九年级数学上点拨与训练 第二十一章 一元二次方程小结与复习 同步学案（含解析）

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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
小结与复习
老师告诉你
一元二次方程题型非常广泛，常见有一元二次方程的解，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用等，只要掌握了不同类型的题的特点，就可以使问题变的简单明了，本章热点概括为两个概念、一个解法、两个关系、一个应用、三种思想。
一、专题导航
二、考点点拨
考点1 两个概念
概念1一元二次方程的定义
典例剖析1
典例1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______________.
针对练习1
1．已知是关于x的一元二次方程，则___________.
2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
3．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )
A.±3 B.3 C.-3 D.都不对
概念2一元二次方程的根
典例剖析2
典例2．若关于x的一元二次方程有一个根是1,则m的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.
针对练习2
1．已知关于x的一元二次方程.
（1）若.求证：必是该方程的一个根.
（2）当a，b，c之间的关系是_________时，方程必有一根是.
2．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值.
3．若是关于x的方程的解，则的值为__________.
考点2 一个解法----一元二次方程的解法
典例剖析3
典例3．用适当的方法解下列方程.
（1）；
（2）；
（3）.
针对练习3
1．解方程：
（1）(公式法)；
（2）(配方法)；
（3）；
（4）.
2．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
二次系数化为1，得………………………………第一步移项，得.……………………………………第二步配方，得，即……………………第三步由此，可得……………………………………第四步所以，，……………………第五步
任务：
（1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是，其中“配方法”所依据的一个数学公式是；
（2）“第二步”变形的依据是；
（3）上面小明同学解题过程中，从第____步开始出现错误，请直接写出正确的解；
（4）请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见.
3．阅读下面的材料，回答问题：
要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做：
解析：设，
那么，
于是原方程可变为，
解得，.
当时，，
；
当时，，
；
原方程有四个根，，，.
我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法.
任务：
（1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是( )
A.分类讨论思想 B.转化思想 C.数形结合思想 D.公理化思想
（2）仿照上面的方法，解方程；
（3）若实数m、n满足，则的值是__________.
考点3 两个关系
关系1一元二次方程的根与判别式的关系
典例剖析4
典例4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A. B.,且 C.,且 D.
针对练习4
1．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上对应的点如图所示，则这个方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
3．关于x的一元二次方程有实根，则m的最大整数解是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长.
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
关系2一元二次方程根与系数的关系
典例剖析5
典例5．如果x、y是两个实数()且,,则的值等于( )
A. B. C. D.2023
针对练习5
1．若与是方程的两个实数根,则_________.
2．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）设方程的两个根分别为，，且，若，求m的值.
3．阅读材料：材料1 若一元二次方程的两根为、，则，
材料2：已知实数、满足、，且，求的值.
解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，
根据上述材料解决下面问题：
（1）一元二次方程的两根为、，则=_____,=_____.
（2）已知实数、满足、，且，求的值.
（3）已知实数、满足、，且，求的值.
4．已知，是一元二次方程的两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.
考点4 一个应用---一元二次方程的应用
典例剖析6
典例6．如图,老李想用长为的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈,并在边上留一个宽的门(建在处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由.
针对练习6
1．某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元？
2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人.
（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？
.
3．某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛.计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.
（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？
（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？
4．甲、乙两个机器人分别从相距70米的A，B两个位置同时出发，相向运动.甲第1分钟走了2米，且以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米.
（1）甲、乙开始运动多少分钟后第一次相遇？
（2）如果甲、乙到达B或A后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续按照每分钟5米的速度行走，那么它们开始运动多少分钟后第二次相遇？
考点5 三种思想
思想1 整体思想
典例剖析7
典例7．若α，β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　）
A. 2005 B. 2003 C. -2005 D. 4010
针对练习7
1．已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 12 D. 15
2．已知m,n是一元二次方程x2+3x-6=0的两个根，则m2+mn+3m的值为（　　）
A. 0 B. 3 C. 6 D. 13
3．阅读材料，解答问题：
已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
已知实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,则a+b=_____，ab=_____；
（2）间接应用：
在（1）的条件下，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数m,n满足：，n2-n=7且mn≠-1，求的值．
4．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2-13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4-5x2+6=0的解为 _____；
（2）间接应用：
已知实数a,b满足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m,n满足：+=7，n2-n=7且n＞0，求+n2的值．
思想2 转化思想
典例剖析8
典例8．已知关于y的一元二次方程（m+1）y2-3my-9=0的根都是整数，且m满足等式，则满足条件的所有整数m的和是（　　）
A. -5 B. -4 C. 0 D. -6
针对练习8
1．一张桌子的桌面长为6m,宽为4m,台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同．求这块台布的长和宽．
2．如图，在宽为20m,长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米？
3．在北京2008年第29届奥运会前夕，某超市在销售中发现：奥运会吉祥物“福娃”平均每天可售出20套，每件盈利40元．为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？
思想3 分类讨论思想
典例剖析9
典例9．定义：已知,是关于x的一元二次方程的两个实数根,若,且,则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为,,因,,所以一元二次方程为“限根方程”.
