人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程单元试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程单元试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-11 07:21:01 | ||
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文档简介
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人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
4．若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为( )
A．或 B． C． D．或
5．定义一种新运算“”，对于任意实数，，则有，如．若是关于的方程，则方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．已知，是方程的两个根，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步，”设阔（宽）为x步，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知m，n是方程的两个根，且，则一次函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．设口罩日产量的月平均增长率为，则值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．若方程经配方法转化成，则的值是 ．
12．一个三角形的两边长为和，第三边长是方程的解，则三角形的周长为 ．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．若a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
15．某服装厂一月份口罩产量是100万只，三月份口罩产量是121万只，设二、三月份的月平均产量增长率为x，根据题意可得方程为 ．
16．如果α、β是一元二次方程的两个根，那么α与β的和是 ．
17．已知，且，则 ．
18．某超市一月份的营业额为万元，已知第一季度的总营业额共万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为 ．
19．若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ．
20．如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖长方体铁盒．设正方形的边长为，则可列方程为 ，剪去的正方形的边长为 ．
三、解答题（共30分）
21．解方程
(1)（配方法） (2)（公式法）
(3) (4)
22．已知关于x的方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为，求代数式的值．
23．小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下：
移项，得 第一步
配方，得， 第二步
整理，得 第三步
所以 第四步
(1)小明的解答过程是从第_______步开始出错的，其错误原因是_________________；
(2)请写出此题正确的解答过程．
24．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)若，求m的值．
(2)已知等腰的一个边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
25．如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根．
(1)试判断的形状；
(2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？
26．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
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参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：．
【详解】解：、中，没有说明，此选项不符合题意；
、中，有个未知数，此选项不符合题意；
、整理后得是一元一次方程，此选项不符合题意；
、是一元二次方程，此选项符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
故选：D．
3．D
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
4．D
【分析】本题考查完全平方公式的运用，根据完全平方式的特点，进行求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴或，
∴或；
故选D．
5．C
【分析】本题考查了新定义，以及根的判别式，根据题意列出的方程，再列出根的判别式，根据根的判别式大小进行判断即可解题．
【详解】解：由题可得：，
，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可．若一元二次方程的两个根为，则，．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系可得，，再将化简为再代入和的值即可解题．
【详解】解：，是方程的两个根，
，，
，
将，代入得：原式，
代数式的值为，
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了解一元二次方程以及一次函数图象与系数的关系，通过解一元二次方程可得出，的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出函数的图象经过第一、二、三象限，即可解题．
【详解】解：由一元二次方程可得：，
或，
解得：，，
，n是方程的两个根，且，
，，
一次函数为，
，，
一次函数交轴交于正半轴，随的增大而增大，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设口罩日产量的月平均增长率为，则2月份的平均日产量达到个，3月份的平均日产量达到个，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设口罩日产量的月平均增长率为，
由题意得，，
解得或（舍去），
故选：D．
11．
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．利用完全平方公式把变形为一般式，从而得到的值．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
12．9
【分析】利用因式分解法求出方程的解即可知第三边，进而可知三角形的周长．本题考查了解一元二次方程—因式分解法，三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴分解因式得：，
解得：或，
∵当时，，，不能构成三角形，
∴舍去；
∵当时， 可以构成三角形，
∴是三角形的第三边长，
∴三角形的周长为，
故答案为：．
13．且
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题．
【详解】解：根据题意得：，且，
解得：且，
故答案为：且．
14．2
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元二次方程的解，求代数式的值，运用了整体代入的思想．先根据一元二次方程根的定义得到，则化为，再利用根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2．
15．
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．某服装厂一月份的口罩产量是100万个，则二月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，根据三月份的口罩产量是121万个，列出方程即可．
【详解】解：根据题意得．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由根与系数的关系直接可解．掌握根与系数的关系：、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键．
【详解】解：，是方程的两个根，
，
故答案：．
17．3或/或3
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
