在以为直径的上，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
7．如图，四边形内接于，，，垂足为．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
8．如图，弦，相交于点P，．
(1)求证：；
(2)若连接恰是的直径，且，则 ．
9．如图所示，在四边形中，，，以为直径的切于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
10．如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．
(1)求证：是圆O的切线；
(2)若，，求圆O的半径．
11．如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
12．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
13．如图，为的切线，A为切点．直线与交于B、C两点，，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的半径．
14．如图，四边形是平行四边形，以为直径的经过点D，与交于点E．连接，．作，与的延长线交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)求的度数．
15．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
16．如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
17．如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，，求的长．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
18．如图，为的直径，半径于点O，的弦与相交于点F，的切线交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若的半径为3，且，求的长．
19．如图，在中，，以为直径的交于点，切线交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
20．如图，是的直径，是的中点，于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径及的长．
21．如图，已知为的直径，，交于点D，交于点E，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
22．如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点．
(1)求证：；
(2)若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由．
23．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长．
24．如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E．
(1)求证：；
(2)求证：．
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参考答案：
1．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据可得，然后证明，根据全等三角形的性质可得答案；
（2）连接，首先证明，再根据三角形内角和定理和圆周角定理求出，然后计算出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切线的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)
【分析】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）证明思路一：由切线的性质得，则，由，得，则；
证明思路二：连接，则，由切线的性质得，则，所以，则，因为，所以；
（2）连接，由垂直平分，得，，，可证明和都是等边三角形，则是等边三角形，进而证明四边形是菱形，由，得，则，求得，则．
【详解】（1）证明方法一：是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
；
证明方法二：如图1，连接，则，
是的直径，与相切于点，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，
垂直平分，
，，，
，
，，
和都是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
四边形的面积是．
3．(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查切线的判定和勾股定理，熟练掌握切线的判定定理和勾股定理是解题的关键．
（1）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出即可；
（2）设，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
平分交于点，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
解得，
，
即圆的半径为3．
4．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据切线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，即，
解得：，
的半径为3．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和等边三角形的性质是解答的关键．
（1）先证明是等边三角形得到，则，根据平行线的性质证明，然后利用切线的判定可证得结论；
（2）先根据等边三角形的性质得到，进而，在中和在中，利用含30度角的直角三角形的性质分别求得，，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
6．(1)见解析
(2)10
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角性质、三角形中位线定理、垂径定理、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）连接，由是的直径得到，由圆内接四边形对角互补得到，进一步证明，即可得到结论；
（2）过点C作交于点F，连接，与相交于点H，证明，由垂径定理得到，，则，证明是的中位线，则，设的半径为r，则在中，，在中，，则，在中，，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴；
（2）解：过点C作交于点F，连接，与相交于点H，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
设的半径为r，则
∴，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得（不合题意，舍去），
∴

7．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
（1）根据垂径定理得到垂直平分，，则，利用圆内接四边形的性质即可得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，再根据圆周角定理得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：延长交于点H，
∵，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
，
四边形是的内接四边形，
，
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，，再结合可得答案；
（2）证明，可得，证明，可得，再进一步可得答案．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．
9．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，垂径定理及推论，矩形的判定及性质等；
（1）连接交于点，由矩形的判定方法得四边形是矩形，由切线的性质得，由垂径定理的推论即可得证；
（2）由垂径定理得，由勾股定理得，可求出的长， 由勾股定理得，即可求解；
掌握切线的性质，垂径定理及推论，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图所示，连接交于点，
是直径，
．
又，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
是矩形．
切于点，
∴，且，
，
．
（2）解：由（1）知，
，
，
，
在中，
，
，
，
．
在中，
．
10．(1)见解析
(2)圆O的半径为
【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理可得出，再利用平行线的性质就可证明是圆O的切线．
（2）利用特殊角度，根据直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，由两直线平行同位角相等，可得出，从而求得，得到是等边三角形，即可求圆O的半径．
【详解】（1）证明：连接，
∵D是的中点，O为的中点，
∴．
又∵，
∴
∴
∴，
∵为圆O的半径，
∴是圆O的切线．
（2）解：连接，
∵是圆O的直径，
∴
∴是直角三角形．
∵，，
∴
∴ ．
∵，
∴，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴，