请阅读以上材料,回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”,并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”,且两根、满足,求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”,求m的取值范围.
针对练习9
1．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两根的和比两根的积大1，求k的值；
（3）若的两边a，b的长是这个方程的两个实数根，第三边c的长为2，当是等腰三角形时，求k的值.
2．已知关于x的方程.
(1)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
(2)当m为何实数时，方程有实数根；
(3)若，是方程的两个根，且，试求实数m的值.
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
小结与复习
老师告诉你
一元二次方程题型非常广泛，常见有一元二次方程的解，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用等，只要掌握了不同类型的题的特点，就可以使问题变的简单明了，本章热点概括为两个概念、一个解法、两个关系、一个应用、三种思想。
一、专题导航
二、考点点拨
考点1 两个概念
概念1一元二次方程的定义
典例剖析1
典例1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______________.
答案：
解析：方程是关于x的一元二次方程，
，
解得，
故答案为：.
针对练习1
1．已知是关于x的一元二次方程，则___________.
答案：-1
解析：方程是关于x的一元二次方程，
，，
解得：.
故答案为： 1.
2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
答案：B
解析：由题意得：，解得.
故选：B.
3．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )
A.±3 B.3 C.-3 D.都不对
答案：C
解析：由题意得：，且，
解得：.
故选：C.
概念2一元二次方程的根
典例剖析2
典例2．若关于x的一元二次方程有一个根是1,则m的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.
答案：B
解析：把代入方程得：,解得：.
故选B.
针对练习2
1．已知关于x的一元二次方程.
（1）若.求证：必是该方程的一个根.
（2）当a，b，c之间的关系是_________时，方程必有一根是.
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：，，
当时，，
必是该方程的一个根.
（2）当时，，
当时，方程必有一根是.
故答案为.
2．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值.
答案：实数a是一元二次方程的一个根，
，
，
.
3．若是关于x的方程的解，则的值为__________.
答案：2019
解析：把代入方程，得，即，则原式.
考点2 一个解法----一元二次方程的解法
典例剖析3
典例3．用适当的方法解下列方程.
（1）；
（2）；
（3）.
答案：（1），
（2），
（3），
解析：（1）
，
或，
，；
（2）
或，
，；
（3）
或
，.
针对练习3
1．解方程：
（1）(公式法)；
（2）(配方法)；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2），
（3），
（4），
解析：（1），
，
解得，，
，；
（2），
，
，
解得，
，；
（3），
，
，
或，
解得，，；
（4），
，
，
，
或，
解得，，.
2．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
二次系数化为1，得………………………………第一步移项，得.……………………………………第二步配方，得，即……………………第三步由此，可得……………………………………第四步所以，，……………………第五步
任务：
（1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是，其中“配方法”所依据的一个数学公式是；
（2）“第二步”变形的依据是；
（3）上面小明同学解题过程中，从第____步开始出现错误，请直接写出正确的解；
（4）请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见.
答案：（1）转化；完全平方公式
（2）等式的基本性质
（3）三；，；
（4）移项要变号
解析：（1）小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式；
故答案为：转化；完全平方公式（或填）；
（2）“第二步”变形的依据是等式的性质1；
故答案为：等式的性质1；
（3）上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误；
正确的解是：
配方，得，
即，
，，
故答案为：三；，；
（4）解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简（答案不唯一）.
3．阅读下面的材料，回答问题：
要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做：
解析：设，
那么，
于是原方程可变为，
解得，.