把看作关于的一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴方程两边同时除以，可得．
令，则，化简得，
解得：或，
即或，
故答案为：3或．
18．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．可以先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：一月份的营业额为万元，平均每月增长率为，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程为，
即，
故答案为：．
19．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出k的值．先根据一元二次方程的定义求出k的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【详解】解：是一元二次方程，
且，
解得：且，
，
原不等式为：，即
∴，
故答案为：．
20．
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设正方形的边长为，则铁盒的底面长为，宽为，根据“底面积是”即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设正方形的边长为，根据题意，得
，
解得：，（不合题意，舍去）
∴剪去的正方形的边长为．
故答案为：；
21．(1)，
(2)，
(3)，
(4)原方程无解．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）根据判别式得到，进而得到原方程无解．
【详解】（1）
∴
∴，；
（2）
，，
∴
∴
∴，；
（3）
∴或
∴，；
（4）
，，
∴
∴原方程无解．
22．(1)见解析
(2)0
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得，，，
∴
．
23．(1)一；移项没有变号
(2)见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式计算是解题的关键．
（1） 分析解题步骤不难发现，在第一步中常数项在移项后没有变号，导致求解过程出错；
（2）先移项，再把方程两边加上，利用完全平方公式得到，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：分析题目中给出的解题步骤可以发现，在第一步中，原方程常数项在移至等号右侧后没有改变符号，导致整个求解过程出错；
（2）解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
开平方得：，
∴，．
24．(1)5
(2)17
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
（1）根据判别式的意义可得，再根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可；
（2）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去．
【详解】（1）解：根据题意得：，解得，
，，
，即，
，
解得，，
而，
的值为5；
（2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，则，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
25．(1)是直角三角形；
(2)当点出发或时，四边形的面积为．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由根的判别式可得，由勾股定理的逆定理可求解；
（2）可证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：关于的方程有两个相等的实数根，
△，
，
是直角三角形；
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的面积，
或5，
当点出发或时，四边形的面积为．
26．(1)，
(2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
(3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．
【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
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人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
4．若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为( )
A．或 B． C． D．或
5．定义一种新运算“”，对于任意实数，，则有，如．若是关于的方程，则方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．已知，是方程的两个根，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步，”设阔（宽）为x步，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知m，n是方程的两个根，且，则一次函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．设口罩日产量的月平均增长率为，则值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．若方程经配方法转化成，则的值是 ．
12．一个三角形的两边长为和，第三边长是方程的解，则三角形的周长为 ．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．若a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
15．某服装厂一月份口罩产量是100万只，三月份口罩产量是121万只，设二、三月份的月平均产量增长率为x，根据题意可得方程为 ．
16．如果α、β是一元二次方程的两个根，那么α与β的和是 ．
17．已知，且，则 ．
18．某超市一月份的营业额为万元，已知第一季度的总营业额共万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为 ．
19．若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ．
20．如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖长方体铁盒．设正方形的边长为，则可列方程为 ，剪去的正方形的边长为 ．
三、解答题（共30分）
21．解方程
(1)（配方法） (2)（公式法）
(3) (4)
22．已知关于x的方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为，求代数式的值．
23．小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下：
移项，得 第一步
配方，得， 第二步
整理，得 第三步
所以 第四步
(1)小明的解答过程是从第_______步开始出错的，其错误原因是_________________；
(2)请写出此题正确的解答过程．
24．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)若，求m的值．
(2)已知等腰的一个边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
25．如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根．
(1)试判断的形状；
(2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？
26．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
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参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：．
【详解】解：、中，没有说明，此选项不符合题意；
、中，有个未知数，此选项不符合题意；
、整理后得是一元一次方程，此选项不符合题意；
、是一元二次方程，此选项符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