即圆O的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，熟练掌握证明某线是圆的切线的常用方法：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
11．(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键．
（1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得；
（2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到．
【详解】（1）证明：∵连接，则，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
12．(1)见解析
(2)的半径为2
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
（1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论；
（2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，为半径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为2．
13．(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由可得出，则，那么；根据已知条件我们不难得出，这样就凑齐了角边角，那么两三角形就全等了．
（2）根据切线的性质得在中，，，结合勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：为的切线，
．
又，
，
，
，
，
，
，
．
又为直径，
，
．
（2）解：∵为的切线，A为切点．
∴在中，，，
∴设，
则
解得
即⊙O的半径为1．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质、切线的判定和性质以及圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接．先得出，进而得出，则，即可得出，即可得出结论；
（2）连接，先推出，得出，再根据，得出，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
在平行四边形中
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理即可得证；
（2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：如答图，连接，
∵为直径，
∴，
即．
又∵，，
∴，
∴，
即．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∵，，，
∴
∴，
∴．
∵，是的直径，
∴是的切线．
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
解得．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了判定直线是圆的切线的判定、切线的性质定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可证明结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出的长，勾股定理求出，如图：连接，过点O作于点H，根据等面积法可得，勾股定理求出，最后根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，
∵与相切于点D，
∴，
∵是等腰直角三角形，，O为的中点，
∴，
∴，即是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
如图：连接，过点O作于点H，
∴，
∴，
∵，
∴.
17．(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线．
（2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x．
（3）根据求解即可．
【详解】（1）证明：∵与相切于点A，
∴，
∵平分，，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为2，
∴，
∵，，
∴，，
∵，都是的切线，
∴设，则，
∴在中
，即，
解得，
∴．
（3）在中，，，
∴，，
∴，
∴，
，，
∴
【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，角平分线的性质定理，勾股定理以及求不规则图形的面积等知识．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的判定和性质：
（1）连接，根据与相切、半径以及，即可证得，从而证得；
（2）设，根据勾股定理得，求出x，即可求得的长．
【详解】（1）证明：如答图，连接．
∵切于点C，
∴，即．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：设，
则，，
在中，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
∴在中，
．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）连接，证明，即可求解；
（）连接，根据切线长定理可得，则，根据圆周角定理可得，由勾股定理可求出，设，，在中，，在中，，则 ，解方程即可解决问题；
本题考查了切线的性质定理，切线长定理，同角的余角相等，勾股定理，理解题意，作出辅助线，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图, 连接，
由（）知，，
∵为的直径，，
∴是的切线，，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴ ，
设，，
在中，，即，
在中， 即，
∴，
解得：，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)半径为，BF为
【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，根据直径所对的圆周角是直角得，再结合，可得出，即可得证；
（2）根据圆心角、弧、弦之间的关系得，在中，得，得出的半径，再根据，得，继而得到，设，则，在中，根据勾股定理得出，
解得：，即可得解．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
在中，，
∴的半径为，
∵，
∴，
在中，，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的半径为，的长为．
【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆心角、弧、弦之间的关系，直角三角形两锐角互余，等角对等边，勾股定理，等积法等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键．
21．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质：
（1）根据为的直径，可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，即可求解；
（2）根据为的直径，可得，再由等腰三角形的性质，即可求证．
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴（等腰三角形“三线合一”）．
22．(1)详见解析
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】(）连接，根据切线的判定及切线的性质可知，，再根据切线长的定理及余角的定义，最后利用等腰三角形的判定及等量代换解答即可．
（）根据正方形的性质可知是等腰直角三角形。再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
∵是直径，，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴．
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵当以点为顶点的四边形是正方形时，，
∴是直角三角形，
由（1）可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理、圆周角定理，等腰三角形的性质及判定，等腰直角三角形的性质，余角的定义及性质，正方形的性质，连接得垂直，构造出等腰三角形，利用“等角的余角相等”是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，证明，得出，从而得出，即可得证；
（2）证明是等边三角形，得出，从而得出，求出，再证明，即可得解．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答；
（2）利用切线的性质可得，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，再利用（1）的结论可得，然后可证，最后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
；
（2）证明：与相切于点C，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形性质，平行线的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
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