当时，，
；
当时，，
；
原方程有四个根，，，.
我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法.
任务：
（1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是( )
A.分类讨论思想 B.转化思想 C.数形结合思想 D.公理化思想
（2）仿照上面的方法，解方程；
（3）若实数m、n满足，则的值是__________.
答案：（1）B
（2），，，
（3）4
解析：（1）B.
（2）原方程可以变形为，
设，则原方程可化为，
解得，.
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根，，，.
或：设，则原方程可化为，即，
解得，.
当时，，；
当时，，.
原方程有四个根，，，.
（3）4.
考点3 两个关系
关系1一元二次方程的根与判别式的关系
典例剖析4
典例4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A. B.,且 C.,且 D.
答案：B
解析：∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根,
∴,即,
解得：且.
故选：B.
针对练习4
1．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上对应的点如图所示，则这个方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
答案：A
解析：由题中数轴得，，，，，
方程有两个不相等的实数根.故选A.
2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
答案：C
解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，，，.故选C.
3．关于x的一元二次方程有实根，则m的最大整数解是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：C
解析：关于x的一元二次方程有实根，
且，
解得：且，
m的最大整数解为4，
故选C.
4．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长.
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
（1）答案：是等腰三角形，理由见解析
解析：是等腰三角形；
理由：是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）答案：是直角三角形，理由见解析
解析：方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形；
（3）答案：，
解析：当是等边三角形，
，可整理为：，
，
解得：，.
关系2一元二次方程根与系数的关系
典例剖析5
典例5．如果x、y是两个实数()且,,则的值等于( )
A. B. C. D.2023
答案：C
解析：∵,
∴,
∴,而,,
∴x,是方程的两个根,
∴,,
∴；
故选C.
针对练习5
1．若与是方程的两个实数根,则_________.
答案：4
解析：∵与是方程的两个实数根,
∴,,
∴.
故答案为：4.
2．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）设方程的两个根分别为，，且，若，求m的值.
答案：（1）证明见解析
（2）或
解析：（1）证明：由题意得.
无论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）的两个根分别为，，且，
，，
，，
即，，
解得或.
3．阅读材料：材料1 若一元二次方程的两根为、，则，
材料2：已知实数、满足、，且，求的值.
解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，
根据上述材料解决下面问题：
（1）一元二次方程的两根为、，则=_____,=_____.
（2）已知实数、满足、，且，求的值.
（3）已知实数、满足、，且，求的值.
答案：（1）-2，
（2）-
（3）45
解析：（1）-2，
（2）由题意知：m、n是方程3x2-3x-1=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=1，mn=-，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=-×1=-.
（3），
，即.
又，即，
∴p、2q是方程的两个不相等的实数根，
，，
.
4．已知，是一元二次方程的两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.
（1）答案：
解析：一元二次方程有两个实数根，
解得；
（2）答案：
解析：由一元二次方程根与系数关系，，，
，
，
即，解得.
又由（1）知：，
.
考点4 一个应用---一元二次方程的应用
典例剖析6
典例6．如图,老李想用长为的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈,并在边上留一个宽的门(建在处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由.
答案：(1)当羊圈的长为,宽为或长为,宽为时,能围成一个面积为的羊圈
(2)不能,理由见解析
解析：(1)设矩形的边,则边.
根据题意,得.
化简,得.
解得,.
当时,；
当时,.
答：当羊圈的长为,宽为或长为,宽为时,能围成一个面积为的羊圈.
(2)不能,理由如下：
由题意,得.
化简,得.
∵,
∴一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到.
针对练习6
1．某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元？
答案：衬衫的单价降了15元
解析：设衬衫的单价降了x元.根据题意,得
,
解得：,
答：衬衫的单价降了15元.
2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人.
（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？
答案：（1）11个人
（2）1728人
解析：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）.
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人.
（2）（人）.
答：三轮传染后，患流感的有1728人.
3．某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛.计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.
（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？
（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？
答案：（1）该市举办方应邀请6支球队参赛
（2）该球队此次比赛的总积分是16分
解析：（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛.
由题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该市举办方应邀请6支球队参赛.
（2）由（1），得30场比赛共6支球队参赛，因此每支球队共比赛10场.
（分）.
答：该球队此次比赛的总积分是16分.