故选：D．
3．D
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
4．D
【分析】本题考查完全平方公式的运用，根据完全平方式的特点，进行求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴或，
∴或；
故选D．
5．C
【分析】本题考查了新定义，以及根的判别式，根据题意列出的方程，再列出根的判别式，根据根的判别式大小进行判断即可解题．
【详解】解：由题可得：，
，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可．若一元二次方程的两个根为，则，．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系可得，，再将化简为再代入和的值即可解题．
【详解】解：，是方程的两个根，
，，
，
将，代入得：原式，
代数式的值为，
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了解一元二次方程以及一次函数图象与系数的关系，通过解一元二次方程可得出，的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出函数的图象经过第一、二、三象限，即可解题．
【详解】解：由一元二次方程可得：，
或，
解得：，，
，n是方程的两个根，且，
，，
一次函数为，
，，
一次函数交轴交于正半轴，随的增大而增大，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设口罩日产量的月平均增长率为，则2月份的平均日产量达到个，3月份的平均日产量达到个，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设口罩日产量的月平均增长率为，
由题意得，，
解得或（舍去），
故选：D．
11．
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．利用完全平方公式把变形为一般式，从而得到的值．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
12．9
【分析】利用因式分解法求出方程的解即可知第三边，进而可知三角形的周长．本题考查了解一元二次方程—因式分解法，三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴分解因式得：，
解得：或，
∵当时，，，不能构成三角形，
∴舍去；
∵当时， 可以构成三角形，
∴是三角形的第三边长，
∴三角形的周长为，
故答案为：．
13．且
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题．
【详解】解：根据题意得：，且，
解得：且，
故答案为：且．
14．2
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元二次方程的解，求代数式的值，运用了整体代入的思想．先根据一元二次方程根的定义得到，则化为，再利用根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2．
15．
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．某服装厂一月份的口罩产量是100万个，则二月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，根据三月份的口罩产量是121万个，列出方程即可．
【详解】解：根据题意得．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由根与系数的关系直接可解．掌握根与系数的关系：、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键．
【详解】解：，是方程的两个根，
，
故答案：．
17．3或/或3
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
把看作关于的一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴方程两边同时除以，可得．
令，则，化简得，
解得：或，
即或，
故答案为：3或．
18．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．可以先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：一月份的营业额为万元，平均每月增长率为，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程为，
即，
故答案为：．
19．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出k的值．先根据一元二次方程的定义求出k的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【详解】解：是一元二次方程，
且，
解得：且，
，
原不等式为：，即
∴，
故答案为：．
20．
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设正方形的边长为，则铁盒的底面长为，宽为，根据“底面积是”即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设正方形的边长为，根据题意，得
，
解得：，（不合题意，舍去）
∴剪去的正方形的边长为．
故答案为：；
21．(1)，
(2)，
(3)，
(4)原方程无解．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）根据判别式得到，进而得到原方程无解．
【详解】（1）
∴
∴，；
（2）
，，
∴
∴
∴，；
（3）
∴或
∴，；
（4）
，，
∴
∴原方程无解．
22．(1)见解析
(2)0
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得，，，
∴
．
23．(1)一；移项没有变号
(2)见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式计算是解题的关键．
（1） 分析解题步骤不难发现，在第一步中常数项在移项后没有变号，导致求解过程出错；
（2）先移项，再把方程两边加上，利用完全平方公式得到，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：分析题目中给出的解题步骤可以发现，在第一步中，原方程常数项在移至等号右侧后没有改变符号，导致整个求解过程出错；
（2）解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
开平方得：，
∴，．
24．(1)5
(2)17
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
（1）根据判别式的意义可得，再根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可；
（2）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去．
【详解】（1）解：根据题意得：，解得，
，，
，即，
，
解得，，
而，
的值为5；
（2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，则，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
25．(1)是直角三角形；
(2)当点出发或时，四边形的面积为．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由根的判别式可得，由勾股定理的逆定理可求解；
（2）可证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：关于的方程有两个相等的实数根，
△，
，
是直角三角形；
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的面积，
或5，
当点出发或时，四边形的面积为．
26．(1)，
(2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
(3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．
【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
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