4．甲、乙两个机器人分别从相距70米的A，B两个位置同时出发，相向运动.甲第1分钟走了2米，且以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米.
（1）甲、乙开始运动多少分钟后第一次相遇？
（2）如果甲、乙到达B或A后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续按照每分钟5米的速度行走，那么它们开始运动多少分钟后第二次相遇？
答案：（1）甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇
（2）它们开始运动15分钟后第二次相遇
解析：（1）设甲、乙开始运动m分钟后第一次相遇.
依题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇.
（2）设它们开始运动n分钟后第二次相遇.
依题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：它们开始运动15分钟后第二次相遇.
考点5 三种思想
思想1 整体思想
典例剖析7
典例7．若α，β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　）
A. 2005 B. 2003 C. -2005 D. 4010
【答案】B
【解析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a,b,c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．
解：α，β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则有α+β=-2．
α是方程x2+2x-2005=0的根，得α2+2α-2005=0，即：α2+2α=2005．
所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α-2=2005-2=2003．
故选：B．
针对练习7
1．已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 12 D. 15
【答案】A
【解析】由α、β是方程x2+2017x+1=0的两个根，可得α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，α+β=-2017，αβ=1，在将（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）进行适当的变形，即可求出结果．
∵α，β是方程x2+2017x+1=0的两个根，
∴α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，α+β=-2017，αβ=1，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）
=（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）
=9αβ
=9，
故选：A．
【点睛】考查一元二次方程的根的意义、根与系数的关系，将要求的代数式进行适当的变形，利用整体代入是常用的方法，也是最有效的方法．
2．已知m,n是一元二次方程x2+3x-6=0的两个根，则m2+mn+3m的值为（　　）
A. 0 B. 3 C. 6 D. 13
【答案】A
【解析】先根据一元二次方程根的定义得到m2+3m=6，根与系数的关系得到mn=-6，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：∵m、n是一元二次方程x2+3x-6=0的根，
∴m2+3m-6=0，mn=-6，
即m2+3m=6，
∴m2+mn+3m=m2+3m+mn=6-6=0，
故选：A．
3．阅读材料，解答问题：
已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
已知实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,则a+b=_____，ab=_____；
（2）间接应用：
在（1）的条件下，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数m,n满足：，n2-n=7且mn≠-1，求的值．
【答案】(1)7;(2)1;
【解析】（1）由韦达定理即可求解；
（2）结合（1）的过程，将平方后变形为+，再代入数据即可得出结论；
（3）令，-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0，可得a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根，可得∴，将其代入即可求解．
解：（1）∵实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,
∴a,b是方程x2-7x+1=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=7，ab=1．
故答案为：7，1；
（2）由（1）得，（）2=++=+=7+2=9，
∴（取正）；
（3）令，-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0，
∵mn≠-1，
∴，即a≠b,
∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根，
∴，
故．
4．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2-13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4-5x2+6=0的解为 _____；
（2）间接应用：
已知实数a,b满足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m,n满足：+=7，n2-n=7且n＞0，求+n2的值．
【答案】x1=，x2=-，x3=，x4=-
【解析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a,-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-0，再模仿例题解决问题．
解：（1）令y=x2，则有y2-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴y1=2，y2=3，
∴x2=2或3，
∴x1=，x2=-，x3=，x4=-；
故答案为：x1=，x2=-，x3=，x4=-；
（2）∵a≠b,
∴a2≠b2或a2=b2，
①当a2≠b2时，令a2=m,b2=n.
∴m≠n,则2m2-7m+1=0，2n2-7n+1=0，
∴m,n是方程2x2-7x+1=0的两个不相等的实数根，
∴，
此时a4+b4=m2+n2=（m+n）2-2mn=．
②当a2=b2（a=-b）时，a2=b2=，此时a4+b4=2a4=2（a2）2=，
综上所述，a4+b4=或．
（3）令=a,-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0，
∵n＞0，
∴≠-n,即a≠b,
∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根，
∴，
故+n2=a2+b2=（a+b）2-2ab=15．
思想2 转化思想
典例剖析8
典例8．已知关于y的一元二次方程（m+1）y2-3my-9=0的根都是整数，且m满足等式，则满足条件的所有整数m的和是（　　）
A. -5 B. -4 C. 0 D. -6
【答案】D
【解析】根据二次根式有意义的条件，根据因式分解法得到方程的解，进一步得到满足条件的所有整数m的和．
解：∵m满足等式，
∴1-m≥0，
解得m≤1，
（m+1）y2-3my-9=0，
（y-3）[（m+1）y+3]=0，
解得y1=3，y2=-，
∵关于y的一元二次方程（m+1）y2-3my-9=0的根都是整数，
∴m=0，-2，-4，
∴满足条件的所有整数m的和是0-2-4=-6．
故选：D．
针对练习8
1．一张桌子的桌面长为6m,宽为4m,台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同．求这块台布的长和宽．
【解析】设台布各边垂下的长度是xm,根据“台布面积是桌面面积的2倍”作为相等关系列方程（6+2x）（4+2x）=2×4×6，解方程即可求解．
解：设台布各边垂下的长度是xm,依题意得（6+2x）（4+2x）=2×4×6，
解得x1=-6（不合题意，舍去），x2=1，
所以6+2x=8，
4+2x=6．
答：这块台布的长和宽分别是8m和6m.
2．如图，在宽为20m,长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米？
【解析】把修筑的三条道路分别平移到矩形的最左边和最上边，则剩余的耕地也是一个矩形，设道路的宽为x米，根据矩形面积公式列方程，然后求出解．
解：设道路的宽为x米，
依题意得（32-2x）（20-x）=570，
解得x1=1 x2=35（不符合题意舍去）．
答：道路的宽为1米．
3．在北京2008年第29届奥运会前夕，某超市在销售中发现：奥运会吉祥物“福娃”平均每天可售出20套，每件盈利40元．为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？
【解析】设每套降价x元，那么就多卖出2x套，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解．
解：设每套降价x元，
由题意得：（40-x）（20+2x）=1200
即2x2-60x+400=0，
∴x2-30x+200=0，
∴（x-10）（x-20）=0，
解之得：x=10或x=20
为了减少库存，所以x=20．
每套应降价20元．
思想3 分类讨论思想
典例剖析9
典例9．定义：已知,是关于x的一元二次方程的两个实数根,若,且,则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为,,因,,所以一元二次方程为“限根方程”.
请阅读以上材料,回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”,并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”,且两根、满足,求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”,求m的取值范围.
答案：(1)此方程为“限根方程”,理由见解析
(2)k的值为2
(3)m的取值范围为或
解析：(1),
,
∴或,
∴,.
∵,,
∴此方程为“限根方程”；
(2)∵方程的两个根分比为、,
∴,.
∵,
∴,
解得：,.
分类讨论：①当时,原方程为,
∴,,
∴,,
∴此时方程是“限根方程”,
∴符合题意；
②当时,原方程为,
∴,,
∴,,
∴此时方程不是“限根方程”,
∴不符合题意.
综上可知k的值为2；
(3),
,
∴或,
∴,或,.
∵此方程为“限根方程”,
∴此方程有两个不相等的实数根,
∴,且,
∴,即,
∴且.
分类讨论：①当时,
∴,,
∵,
∴,
解得：；
②当时,
∴,,
∵,
∴,
解得：.
综上所述,m的取值范围为或.
针对练习9
1．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两根的和比两根的积大1，求k的值；
（3）若的两边a，b的长是这个方程的两个实数根，第三边c的长为2，当是等腰三角形时，求k的值.
答案：（1）见解析
（2）k的值为1或2
（3）k的值为2或3
解析：（1）证明：，
，
不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，，
方程两根的和比两根的积大1，
，即，
解得或，
故k的值为1或2；
（3）原方程分解因式得：，
，，
的边，，
是等腰三角形，第三边c的长为2，
或，
或3.
，或，，
当，，时，，能构成三角形；
当，，时，，能构成三角形；
故k的值为2或3.
2．已知关于x的方程.
(1)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
(2)当m为何实数时，方程有实数根；
(3)若，是方程的两个根，且，试求实数m的值.
答案：(1)另一根为
(2)
(3).
解析：(1)将代入原方程得，
解得：，
设方程的另一根是x，则，
另一根为.
（2）分情况讨论：
当时，方程是一元一次方程，，此时的实数解为；
当m不等于1时，原方程为一元二次方程，要使方程有实数根，
则有，
.
解得：.
即当时，方程有实数根.
(3)，.
.
解得：，，
，
.
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